1、2022精编复习题（六十一） 坐 标 系1在极坐标系中，已知圆C经过点P，圆心为直线sin与极轴的交点，求圆C的极坐标方程解：在sin中，令0，得1，所以圆C的圆心坐标为(1,0)因为圆C经过点P，所以圆C的半径PC 1，于是圆C过极点，所以圆C的极坐标方程为2cos .2设M，N分别是曲线2sin 0和sin上的动点，求M，N的最小距离解：因为M，N分别是曲线2sin 0和sin上的动点，即M，N分别是圆x2y22y0和直线xy10上的动点，要求M，N两点间的最小距离，即在直线xy10上找一点到圆x2y22y0的距离最小，即圆心(0，1)到直线xy10的距离减去半径，故最小值为11.3(20
2、21扬州质检)求经过极点O(0,0)，A，B三点的圆的极坐标方程解：点O，A，B的直角坐标分别为(0,0)，(0,6)，(6,6)，故OAB是以OB为斜边的等腰直角三角形，圆心为(3,3)，半径为3，圆的直角坐标方程为(x3)2(y3)218，即x2y26x6y0，将xcos ，ysin 代入上述方程，得26(cos sin )0，即6cos.4(2021山西质检)在极坐标系中，曲线C的方程为2，点R.(1)以极点为原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，把曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程，R点的极坐标化为直角坐标；(2)设P为曲线C上一动点，以PR为对角线的矩形PQRS的一边垂直于极
3、轴，求矩形PQRS周长的最小值，及此时P点的直角坐标解：(1)曲线C：2，即222sin23，从而2sin21.xcos ，ysin ，曲线C的直角坐标方程为y21，点R的直角坐标为R(2,2)(2)设P(cos ，sin )，根据题意可得|PQ|2cos ，|QR|2sin ，|PQ|QR|42sin，当时，|PQ|QR|取最小值2，矩形PQRS周长的最小值为4，此时点P的直角坐标为.5(2021南京模拟)已知直线l：sin4和圆C：2kcos(k0)，若直线l上的点到圆C上的点的最小距离等于2.求实数k的值并求圆心C的直角坐标解：圆C的极坐标方程可化为kcos ksin ，即2kcos k
4、sin ，所以圆C的直角坐标方程为x2y2kxky0，即22k2，所以圆心C的直角坐标为.直线l的极坐标方程可化为sin cos 4，所以直线l的直角坐标方程为xy40，所以|k|2.即|k4|2|k|，两边平方，得|k|2k3，所以或解得k1，故圆心C的直角坐标为.6已知曲线C的极坐标方程是sin28cos 0，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系xOy.在直角坐标系中，倾斜角为的直线l过点(2,0)(1)写出曲线C的直角坐标方程和直线l的参数方程；(2)设点Q和点G的极坐标分别为，(2，)，若直线l经过点Q，且与曲线C相交于A，B两点，求GAB的面积解：(1
5、)曲线C的极坐标方程化为2sin28cos 0，再化为直角坐标方程为y28x.直线l的参数方程为(t为参数)(2)点Q的直角坐标为(0，2)因为直线l过点P(2,0)和Q(0，2)，所以直线l的倾斜角.所以直线l的参数方程为(t为参数)将l的参数方程代入曲线C的直角坐标方程，得28.整理，得t28t320.(8)24322560.设t1，t2为方程t28t320的两个根，则t1t28，t1t232，所以|AB|t1t2|16.由极坐标与直角坐标互化公式得点G的直角坐标为(2,0)点G到直线l的距离为d|PG|sin 4542，所以SGABd|AB|16216.7(2021贵州联考)已知在一个极
6、坐标系中点C的极坐标为.(1)求出以C为圆心，半径长为2的圆的极坐标方程(写出解题过程)；(2)在直角坐标系中，以圆C所在极坐标系的极点为原点，极轴为x轴的正半轴建立直角坐标系，点P是圆C上任意一点，Q(5，)，M是线段PQ的中点，当点P在圆C上运动时，求点M的轨迹的普通方程解：(1)如图，设圆C上任意一点A(，)，则AOC或.由余弦定理得，424cos4，所以圆C的极坐标方程为4cos.(2)在直角坐标系中，点C的坐标为(1，)，可设圆C上任意一点P(12cos ，2sin )，又令M(x，y)，由Q(5，)，M是线段PQ的中点，得点M的轨迹的参数方程为(为参数)，即(为参数)，点M的轨迹的普通方程为(x3)2y21.8在平面直角坐标系中，曲线C1的参数方程为(为参数)，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2是圆心在极轴上且经过极点的圆，射线与曲线C2交于点D.(1)求曲线C1的普通方程和曲线C2的直角坐标方程；(2)已知极坐标系中两点A(1，0)，B，若A，B都在曲线C1上，求的值解：(1)C1的参数方程为C1的普通方程为y21.由题意知曲线C2的极坐标方程为2acos (a为半径)，将D 代入，得22a，a2，圆C2的圆心的直角坐标为(2,0)，半径为2，C2的直角坐标方程为(x2)2y24.(2)曲线C1的极坐标方程为2sin21，即2.，.
