1、明目标、知重点1.理解复数代数形式的四则运算法则.2.能运用运算法则进行复数的四则运算1复数加法与减法的运算法则(1)设z1abi，z2cdi是任意两个复数，则z1z2(ac)(bd)i，z1z2(ac)(bd)i.(2)对任意z1，z2，z3C，有z1z2z2z1，(z1z2)z3z1(z2z3)2复数的乘法法则设z1abi，z2cdi(a，b，c，dR)，则z1z2(abi)(cdi)(acbd)(adbc)i.3复数乘法的运算律对任意复数z1、z2、z3C，有交换律z1z2z2z1结合律(z1z2)z3z1(z2z3)乘法对加法的分配律z1(z2z3)z1z2z1z34.共轭复数把实部相
2、等、虚部互为相反数的两个复数叫做互为共轭复数，复数zabi的共轭复数记作，即abi.5复数的除法法则设z1abi，z2cdi(cdi0)，则i.情境导学我们学习过实数的加减运算，复数如何进行加减运算？我们知道向量加法的几何意义，那么复数加法的几何意义是什么呢？探究点一复数加减法的运算思考1我们规定复数的加法法则如下：设z1abi，z2cdi是任意两个复数，那么(abi)(cdi)(ac)(bd)i.那么两个复数的和是个什么数，它的值唯一确定吗？答仍然是个复数，且是一个确定的复数思考2复数加法的实质是什么？类似于实数的哪种运算方法？答实质是实部与实部相加，虚部与虚部相加，类似于实数运算中的合并同
3、类项思考3实数的加法有交换律、结合律，复数的加法满足这些运算律吗？并试着证明答满足，对任意的z1，z2，z3C，有交换律：z1z2z2z1.结合律：(z1z2)z3z1(z2z3)证明：设z1abi，z2cdi，z1z2(ac)(bd)i，z2z1(ca)(db)i，显然，z1z2z2z1，同理可得(z1z2)z3z1(z2z3)思考4类比复数的加法法则，试着给出复数的减法法则答(abi)(cdi)(ac)(bd)i.思考5若复数z1，z2满足z1z20，能否认为z1z2?答不能，如2ii0，但2i与i不能比较大小例1计算：(1)(56i)(2i)(34i)；(2)1(ii2)(12i)(12
4、i)解(1)原式(523)(614)i11i.(2)原式1(i1)(12i)(12i)(1111)(122)i2i.反思与感悟复数的加减法运算，就是实部与实部相加减做实部，虚部与虚部相加减作虚部，同时也把i看作字母，类比多项式加减中的合并同类项跟踪训练1计算：(1)(24i)(34i)；(2)(34i)(2i)(15i)解(1)原式(23)(44)i5.(2)原式(321)(415)i22i.探究点二复数乘除法的运算思考1怎样进行复数的乘法？答两个复数相乘，类似于两个多项式相乘，只要把已得结果中的i2换成1，并且把实部与虚部分别合并即可思考2复数的乘法与多项式的乘法有何不同？答复数的乘法与多项
5、式乘法是类似的，有一点不同即必须在所得结果中把i2换成1.例 2计算：(1)(12i)(34i)(2i)；(2)(34i)(34i)；(3)(1i)2.解(1)(12i)(34i)(2i)(112i)(2i)2015i；(2)(34i)(34i)32(4i)29(16)25；(3)(1i)212ii22i.反思与感悟复数的乘法可以按多项式的乘法法则进行，注意选用恰当的乘法公式进行简便运算，例如平方差公式、完全平方公式等跟踪训练2计算：(1)(2i)(2i)；(2)(12i)2.解(1)(2i)(2i)4i24(1)5；(2)(12i)214i(2i)214i4i234i.思考3如何理解复数的除
6、法运算法则？答复数的除法先写成分式的形式，再把分母实数化(方法是分母与分子同时乘以分母的共轭复数，若分母是纯虚数，则只需同时乘以i)例3计算：(1)(12i)(34i)；(2)6.解(1)(12i)(34i)i.(2)原式6i61i.反思感悟复数的除法是分子、分母同乘以分母的共轭复数跟踪训练3计算：(1)；(2)解(1)1i.(2)13i.探究点三共轭复数及其应用思考1像34i和34i这样的两个复数我们称为互为共轭复数，那么如何定义共轭复数呢？答一般地，当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数通常记复数z的共轭复数为.虚部不等于0的两个共轭复数也叫做共轭虚数思考2复数
