1、山东省泰安市2020届高三数学第四轮模拟复习质量试题（含解析）一、单项选择题1. 设集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】利用一元二次不等式的解法化简集合，再利用集合的交集运算即可得到结论【详解】，故选：【点睛】本题主要考查集合的基本运算，考查了一元二次不等式的解法，比较基础2. 已知复数满足，为虚数单位，则等于（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】直接根据复数代数形式的除法法则计算可得；【详解】解：因为，所以故选：A【点睛】本题考查复数的运算，属于基础题.3. 若向量，满足：，则（ ）A. 2B. C. 1D. 【答案】B【解析】【分析】根据向量垂
2、直数量积等于零即可求解.【详解】由，则，解得，所以.故选：B【点睛】本题考查了向量垂直数量积的表示，求向量的模，属于基础题.4. 已知抛物线E：y2=2px(p0)的焦点为F，O为坐标原点，OF为菱形OBFC的一条对角线，另一条对角线BC的长为2，且点B，C在抛物线E上，则p=（ ）A. 1B. C. 2D. 【答案】B【解析】【分析】由题意，在抛物线上，代入抛物线方程可得，即可求出的值【详解】解：由题意，在抛物线上，代入抛物线方程可得，故选：B 【点睛】本题考查抛物线的方程，考查学生的计算能力，属于基础题5. 已知Sn是等差数列an的前n项和，则“Snnan对n2恒成立”是“a3a4”的（
3、）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】C【解析】【分析】设等差数列的公差为，利用等差数列的通项公式和前项和公式将等价转化为，将等价转化为，由此可得答案.【详解】设等差数列的公差为，当时，因为等价于等价于等价于等价于，等价于等价于，所以等价于，所以“”是“”的充分必要条件.故选：C.【点睛】本题考查了等差数列的通项公式和前项和公式，考查了充分必要条件的概念，属于基础题.6. 函数（且）的图象可能为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】因为，故函数是奇函数，所以排除A，B；取，则，故选D.考点：1.函数的基本性质；2.函数的图象
4、.7. 已知函数是定义在上的奇函数，当时，若实数满足，则的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据题意，结合函数的解析式可得在区间，上为增函数，进而可得在上为增函数，且；据此可得，解可得的取值范围，即可得答案【详解】解：根据题意，当，时，则在区间，上为增函数，且，又由为奇函数，则在区间，上为增函数，且；故在上为增函数，解可得：，即的取值范围为；故选：【点睛】本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，涉及不等式的解法，属于中档题8. 如图，在三棱锥ABCD中，AB=AC=BD=CD=3，AD=BC=2，点M，N分别为AD，BC的中点，则异面直线AN，CM所成的角的余弦
5、值是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】连接，取的中点，连接，根据异面直线所成角的定义，结合等腰三角形的性质、勾股定理、余弦定理进行求解即可.【详解】如图，连接，取的中点，连接，因为是中点，则，所以（或其补角）就是异面直线所成的角，因为AB=AC=BD=CD=3，AD=BC=2，点M，N分别为AD，BC的中点，所以,因此有，同理，.故选：C【点睛】本题考查了求异面直线所成的角，关键是根据定义作出异面直线所成的角，即平移其中一条直线与另一条相交，通过解三角形求出相交直线的夹角，可得异面直线所成角，要注意异面直线所成角的范围是二、多项选择题9. 下列说法正确的是（ ）A. 某大
6、学为了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向，拟采用分层抽样的方法从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为300的样本进行调查.已知该校一、二、三、四年级本科生人数之比为6：5：5：4，则应从一年级中抽取90名学生B. 10件产品中有7件正品，3件次品，从中任取4件，则恰好取到1件次品的概率为C. 已知变量x与y正相关，且由观测数据算得=3，=35，则由该观测数据算得的线性回归方程可能是=0.4x+2.3D. 从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，至少有一个黑球与至少有一个红球是两个互斥而不对立的事件【答案】ABC【解析】【分析】根据分层抽样、概率、线性回归直线方程、互斥事件与对立事件的
