1、第八节 离散型随机变量的均值与方差 第八节 离散型随机变量的均值与方差 考点探究挑战高考 考向瞭望把脉高考 双基研习面对高考 双基研习面对高考 基础梳理 1均值(1)一般地，若离散型随机变量X的分布列为则称E(X)_为随机变量X的均值或数学期望，它反映了离散型随机变量取值的_X x1 x2 xn P p1 p2 pn x1p1x2p2xipixnpn平均水平(2)若YaXb，其中a，b为常数，则Y也是随机变量，且E(aXb)_.(3)若X服从两点分布，则E(X)_；若XB(n，p)，则E(X)_.2方差(1)设离散型随机变量X的分布列为X x1 x2 xn P p1 p2 pn aE(X)bp
2、np则_描述了xi(i1,2，n)相对于均值E(X)的偏离程度，故V(X)(xiE(X)2pi(其中pi0，i1,2，n，p1p2pn1)，刻 画 了 随 机 变 量 X 与 其 均 值 E(X)的_，称V(X)为随机变量X的方差，其算术平方根为_随机变量X的标准差(2)V(aXb)_(3)若X服从两点分布，则V(X)_(4)若XB(n，p)，则V(X)_(xiE(X)2i1n平均偏离程度VXa2V(X)p(1p)np(1p)思考感悟随机变量的均值、方差与样本均值、方差的关系是怎样的？提示：随机变量的均值、方差是一个常数，样本均值、方差是一个随机变量，随观测次数的增加或样本容量的增加，样本的均
3、值、方差趋于随机变量的均值与方差1已知X的分布列为，设Y2X3，则E(Y)的值为_课前热身 X101P121316解析：E(X)121613，E(Y)E(2X3)2E(X)323373.答案：732随机变量X的分布列如下：X 1 0 1 P a b c 其中 a，b，c 成等差数列，若 E(X)13，求 V(X)的值解：abc1.又2bac，故 b13，ac23.由 E(X)13，得13ac，故 a16，c12.V(X)11321601321311321259.3(2011年南京调研)某陶瓷厂准备烧制甲、乙、丙三件不同的工艺品，制作过程必须先后经过两次烧制，当第一次烧制合格后方可进入第二次烧制
4、，两次烧制过程相互独立根据该厂现有的技术水平，经过第一次烧制后，甲、乙、丙三件产品合格的概率依次为0.5,0.6,0.4，经过第二次烧制后，甲、乙、丙三件产品合格的概率依次为0.6,0.5,0.75.(1)求第一次烧制后恰有一件产品合格的概率；(2)经过前后两次烧制后，合格工艺品的个数为，求随机变量的期望解：分别记甲、乙、丙经第一次烧制后合格为事件A1，A2，A3，(1)设 E 表示第一次烧制后恰好有一件合格，则P(E)P(A1 A2 A3)P(A 1A2 A 3)P(A 1A 2A3)0.50.40.60.50.60.60.50.40.40.38.(2)法一：因为每件工艺品经过两次烧制后合格
5、的概率均为 p0.3，所以 B(3,0.3)，故Enp30.30.9.法二：分别记甲、乙、丙经过两次烧制后合格为事件A，B，C，则P(A)P(B)P(C)0.3，所以P(0)(10.3)30.343，P(1)3(10.3)20.30.441，P(2)30.320.70.189，P(3)0.330.027.于是，E()10.44120.18930.0270.9.考点探究挑战高考 离散型随机变量的均值考点突破 对随机变量的均值(期望)的理解：(1)均值是算术平均值概念的推广，是概率意义上的平均；(2)E()是一个实数，由的分布列惟一确定，也就是说随机变量可以取不同的值，而E()是不变的，它描述的是
6、取值的平均状态；(3)E()的公式直接给出了E()的求法(4)公式E(ab)aE()b说明随机变量的线性函数ab的期望等于随机变量的期望的线性函数 例1(2010年高考江西卷)某迷宫有三个通道，进入迷宫的每个人都要经过一扇智能门首次到达此门，系统会随机(即等可能)为你打开一个通道，若是1号通道，则需要1小时走出迷宫；若是2号、3号通道，则分别需要2小时、3小时返回智能门再次到达智能门时，系统会随机打开一个你未到过的通道，直至走完迷宫为止令表示走出迷宫所需的时间(1)求的分布列；(2)求的数学期望【思路分析】(1)中为相互独立事件，(2)中直接利用公式计算【解】(1)必须要走到 1 号门才能走出
