1、第1课时 最值、范围、证明问题A组基础对点练1已知抛物线C：x22py(p0)，圆O：x2y21.(1)若抛物线C的焦点F在圆O上，且A为抛物线C和圆O的一个交点，求|AF|；(2)若直线l与抛物线C和圆O分别相切于点M，N，求|MN|的最小值及相应p的值解析：(1)由题意得F(0，1)，从而抛物线C：x24y.解方程组得y2.不妨设yA2，|AF|1.(2)设M(x0，y0)(y00)，则切线l：y(xx0)y0，结合x2py0，整理得x0xpypy00.由ONl且|ON|1得1，即|py0|，p且y10.|MN|2|OM|21xy12py0y1y14(y1)8，当且仅当y0时等号成立|MN
2、|的最小值为2，此时p.2在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：1(ab0)的离心率为，直线l和椭圆C交于A，B两点，当直线l过椭圆C的焦点，且与x轴垂直时，|AB|.(1)求椭圆C的方程；(2)设直线l过点(1，0)且倾斜角为钝角，P为弦AB的中点，当OPB最大时，求直线l的方程解析：(1)由题意知解得所以椭圆C的方程为y21.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线l：yk(x1)(k0).联立得方程组消去y，得(9k21)x218k2x9k290，故x1x2.故P(x0，y0)，则x0，y0k(x01)k，所以直线OP的斜率kOP.设直线l，OP的倾斜角分别为，则OPB，tan
3、OPBtan ().因为k0，所以(k)2，即k，所以tan OPB，当且仅当k时，等号成立，所以当OPB最大时，直线l的斜率k，此时直线l的方程为x3y10.B组素养提升练1已知抛物线C：y22px(p0)的焦点为F，A为C上位于第一象限的任意一点，过点A的直线l交C于另一点B，交x轴的正半轴于点D.(1)若当点A的横坐标为3，且ADF为等边三角形，求C的方程；(2)对于(1)中求出的抛物线C，若点D(x0，0)，记点B关于x轴的对称点为E，AE交x轴于点P，且APBP，求证：点P的坐标为(x0，0)，并求点P到直线AB的距离d的取值范围解析：(1)由题知F，|FA|3，则D(3p，0)，F
4、D的中点坐标为，则3，解得p2，故C的方程为y24x.(2)证明：依题可设直线AB的方程为xmyx0(m0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则E(x2，y2)，由消去x，得y24my4x00，因为x0，所以16m216x00，y1y24m，y1y24x0，设P的坐标为(xP，0)，则(x2xp，y2)，(x1xP，y1)，由题知，所以(x2xP)y1y2(x1xP)0，即x2y1y2x1(y1y2)xP，显然y1y24m0，所以xpx0，即证P(x0，0)，由题知EPB为等腰直角三角形，所以kAE1，即1，也即1，所以y1y24，所以(y1y2)24y1y216.即16m216x016，
5、m21x0，x01，又因为x0，所以x01，d，令t，x02t2，d2t，易知f(t)2t在上是减函数，所以d.2已知椭圆C：1(ab0)的离心率为，右焦点为F，且该椭圆过点.(1)求椭圆C的方程；(2)当动直线l与椭圆C相切于点A，且与直线x相交于点B时，求证：FAB为直角三角形解析：(1)由题意得，1，又a2b2c2，解得b21，所以a24，即椭圆C的方程为y21.(2)证明：由题意可得直线l的斜率存在，设l：ykxm，联立得，得(4k21)x28kmx4m240，判别式64k2m216(4k21)(m21)0，得m24k210.设A(x1，y1)，则x1，y1kx1mm，即A.易得B，F(，0)，则，110，所以，即FAB为直角三角形，得证