7、概念分别进行判断【详解】A由分层抽样，应制取人数为，A正确；B恰好取到1件次品的概率为，B正确；C，直线=0.4x+2.3过中心点，可能是回归直线方程，C正确；D一红球一黑球这个事件即是至少有一个红球，也是至少有一个黑球，因此它们不互斥，D错误故选：ABC【点睛】本题考查命题的真假判断，解题时需掌握分层抽样、概率、线性回归直线方程、互斥事件与对立事件的概念等知识，要求较高，属于中档题10. 已知定义在上的函数，是的导函数，且恒有成立，则A. B. C. D. 【答案】CD【解析】【分析】根据题意，令，对其求导分析可得，即函数为减函数，结合选项分析可得答案【详解】解：根据题意，令，则其导数，又由
8、，且恒有，则有，即函数为减函数，又由，则有，即，分析可得；又由，则有，即，分析可得故选：【点睛】本题考查函数的单调性与函数导数的关系，注意构造函数，并借助导数分析其单调性，属于中档题11. 设函数g(x)=sinx(0)向左平移个单位长度得到函数f(x)，已知f(x)在0，2上有且只有5个零点，则下列结论正确的是（ ）A. f(x)的图象关于直线对称B. f(x)在(0，2)上有且只有3个极大值点，f(x)在(0，2)上有且只有2个极小值点C. f(x)在上单调递增D. 的取值范围是)【答案】CD【解析】【分析】利用正弦函数的对称轴可知，不正确；由图可知在上还可能有3个极小值点，不正确；由解得
9、的结果可知，正确；根据在上递增，且，可知正确.【详解】依题意得， ，如图：对于，令，得，所以的图象关于直线对称，故不正确；对于，根据图象可知，在有3个极大值点，在有2个或3个极小值点，故不正确，对于，因为，所以，解得，所以正确；对于，因为，由图可知在上递增，因为，所以，所以在上单调递增，故正确；故选：CD.【点睛】本题考查了三角函数的相位变换，考查了正弦函数的对称轴和单调性和周期性，考查了极值点的概念，考查了函数的零点，考查了数形结合思想，属于中档题.12. 如图，在矩形ABCD中，M为BC的中点，将AMB沿直线AM翻折成AB1M，连接B1D，N为B1D的中点，则在翻折过程中，下列说法正确的是
10、（ ）A. 存在某个位置，使得CNAB1B. CN的长是定值C. 若AB=BM，则AMB1DD. 若AB=BM=1，当三棱锥B1AMD的体积最大时，三棱锥B1AMD的外接球的表面积是4【答案】BD【解析】【分析】中，取中点，连接交与，由题意判断三线，共面共点，得出不成立；中，利用余弦定理可得是定值，判断正确；中，取中点，连接，由题意判断不成立；中，当三棱锥的体积最大时，求出该三棱锥外接球的表面积即可【详解】解：对于：如图1，取中点，连接交与，则，如果，可得到，又，且三线，共面共点，不可能，则错误对于：如图1，可得由（定值），（定值），（定值），由余弦定理可得，所以是定值，则正确对于：如图2，取
11、中点，连接，由题意得面，即可得，从而，由题意不成立，可得错误对于：当平面平面时，三棱锥的体积最大，由题意得中点就是三棱锥的外接球的球心，球半径为1，表面积是，则正确故选：BD【点睛】本题考查了矩形的折叠问题，解题关键是正确理解线面、面面平行与垂直的判定和性质定理，属于中档题三、填空题13. 某药厂选取若干名志愿者进行临床试验，所有志愿者的舒张压数据（单位：kPa）的分组区间为12，13），13，14），14，15），15，16），16，17），将其按从左到右的顺序分别编号为第一组，第二组，第五组，如图是根据实验数据制成的频率分布直方图，已知第一组与第二组共有20人，则第三组中的人数为 _【答案
12、】【解析】【分析】由频率以及直方图可得分布在区间第一组与第二组共有20人的频率，即可求出总的人数，求出第三组的人数.【详解】由直方图可得分布在区间第一组与第二组共有20人，分布在区间第一组与第二组的频率分别为0.24，0.16，设总的人数为n,则所以第3小组的人数为人.故答案为18【点睛】本题主要考查频率分布直方图中频数、频率等的计算，意在考查学生对这些知识的理解能力掌握水平.14. 的展开式中x3的系数为_【答案】5【解析】【分析】利用二项式定理求解即可.【详解】的通项为令，此时系数为令，此时的系数为则的系数为故答案为：【点睛】本题主要考查了求指定项的系数，属于中档题.15. 已知函数，则_