7、abi的共轭复数如何表示？这两个复数之积是实数还是虚数？答复数abi的共轭复数可表示为abi，由于 (abi)(abi)a2b2 R，所以两个共轭复数之积为实数思考3共轭复数有哪些性质，这些性质有什么作用？答(1)在复平面上，两个共轭复数对应的点关于实轴对称(2)实数的共轭复数是它本身，即zzR，利用这个性质可证明一个复数为实数(3)若z0且z0，则z为纯虚数，利用这个性质，可证明一个复数为纯虚数思考4z与|z|2和|2有什么关系？答z|z|2|2.例 4已知复数z满足|z|1，且(34i)z是纯虚数，求z的共轭复数.解设zabi(a，bR)，则abi且|z|1，即a2b21.因为(34i)z
8、(34i)(abi)(3a4b)(3b4a)i，而(34i)z是纯虚数，所以3a4b0，且3b4a0.由联立，解得或所以i，或i.反思与感悟本题使用了复数问题实数化思想，运用待定系数法，化解了问题的难点跟踪训练4已知复数z满足：z2iz86i，求复数z的实部与虚部的和解设zabi(a，bR)，则za2b2，a2b22i(abi)86i，即a2b22b2ai86i，解得，ab4，复数z的实部与虚部的和是4.1复数z12i，z22i，则z1z2_.答案i解析z1z2(2)(2)ii.2若z32i4i，则z_.答案13i解析z4i(32i)13i.3复数z_.答案i解析i.4已知复数z1ai(aR，
9、i是虚数单位)，i，则a_.答案2解析由题意可知：ii，因此，化简得5a253a23，a24，则a2，由可知a0，仅有a2满足，故a2.呈重点、现规律1复数的四则运算(1)复数的加减法和乘法类似于多项式的运算，复数的乘法满足交换律、结合律以及乘法对加法的分配律(2)在进行复数的除法运算时，通常先将除法写成分式的形式，再把分子、分母都乘以分母的共轭复数，化简后可得，类似于以前学习的分母有理化2共轭复数的性质可以用来解决一些复数问题3复数问题实数化思想复数问题实数化是解决复数问题的基本思想方法，其桥梁是设复数zabi(a，bR)，利用复数相等的充要条件转化.一、基础过关1如果一个复数与它的模的和为
10、5i，那么这个复数是_答案i解析设这个复数为xyi(x，yR)，xyi5i，xyii.2已知z是纯虚数，是实数，那么z_.答案2i解析设zbi(bR，b0)，则i是实数，所以b20，b2，所以z2i.3.的值为_答案23i486i的平方根是_答案(3i)解析方法一设86i的平方根是xyi (x、yR)，则(xyi)286i，即x2y22xyi86i.由复数相等，得或方法二86i96ii2(3i)2，86i的平方根是(3i)5已知复数z12i，z21i，则复数z1z2的虚部是_答案1解析z1z2(2i)(1i)3i，故虚部为1.6计算：(1)(7i5)(98i)(32i)；(2)(i)(2i)(
11、i)；(3).解(1)(7i5)(98i)(32i)7i598i32i(593)(782)i1i.(2)(i)(2i)(i)i2ii(2)(1)i1i.(3)291511.7.设mR，复数z1(m15)i，z22m(m3)i，若z1z2是虚数，求m的取值范围解z1(m15)i，z22m(m3)i，z1z2(m15)m(m3)i(m22m15)i.z1z2为虚数，m22m150且m2，解得m5，m3且m2(mR)二、能力提升8复数的虚部是_答案解析原式i，虚部为.9设复数z满足(1i)z2i，则z_.答案1i解析由已知得z1i.10若复数z满足z(1i)1i (i是虚数单位)，则其共轭复数_.答
12、案i解析zi，则i.11已知虚数z满足|z|1，z22z0，求z.解设zxyi(x，yR且y0)，所以x2y21，则z22z(xyi)22(xyi)(x2y23x)y(2x1)i.因为z22z0且y0，所以又x2y21，解得故zi.12已知复数z，满足z2512i，求.解设zxyi(x，yR)，则z2x2y22xyi.又z2512i，所以x2y22xyi512i.所以解得或所以z32i或z32i.所以i或i.i或i.三、探究与拓展13.已知1i是方程x2bxc0的一个根(b、c为实数)(1)求b，c的值；(2)试说明1i也是方程的根吗？解(1)因为1i是方程x2bxc0的根，(1i)2b(1i)c0，即(bc)(2b)i0.，得.b、c的值为b2，c2.(2)方程为x22x20.把1i代入方程左边得(1i)22(1i)20，显然方程成立，1i也是方程的一个根
