1、4.3.2对数的运算课程标准：掌握积、商、幂的对数运算性质，理解其推导过程和成立的条件掌握换底公式并能用换底公式进行求值、化简教学重点：对数的运算性质、换底公式教学难点：灵活运用对数运算性质和换底公式.教学过程基础知识知识点一对数运算性质如果a0且a1，M0，N0，那么，(1)loga(MN)logaMlogaN；(2)logalogaMlogaN；(3)logaMnnlogaM(nR)思考1：在积的对数运算性质中，三项的乘积式loga(MNQ)是否适用？你能得到一个怎样的结论？提示：适用，loga(MNQ)logaMlogaNlogaQ，积的对数运算性质可以推广到真数是n个正数的乘积知识点二
2、换底公式(1)对数的换底公式：logab(a0且a1；c0且c1；b0)(2)三个较为常用的推论logablogbclogca1(a0，b0，c0，且均不为1)；logab(a0，b0，且均不为1)；logambnlogab(a0，b0，且均不为1，m0)基础自测1若，下列式子中正确的个数是()；.A0 B1 C2 D3解析 由对数运算法则知，均不正确故选A2等于()A1B2C5D6解析.3(2020天津和平区高一期中测试)计算：_.解析 原式.4.求下列各式的值：(1)；(2)lg5lg2；(3)ln3ln；(4)log35log315.解析 (1)方法一：log3(2792)log327l
3、og392log333log3343log334log33347；方法二：log3(2792)log3(3334)log3377log337.(2)lg5lg2lg(52)lg101.(3)ln3lnln(3)ln10.(4)log35log315log3log3log3311.题型探究题型一 对数运算性质的应用例1用logax，logay，logaz表示：(1)loga(xy2)；(2)loga(x)；(3)loga.解析(1)loga(xy2)logaxlogay2logax2logay.(2)loga(x)logaxlogalogaxlogay.(3)logalogalogaxloga(
4、yz2)(logaxlogay2logaz)归纳提升对对数式进行计算、化简时，一要注意准确应用对数的性质和运算性质二要注意取值范围对符号的限制【对点练习】 用logax、logay、logaz表示下列各式：(1)loga(x3y5)；(2)loga.解析 (1)loga(x3y5)logax3logay53logax5logay.(2)logalogaloga(yz)logax(logaylogaz)题型二 利用对数运算性质化简、求值例2化简下列各式：(1)log2(2345)；(2)；(3)lg142lglg7lg18；(4)log2log2；(5)log2(1)log2(1)分析熟练掌握对
5、数的运算性质并能逆用性质是解题的关键进行对数运算，要注意法则的正用和逆用在化简变形的过程中，要善于观察、比较和分析，从而选择快捷、有效的运算方案解析(1)log2(2345)log223log24535log2435213.(2)1.(3)方法一：lg142lglg7lg18lg(27)2(lg7lg3)lg7lg(322)lg2lg72lg72lg3lg72lg3lg20.方法二：lg142lglg7lg18lg14lg()2lg7lg18(4)log2log2log2()()log2log242.(5)log2(1)log2(1)log2(1)2()2log2(323)log22log22
6、.lglg10.归纳提升利用对数运算性质化简与求值的原则(1)正用或逆用公式，对真数进行处理(2)选哪种策略化简，取决于问题的实际情况，一般本着便于真数化简的原则进行【对点练习】 计算下列各式的值：(1)(2020湖南衡阳高一期末测试)log3lglg4；(2)(2020江苏、苏州市高一期中测试)(lg5)2lg2lg50.解析(1)原式lglg1011.(2)原式(lg5)2lg2lg(510)(lg5)2lg2(1lg5)(lg5)2lg2lg2lg5lg5(lg5lg2)lg2lg5lg2lg101.题型三 换底公式的应用例3(1)计算log2log3log5；(2)若log34log4
7、8log8mlog42，求m的值分析(1)对数的底数不同，如何将其化为同底的对数？(2)等式左边前一个对数的真数是后面对数的底数，利用换底公式很容易进行约分求解m的值解析 (1)原式12.(2)由题意，得，lgmlg3，即lgmlg3，m.归纳提升 关于换底公式的用途和本质：(1)换底公式的主要用途在于将一般对数式化为常用对数或自然对数，然后查表求值，以此来解决对数求值的问题(2)换底公式的本质是化异底为同底，这是解决对数问题的基本方法(3)在运用换底公式时，若能结合底数间的关系恰当选用一些重要的结论，如logab；logaann，logambnlogab；lg2lg51等，将会达到事半功倍的
8、效果【对点练习】 计算下列各式的值：(1)log89log2732；(2)log927；(3)log2log3log5.解析 (1)log89log2732.(2)log927.(3)log2log3log5log253log325log5313log25(5log32)(log53)1515.误区警示忽视真数大于零致误例4 解方程：log2(x1)log4(x4)1.错解原方程变形为log2(x1)log2(x4)1，log2(x1)log21，log2log22，2，x22x150，x3或x5，故原方程的解为x3或x5.错因分析解题过程中忽视对数logaN中真数N必须大于0时对数才有意义实
9、际上，在解答此类题时，要时刻关注对数本身是否有意义另外，在运用对数运算性质或相关公式时也要谨慎，以防出错正解log2(x1)log4(x4)1，log41，解得x5或x3(舍去)方程log2(x1)log4(x4)1的解为x5.方法点拨在将对数方程化为代数方程的过程中，未知数的范围扩大或缩小就容易产生增根故解对数方程必须把所求的解代入原方程进行检验，否则易产生增根，造成解题错误也可以像本题的求解过程这样，在限制条件下去求解学科素养转化与化归思想的应用与综合分析解决问题的能力例5 (1)设3x4y36，求的值；(2)已知log23a,3b7，求log1256.分析 (1)欲求的值，已知3x36,
10、4y36，由此两式怎样得到x，y，容易想到对数的定义故可用等式两端取同底的对数(指对互化)来解决(2)已知条件中有指数式，也有对数式，而待计算式为对数式，因此可将指数式3b7化为对数式解决观察所给数字特征、条件式中为2、3、7，又12322,56723，故还可以利用换底公式的推论loganbmlogab，将条件中的对数式log23a化为指数式解答解析 (1)由已知分别求出x和y，3x36,4y36，xlog336，ylog436，由换底公式得：x，y，log363，log364，2log363log364log36(324)log36361.(2)解法一：因为log23a，所以2a3.又3b7，故7(2a)b2ab，故5623ab，又12342a42a2，从而log1256.解法二：因为log23a，所以log32.又3b7，所以log37b.从而log1256.归纳提升1.应用换底公式应注意的事项(1)注意换底公式的正用、逆用以及变形应用(2)题目中有指数式和对数式时，要注意将指数式与对数式统一成一种形式，注意转化与化归思想的运用2对数式的条件求值问题要注意观察所给数字特征，分析找到实现转化的共同点进行转化3利用换底公式计算、化简、求值的一般思路：思路一：用对数的运算法则及性质进行部分运算换成同一底数思路二：一次性统一换为常用对数(或自然对数)化简、通分、求值