13、【答案】【解析】【分析】根据题意，由函数解析式可得，进而计算得到答案.【详解】根据题意，当时，所以，当时，所以.故答案为：.【点睛】本题主要考查函数值的计算，涉及分段函数的应用和对数计算，属于基础题.16. 已知直线：，圆：，则圆的半径_；若在圆上存在两点，在直线上存在一点，使得，则实数的取值范围是_【答案】 (1). (2). 【解析】【分析】把圆方程配方后可得圆心坐标和半径，由作圆的两条切线，这两条切线的夹角不小于90，由此可得的取值范围【详解】圆的标准方程为，圆心为，半径为，若在圆上存在两点，在直线上存在一点，使得，过作圆的两条切线（为切点），则，而当时，最大，只要此最大角即可，此时，圆
14、心到直线的距离为所以，解得故答案为：；【点睛】本题考查圆的标准方程，考查直线与圆的位置关系，解题关键是问题的转化，本题考查了等价转化思想，运算求解能力属于中档题四、解答题17. 请从下面三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并解答的面积为在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知bc=2，cosA=.（1）求a；（2）求的值【答案】（1）不论选哪种条件，a=8；（2）.【解析】【分析】（1）选，根据向量的数量积运算，求得，结合题意，即可求得；选，列出方程，求得，根据余弦定理求得；选，根据面积公式求得，结合已知求得，再用余弦定理即可求得；（2）根据（1）中所求，利用余弦定理求得，解得，
15、再用余弦的和角公式即可求得结果.【详解】（1）选择条件： bc=24 由解得或（舍去）a=8 选择条件：由解得或（舍去）a=8 选择条件：bc=24 由解得或（舍）a=8（2） 【点睛】本题考查倍角公式、和角公式的利用，以及用正弦定理解三角形，属综合中档题.18. 如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为正方形，PA平面ABCD，PA=AB，E为线段PB的中点，F为线段BC上的动点（1）求证：AE平面PBC；（2）试确定点F位置，使平面AEF与平面PCD所成的锐二面角为30【答案】（1）见解析（2）当点F为BC中点时，平面AEF与平面PCD所成的锐二面角为30【解析】【分析】（1）证明，推出
16、平面得到证明，得到平面然后证明平面平面（2）分别以的方向为轴，轴，轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，设正方形的边长为2，求出为平面的法向量，平面的法向量，利用空间向量的数量积求解即可【详解】解：（1）PA平面ABCD，BC平面ABCDPABCABCD为正方形ABBC 又 PAAB=A，PA，AB平面PABBC平面PABAE平面PABAEBC PA=AB，E为线段PB的中点AEPB又 PBBC=B，PB，BC平面PBCAE平面PBC （2）以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz，设正方形ABCD的边长为2，则A（0，0，0），B（2，0，0），C（2，2，0），D（0，2，
17、0）P（0，0，2）E（1，0，1）， 设F（2，0）（02），设平面AEF的一个法向量为则令y1=2，则 设平面PCD的一个法向量为则令y2=1，则平面AEF与平面PCD所成的锐二面角为30，解得=1，当点F为BC中点时，平面AEF与平面PCD所成的锐二面角为30【点睛】本题考查空间直线和直线、直线和平面、平面和平面的垂直的证明，二面角等基础知识，考查学生的逻辑推理能力，化归与转化能力和空间想象能力考查的核心素养是直观想象、逻辑推理与数学运算19. 已知等差数列的公差，且，成等比数列.（1）求数列的通项公式；（2）若数列满足，且，求数列的前项和.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）
18、由，成等比数列，可得，利用等差数列，即可求出和，从而求出的通项公式；（2）由（1）知，利用累加法可得，利用裂项求和即可得 的前项和.【详解】（1），成等比数列， 整理得或，当时，由解得，满足题意，当时，由解得，不合题意，.（2）由（1）知，当时，当时，又当时，.，.【点睛】本题考查求等差数列的通项公式与前项和，考查累加法求数列通项，裂项相消法求和，属于中档题.20. 某工厂为了提高生产效率，对生产设备进行了技术改造，为了对比技术改造后的效果，采集了技术改造前后各20次连续正常运行的时间长度(单位：天)数据，整理如下：改造前：19，31，22，26，34，15，22，25，40，35，18，16