7、，可能的取值为 1,3,4,6，P(1)13，P(3)131216，P(4)131216，P(6)A221312 113.分布列为：1346P13161613(2)E()11331641661372(小时)【名师点评】求期望，其关键是列出准确的分布列，或者能判断出事件概率的类型，如本题是二项分布问题，就可以直接用公式求之变式训练1 有甲、乙、丙、丁四名乒乓球运动员，通过对过去成绩的统计，在一场比赛中，甲对乙、丙、丁取胜的概率分别为0.6,0.8,0.9.(1)若甲和乙之间进行三场比赛，求甲恰好胜两场的概率；(2)四名运动员每两人之间进行一场比赛，设甲获胜场次为，求随机变量的分布列及数学期望E(
8、)解：(1)甲和乙之间进行三场比赛，甲恰好胜两场的概率为 P1C230.620.40.432.(2)随机变量 的可能取值为 0,1,2,3.P(0)0.40.20.10.008；P(1)0.60.20.10.40.80.10.40.20.90.116；P(2)0.60.80.10.60.20.90.40.80.90.444；P(3)0.60.80.90.432.随机变量的分布列为：E()00.00810.11620.44430.4322.3.0 1 2 3 P 0.008 0.116 0.444 0.432 离散型随机变量的方差离散型随机变量的方差V()表示随机变量对E()的平均偏离程度，V(
9、)越大表明平均偏离程度越大，说明的取值越分散，反之，V()越小，的取值越集中在E()附近，统计中常用标准差来描述的分散程度同时利用公式V(ab)a2V()可解决呈线性关系的两变量方差的计算问题 V例2某市出租车的起步价为6元，行驶路程不超过3 km时，租车费为6元，若行驶路程超过3 km，则按每超出1 km(不足1 km也按1 km计程)收费3元计费设出租车一次行驶的路程数X(按整km数计算，不足1 km的自动计为1 km)是一个随机变量，则其收费也是一个随机变量已知一个司机在某一天每次出车都超过了3 km，且一次的总路程数可能的取值是20、22、24、26、28、30(km)，它们出现的概率
10、依次是0.12、0.18、0.20、0.20、100a23a、4a.(1)求这一天中一次行驶路程X的分布列，并求X的均值和方差；(2)求这一天中一次所收出租车费Y的均值和方差【思路分析】(1)利用分布列的性质求a，求X的分布列，求E(X)，V(X)；(2)利用期望方差的性质求解【解】(1)由概率分布的性质有0120.180.200.20100a23a4a1.100a27a0.3，1000a270a30，a 3100或 a 110(舍去)，即a0.03.100a23a0.18,4a0.12，X的分布列为：X 20 22 24 26 28 30 P 0.12 0.18 0.20 0.20 0.18
11、 0.12 E(X)200.12220.18240.20260.20280.18300.1225(km)V(X)520.12320.18120.20120.20320.18520.129.64.(2)由已知Y3X3(X3，XN)，E(Y)E(3X3)3E(X)3325372(元)，V(Y)V(3X3)32V(X)86.76.【名师点评】本题注意应用公式E(aXb)aE(X)b，V(aXb)a2V(X)变式训练2 袋中有同样的球5个，其中3个红色，2个黄色，现从中随机且不返回地摸球，每次摸1个，当两种颜色的球都被摸到时，即停止摸球，记随机变量为此时已摸球的次数(1)求随机变量的分布列；(2)求随
12、机变量的数学期望与方差解：(1)随机变量 可取的值为 2,3,4，P(2)C12C13C12C15C14 35，P(3)A22C13A23C12C15C14C13 310，P(4)A33C12C15C14C13C12 110.所以随机变量的分布列为：234P35310110(2)随机变量 的数学期望为：E()2353 3104 11052.随机变量 的方差为：V()(252)235(352)2 310(452)2 110 920.方法感悟 方法技巧1掌握下述有关期望与方差的常用性质，会给解题带来方便：(1)E(ab)aE()b；E()E()E()；V(ab)a2V()；(2)若B(n，p)，则
