1、第 1 页，共 4 页 大庆中学 2021-2022 学年度高二上学期开学考试 数学试题 一、单选题（本大题共 10 小题，共 50.0 分）1.从一个容量为(3,)的总体中抽取一个容量为 3 的样本，当选取简单随机抽样方法抽取样本时，总体中每个个体被抽中的可能性是13，则选取分层随机抽样方法抽取样本时，总体中每个个体被抽中的可能性是()A.15 B.14 C.12 D.13 2.图(1)是某品牌汽车 2019 年月销量统计图，图(2)是该品牌汽车月销量占所属汽车公司当月总销量的份额统计图，则下列说法错误的是()A.该品牌汽车 2019 年全年销量中，1 月份月销量最多 B.该品牌汽车 201
2、9 年上半年的销售淡季是 5 月份，下半年的销售淡季是 10 月份 C.2019 年该品牌汽车所属公司 7 月份的汽车销量比 8 月份多 D.该品牌汽车 2019 年下半年月销量相对于上半年，波动性小，变化较平稳 3.如图，正方体中，下面结论错误的是()A.平面 B.异面直线与所成的角为45 C.平面 D.与平面所成的角为30 4.已知角 (0,2)，且点(cos2,2)在直线=上，则tan(+4)=()A.3 22 B.1 C.3 22 D.3+22 5.在三角形 ABC 中，点 D 在直线 AC 上，且=23，点 E 在直线 BD 上，且=2.若=1+2，则1+2=()A.0 B.C.D.
3、89 6.已知正三角形 ABC 的边长为 2，=13 +23 ，E 是 AB 的中点，则 等于()A.3 B.2 C.2 D.3 7.如图所示，用1、2、3三个元件连接成一个系统，1、2、3能否正常工作相互独立，当1正常工作且2、3至少有一个正常工作时，系统正常工作，已知1、2、3正常工作的概率均为23，则系统正常工作的概率为()A.427 B.827 C.1627 D.2027 8.在 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，6，c，若(2+2 2)tan=3，则角 B 的值为()A.6 B.3 C.6 或56 D.3 或23 9.在 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，其面积为 S
4、，若2+2 =2=23，则 一定是()A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等边三角形 D.等腰直角三角形 10.在单位正方体 1111中，点 P 在线段1上运动，给出以下四个命题：异面直线1与1间的距离为定值；三棱锥 1的体积为定值；异面直线1与直线1所成的角为定值；二面角 1 的大小为定值其中正确的有()A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 第 2 页，共 4 页 二、多选题（本大题共 2 小题，共 10.0 分）11.关于复数，下列说法正确的是()A.复数=1 (为虚数单位)的虚部为B.复数=1 (为虚数单位)的模为2C.若+2=+(,i 为虚数单位)，则+=1D.若=，则 z
5、为实数12.已知,是两个不重合的平面，,是两条不重合的直线，则下列命题正确的是()A.若，/，则B.若，/，则C.若/，则/D.若/，/，则 m 与所成的角和 n 与所成的角相等三、单空题（本大题共 4 小题，共 20.0 分）13.从集合2,3，4，12，23中任取两个不同的数 a，b，则log 0的概率为14.为了了解甲工厂生产的轮胎的宽度是否达标，随机选取了 10 个轮胎，将每个轮胎的宽度(单位：)记录下来并绘制出如下的折线图：则甲厂轮胎宽度的第 10 百分位数为_15.海洋蓝洞是地球罕见的自然地理现象，被喻为“地球留给人类保留宇宙秘密的最后遗产”，我国拥有世界上最深的海洋蓝洞.若要测量
6、如图所示的蓝洞的口径,两点间的距离，现在珊瑚群岛上取两点,，测得=45，=135，=15，=120，则 AB 两点的距离为_16.16、在我国古代数学名著九章算术中，将底面为直角三角形的直棱柱称为“堑堵”.如图，已知三棱柱 111是一“堑堵”，=2，1=3，点 D 为11的中点.则三棱锥 的外接球的表面积为_ 四、解答题（本大题共 6 小题，共 70.0 分）17.（10 分）为了了解居民的用电情况，某市供电局抽查了该市若干户居民的月均用电量(单位：)，并将样本数据分组为160,180)，180,200)，200,220)，220,240)，240,260)，260,280)，280,300，
7、其频率分布直方图如图所示(1)若样本中月均用电量在240,260)内的居民有 30 户，求样本量；(2)求样本中月均用电量的中位数；(3)在月均用电量为220,240)，240,260)，260,280)，280,300的四组居民中，用比例分配的分层随机抽样的方法抽取 22 户居民，则月均用电量在260,280)内的居民应抽取多少户？第 3 页，共 4 页 18.（12 分）函数()=(+)(0,0,|2,)的部分图象如图，M 是图象的一个最低点，图象与 x 轴的一个交点的坐标为(2,0)，与 y 轴的交点坐标为(0,2)()求 A，的值；()若关于 x 的方程()=0在0,2上有一解，求实数