19、，28，23，34，15，26，20，24，21改造后：32，29，41，18，26，33，42，34，37，39，33，22，42，35，43，27，41，37，38，36（1）完成下面的列联表，并判断能否有99的把握认为技术改造前后的连续正常运行时间有差异?超过30不超过30改造前改造后（2）工厂生产设备的运行需要进行维护，工厂对生产设备的生产维护费用包括正常维护费，保障维护费两种对生产设备设定维护周期为T天(即从开工运行到第kT天，kN*)进行维护生产设备在一个生产周期内设置几个维护周期，每个维护周期相互独立在一个维护周期内，若生产设备能连续运行，则只产生一次正常维护费，而不会产生保障维
20、护费；若生产设备不能连续运行，则除产生一次正常维护费外，还产生保障维护费经测算，正常维护费为0.5万元次；保障维护费第一次为0.2万元周期，此后每增加一次则保障维护费增加0.2万元现制定生产设备一个生产周期(以120天计)内的维护方案：T=30，k=1，2，3，4以生产设备在技术改造后一个维护周期内能连续正常运行的频率作为概率，求一个生产周期内生产维护费的分布列及均值附：P(K2k)0.0500.0100.001k3.8416.63510.828【答案】（1）见解析，有99%的把握认为技术改造前后的连续正常运行时间有差异.（2）见解析；均值为2.275万元.【解析】【分析】（1）根据已知改造前
21、后数据完成列联表，计算，查表与临界值比较大小即可确定；（2）依题意可知，一个维护周期内，生产线需保障维护的概率为，一个生产周期内需保障维护的次数服从二项分布.计算出一个生产周期内的正常维护费和保障维护费即可得出一个生产周期内的生产维护费，根据二项分布概率公式可求出分布列及期望.【详解】解：（1）列联表为：超过30不超过30改造前515改造后155有99%的把握认为技术改造前后的连续正常运行时间有差异. （2）由题知，生产周期内有4个维护周期，一个维护周期为30天，一个维护周期内，生产线需保障维护的概率为.设一个生产周期内需保障维护次数为，则；一个生产周期内的正常维护费为万元，保障维护费为万元.
22、一个生产周期内需保障维护次时的生产维护费为万元.设一个生产周期内的生产维护费为X，则X的所有可能取值为2，2.2，2.6，3.2，4. 所以，的分布列为22.22.63.24一个生产周期内生产维护费的均值为2.275万元.【点睛】本题考查独立性检验的应用、二项分布及期望，属于中档题.21. 已知椭圆：的左、右顶点分别是双曲线：的左、右焦点，且与相交于点.（1）求椭圆的标准方程；（2）设直线：与椭圆交于，两点，以线段为直径的圆是否恒过定点？若恒过定点，求出该定点；若不恒过定点，请说明理由.【答案】（1）；（2）过定点，.【解析】【分析】（1）将两个曲线的交点当然双曲线的方程可得的值，进而求出双曲
23、线的左右焦点，即椭圆的左右顶点，再将交点的坐标代入椭圆的方程可得的值，进而求出椭圆的方程；（2）由对称性可得圆的圆心在y轴上，设M的坐标，设A，B的坐标，将直线与椭圆联立，求出两根之和及两根之积，求出数量积，求出M的坐标【详解】（1）将代入，解得将代入解得椭圆的标准方程为.（2）设，由整理得，.由对称性可知，以为直径的圆若恒过定点，则定点必在轴上.设定点为，则，解得以线段为直径的圆恒过定点.【点睛】本题考查求椭圆，双曲线的方程，及直线与圆锥曲线的综合，及以线段的端点为直径的圆的性质，属于难题.22. 已知函数，是f(x)的导函数（1）证明：当x0时，f(x)0；（2）证明：在()上有且只有3个
24、零点【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】【分析】（1）利用导数研究函数的单调性，利用单调性可证得不等式成立；（2）转化为证明在上有且只有3个零点，因为0是的一个零点，再根据为奇函数，所以只需证明在上有且只有一个零点，分两种情况证明：当时，利用导数证明，此时无零点，当时，利用导数得到函数为单调函数，再根据零点存在性定理得有且只有一个零点.【详解】（1）证明：令，则，当时，所以在上单调递增，所以当时，所以在上单调递增，又，所以当时，.（2）证明：，令，得，即令，则，是奇函数，且，即0是的一个零点，令，则，当时，所以在上单调递增，令，则在上单调递增，在上单调递减.由（1）知：当时，即，令，则，当时，单调递增，当时，单调递减，又，所以时，恒成立，即时，恒成立，所以当时，所以当时，恒成立，当时，所以在上为增函数，且，所以在上有且只有一个零点，设为，所以，因为是奇函数，所以在上的零点为，所以在上零点为，所以在上有且只有3个零点.所以在上有且只有3个零点.【点睛】本题考查了函数的零点，考查了零点存在性定理，考查了利用导数研究函数的单调性，考查了化归思想，函数与方程思想，考查了函数的奇偶性的应用，属于偏难题.