13、E()np，V()np(1p)2基本方法(1)已知随机变量的分布列求它的期望、方差和标准差，可直接按定义(公式)求解；(2)已知随机变量的期望、方差，求的线性函数ab的期望、方差和标准差，可直接用的期望、方差的性质求解；(3)如能分析所给随机变量，是服从常用的分布(如两点分布、二项分布等)，可直接利用它们的期望、方差公式求解失误防范1在没有准确判断概率分布模型之前不能乱套公式2对于应用问题，必须对实际问题进行具体分析，一般要将问题中的随机变量设出来，再进行分析，求出随机变量的概率分布，然后按定义计算出随机变量的期望、方差或标准差考向瞭望把脉高考 考情分析 从近几年的江苏高考试题来看，离散型随机
14、变量的均值与方差是高考的热点，常与排列组合、概率等知识综合命题，既考查基本概念，又注重考查基本运算能力和逻辑推理、理解能力 预测2012年江苏高考，离散型随机变量的均值与方差仍然是高考的热点，同时应特别注意均值与方差的实际应用规范解答 例(本题满分 14 分)某种有奖销售的饮料，瓶盖内印有“奖励一瓶”或“谢谢购买”字样，购买一瓶若其瓶盖内印有“奖励一瓶”字样即为中奖，中奖概率为16.甲、乙、丙三位同学每人购买了一瓶该饮料(1)求甲中奖且乙、丙都没有中奖的概率；(2)求中奖人数 的分布列及数学期望 E()【解】(1)设甲、乙、丙中奖的事件分别为 A、B、C，那么 P(A)P(B)P(C)16，3
15、 分P(A B C)P(A)P(B)P(C)16(56)2 25216，即甲中奖且乙、丙都没有中奖的概率为 25216.7 分(2)的可能值为 0,1,2,3，P(k)Ck3(16)k(56)3k(k0,1,2,3)，10 分所以中奖人数 的分布列为0123P12521625725721216E()0125216125722 5723 121612.14 分【名师点评】本题易出现的错误是忽略 A、B、C是相互独立事件并且同时发生；另外可以利用P1P21 检查分布列中概率的正误本题利用二项分布求期望会更简单名师预测 1已知离散型随机变量X的分布列如下表若E(X)0，V(X)1，求a，b，c的值.
16、X1012Pabc112解：由题意abc 1121，ac160，a1c14 1121，解得 a 512，bc14.2道路交通安全法中将饮酒后违法驾驶机动车的行为分成两个档次：“酒后驾车”和“醉酒驾车”，其检测标准是驾驶人员血液中的酒精含量Q(简称血酒含量，单位是毫克/100毫升)，当20Q80时，为酒后驾车；当Q80时，为醉酒驾车某市公安局交通管理部门在某路段的一次拦查行动中，依法检查了200辆机动车驾驶员的血酒含量，其中查处酒后驾车的有6人，查处醉酒驾车的有2人，依据上述材料回答下列问题：(1)分别求出违法驾车发生的频率和醉酒驾车占违法驾车总数的百分数；(2)从违法驾车的8人中抽取2人，求取
17、到醉酒驾车人数的分布列和期望，并指出所求期望的实际意义；(3)饮酒后违法驾驶机动车极易发生交通事故，假设酒后驾车和醉酒驾车发生交通事故的概率分别是0.1和0.25，且每位驾驶员是否发生交通事故是相互独立的依此计算被查处的8名驾驶员中至少有一人发生交通事故的概率(精确到0.01)解：(1)违法驾车发生的频率为 8200 125.醉酒驾车占违法驾车总数的百分数是2825%.(2)设取到醉酒驾车的人数为随机变量，则 可能取到的值有 0,1,2，P(0)C26C281528，P(1)C16C12C28 37，P(2)C22C28 128.则分布列如下012P152837128E()12，实际意义：在抽取的两人中平均含有0.5 个醉酒驾车人员(3)P10.960.7520.70.本部分内容讲解结束 点此进入课件目录按ESC键退出全屏播放谢谢使用
