1、综合检测(一)一、选择题(本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分)1i 是虚数单位，复数13i1i 的共轭复数是()A2i B2iC12i D12i答案 A解析 13i1i 13i1i1i1i42i22i，13i1i 的共轭复数是 2i.2演绎推理“因为对数函数 ylogax(a0 且 a1)是增函数，而函数 ylog12x 是对数函数，所以 ylog12x 是增函数”所得结论错误的原因是()A大前提错误B小前提错误C推理形式错误D大前提和小前提都错误答案 A解析 对数函数 ylogax(a0，且 a1)，当 a1 时是增函数，当 0aQBPQCPQD由 a 的取值确定答案 C解析
2、 要比较 P 与 Q 的大小，只需比较 P2 与 Q2 的大小，只需比较 2a72 aa7与 2a72 a3a4的大小，只需比较 a27a 与 a27a12 的大小，即比较 0 与 12 的大小，而 012，故 P 11 5.证明：要证 71 11 5，只要证 7 5 111，即证 72 755112 111，即证 35 11，即证 3511，3511 恒成立，原式成立以上证明过程应用了()A综合法B分析法C综合法、分析法配合使用D间接证法答案 B解析 由分析法的特点可知应用了分析法7若函数 f(x)xx2a(a0)在1，)上的最大值为 33，则 a 的值为()A.33B.3C.31 D.31
3、答案 D解析 f(x)x2a2x2x2a2 ax2x2a2，当 x a时，f(x)0，f(x)单调递减，当 ax0，f(x)单调递增，当 x a时，令 f(x)a2a 33，a 32 0 的解集为()A(0，)B(1,0)(2，)C(2，)D(1,0)答案 C解析 f(x)定义域为(0，)，又由 f(x)2x24x2x2x1x0，解得1x2，所以 f(x)0 的解集为(2，)9.如右图阴影部分面积是()Ae1e Be1e1Ce1e2De1e答案 C解析 阴影部分的面积 S01(exex)dx|exex 10e1e2.10曲线 f(x)x3x2 在点 P 处的切线平行于直线 y4x1，则点 P
4、的坐标为()A(1,0)B(1，4)C(1，4)D(1,0)或(1，4)答案 D解析 设点 P 的坐标为(a，b)，因为 f(x)3x21，所以点 P 处的切线的斜率为 f(a)3a21，又切线平行于直线 y4x1，所以 3a214，解得 a1.当 a1 时，由 P(a，b)为曲线 f(x)x3x2 上的点，得 b0；当 a1 时，同理可得 b4，所以点 P 的坐标为(1,0)或(1，4)11已知 e 为自然对数的底数，设函数 f(x)(ex1)(x1)k(k1,2)，则()A当 k1 时，f(x)在 x1 处取到极小值B当 k1 时，f(x)在 x1 处取到极大值C当 k2 时，f(x)在
5、x1 处取到极小值D当 k2 时，f(x)在 x1 处取到极大值答案 C解析 当 k1 时，f(x)exx1，f(1)0.x1 不是 f(x)的极值点当 k2 时，f(x)(x1)(xexex2)显然 f(1)0，且 x 在 1 的左边附近 f(x)0，f(x)在 x1 处取到极小值故选 C.12已知 x0，由不等式 x1x2x1x2，x4x2x2x24x233 x2x2 4x23，可以推出结论：xaxnn1(nN*)，则 a 等于()A2nB3nCn2Dnn答案 D解析 由两个不等的结构特点知，xaxnxnxnxnaxn(n1)n1 xnxnxn axn(n1)n1 annn1.所以 ann
6、.二、填空题(本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分)13若复数 zcos sin i 所对应的点在第四象限，则 为第_象限角答案 一解析 由已知得cos 0sin 0，解得1x0，所以复数11x2(22x)i(xR)在复平面内对应点位于第一象限三、解答题(本大题共 6 小题，共 70 分)17(10 分)已知复数 za27a6a21(a25a6)i(aR)，试求实数 a 取什么值时，z 分别为(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数解(1)当 z 为实数时，则 a25a60，且a27a6a21有意义，a1，或 a6，且 a1，当 a6 时，z 为实数(2)当 z 为虚数时，则 a25a
7、60，且a27a6a21有意义，a1，且 a6，且 a1.当 a1，且 a6 时，z 为虚数，即当 a(，1)(1,1)(1,6)(6，)时，z 为虚数(3)当 z 为纯虚数时，则有 a25a60，且a27a6a210.a1，且a6，a6.不存在实数 a 使 z 为纯虚数18(12 分)求函数 f(x)x(ex1)12x2 的单调区间解 f(x)ex1xexx(ex1)(x1)当 x(，1)时，f(x)0；当 x(1,0)时，f(x)0.故 f(x)在(，1)，(0，)上单调递增，在(1,0)上单调递减19(12 分)已知 a5，求证：a5 a3 a2 a.证明 要证 a5 a3 a2 a，只
8、需证 a5 a a3 a2，只需证(a5 a)2(a3 a2)2，只需证 2a52 a25a2a52 a25a6，只需证 a25a a25a6，只需证 a25aa25a6，只需证 06.因为 06 恒成立，所以 a5 a3 a2 a成立20(12 分)在数列an中，a112，an1 3anan3，求 a2、a3、a4 的值，由此猜想数列an的通项公式，并用数学归纳法证明你的猜想解 a11236，a237，a338，a439，猜想 an 3n5，下面用数学归纳法证明：当 n1 时，a1 31512，猜想成立假设当 nk(k1，kN*)时猜想成立，即 ak 3k5.则当 nk1 时，ak1 3ak
9、ak33 3k53k533k15，所以当 nk1 时猜想也成立，由知，对 nN*，an 3n5都成立21(12 分)已知ABC 的三边长为 a、b、c，且其中任意两边长均不相等若1a，1b，1c成等差数列(1)比较ba与cb的大小，并证明你的结论(2)求证：B 不可能是钝角(1)解 大小关系为bacb，证明如下：要证bacb，只需证ba0，只需证 b2ac，1a，1b，1c成等差数列，2b1a1c21ac，b2ac，又 a、b、c 任意两边均不相等，b2ac 成立故所得大小关系正确(2)证明 假设 B 是钝角，则 cos B2acb22acacb22ac 0.这与 cos B0；在区间(0，)上，f(x)0.故 f(x)的单调递增区间是(1,0)，单调递减区间是(0，)当 0k0.所以，在区间(1,0)和(1kk，)上，f(x)0；在区间(0，1kk)上，f(x)1 时，由 f(x)xkxk11x0，得 x11kk(1,0)，x20.所以，在区间(1，1kk)和(0，)上，f(x)0；在区间(1kk，0)上，f(x)0.故 f(x)的单调递增区间是(1，1kk)和(0，)，单调递减区间是(1kk，0)