8、 m 的取值范围19.（12 分）如图，在四棱锥 中，四边形 ABCD 为直角梯形，/，=90，底面 ABCD，且=2，=1，M 为 PD 的中点(1)求证：/平面 PAB；(2)求证：平面 PAC；(3)求三棱锥 的体积20.（12 分）甲、乙进行射击比赛，两人轮流朝一个靶射击，若击中靶心得 3 分，击中靶心以外的区域得 1 分，两人得分之和大于或等于 6 分即结束比赛，且规定最后射击的人获胜，假设他们每次击中靶心的概率均为14且不会脱靶，经过抽签，甲先射击()求甲需要射击三次的概率()比赛结束时两人得分之差最大为多少?求这个最大值发生的概率()求乙获胜的概率21.（12 分）的内角 A，B
9、，C 所对的边分别为 a，b，.已知(tan +tan)cos =2(1)求 A；(2)若=13，=33，且sin sin，求sin 第 4 页，共 4 页 22.（12 分）如图，在三棱锥 ABC中，AB BD，BC CD，M，N 分别是线段 AD，BD 的中点，MC=1，AB=BD=2，二面角 BA 的大小为60(1)证明：平面MNC 平面 BCD；(2)求直线 BM 和平面 MNC 所成角的余弦值第 1 页，共 5 页 【答案】1.D 2.C 3.D 4.A 5.B 6.C 7.C 8.D 9.B 10.D 11.BCD 12.BCD 13.25 14.193 15.455 16.283
10、 17.解：(1)由(0.0020+0.0095+0.0110+0.0125+0.0050+0.0025)20=1，解得=0.0075，月平均用电量在240,260)的频率为0.0075 20=0.15，设样本容量为 N，则0.15=30，解得=200;(2)(0.0020+0.0095+0.0110)20=0.45 0.5，月平均用电量的中位数在220,240)内，设中位数为 a，则0.45+0.0125 (220)=0.5，解得=224，中位数为 224(3)月平均用电量为220,240),240,260)，260,280),280,300的四组频率分别为：0.25，0.15，0.1，0.
11、05，月平均用电量在260,280)的用户中应抽取22 0.10.25+0.15+0.1+0.05=4(户)18.解：()由函数()的部分图象可知，函数()的周期为=4 2 (2)=4，2=4，解得=12；又函数图象与 x 轴的一个交点坐标为(2,0)，(12 2+)=0，sin(4+)=0，4+=，即=4()；由|2，得2 2，=4；函数=()=(12 4).当=0时，=(4)=2，=2；综上可知，=2，=12，=4()由()=0得()=，要使方程()=0在 0,2上有一解，只需直线=与函数()的图象在 0,2上只有一个交点；由()可知()=2(12 4)，画出函数()=2(12 4)在区间
12、0,2上的图象，如图所示；由图象知，当2 2或=2时，满足题意，所以 m 的取值范围是 2,2)2 19.(1)证明：若 E 为 PA 中点，连接 EM、EB，由 M 为 PD 的中点，=2 且/，又/且=2，即/且=，四边形 EMCB 为平行四边形，故 C/，面 PAB，面 PAB，/平面 PAB (2)证明：连接 AC，过 C 作/交 AD 于 F 点，即 且=2=1，第 2 页，共 5 页 中，=2，而在 中，=2，有2+2=2，又 面 ABCD，面 ABCD，则 ，=，面 PAC(3)解：由(2)知，CD 是三棱锥 的高，而=12 =2，=13 =23 20.解：()甲需要射击三次，则
13、两人前四次射击均只得 1 分，所以甲需要射击三次的概率为(34)4=81256()比赛结束时，两人得分之差最大为 5 分，他们得分情况为：甲 3，乙 1，甲 3，所以这个最大值发生的概率为14 34 14=364()根据他们轮流射击的得分，分四种情况：甲 3，乙 3，概率为(14)2=116;甲 1，乙 1，甲 1，乙 3，概率为(34)3 14=27256;前三次射击中有一次 3 分，两次 1 分，概率为31 14 (34)2=2764;前五次射击均得 1 分，概率为(34)5=2431024 所以乙获胜的概率为116+27256+2764+2431024=8471024 21.解：(1)(
14、tan+tan)cos=2，(sincos+sincos)cos=2则sincos+sincoscoscoscos=2sin，sin(+)cos=2sin，即sincos=2sin sin 0 cos=12，(2)=12 sin=34 =33，=12由余弦定理得：2=2+2 2cos 13=2+2 =(+)2 3=(+)2 36,(+)2=49,+=7.又 =12，=3=4或=4=3,又 sin sin,0的情况有log23，log24，log32，log34，log42，log43，log1223，log2312，共 8 个，故所求概率为25 14.略 15.解：易知在 中，=180 =15
15、，为等腰三角形，则=45，在 中，=180 =30，=120+15=135，所以由正弦定理得，即45sin30=sin135，得=452，在 中，由余弦定理得=452+(452)2 2 45 452 (22)=452 5，所以=455，即 A，B两点的距离为455，故答案为455 16.解：如图，取 AB 的中点 E，BC 的中点 F，连接 EF，则/，且=12 =1 ，又 1，1=，平面11，连接 DF，则=1，且/1，平面 ABC 设该球的球心为 O，设 的外心为1，连接1，则1 平面11，1/，连接 OE，EF，OA，由 E 是 的外心得 平面 ABC，/，可得四边形1为矩形 =2+2=2+12=1+3=2，为等边三角形，可知=1=13 =33，则2=2+2=(33)2+(2)2=73，得三棱锥 的外接球的表面积为=4 2=283 故答案为：283
