1、第3节空间点、直线、平面的位置关系 【选题明细表】知识点、方法题号平面的基本性质1,10,12,14点、线、面的位置关系2,3,7,12异面直线所成的角4,5,6,8,9,11,13基础对点练(时间:30分钟)1.设A,B,C,D是空间中四个不同的点,下列命题中,不正确的是(C)(A)若AC与BD共面,则AD与BC共面(B)若AC与BD是异面直线,则AD与BC是异面直线(C)若AB=AC,DB=DC,则AD=BC(D)若AB=AC,DB=DC,则ADBC解析:若AB=AC,DB=DC,AD不一定等于BC,C不正确.2.(2016黑龙江大庆高三月考)下列说法正确的是(D)(A)若a,b,则a与b
2、是异面直线(B)若a与b异面,b与c异面,则a与c异面(C)若a,b不同在平面内,则a与b异面(D)若a,b不同在任何一个平面内,则a与b异面解析:由异面直线的定义可知选D.3.设m,n是空间两条直线,是空间两个平面,则下列选项中不正确的是(C)(A)当n时,“n”是“”的充要条件(B)当m时,“m”是“”的充分不必要条件(C)当m时,“n”是“mn”的必要不充分条件(D)当m时,“n”是“mn”的充分不必要条件解析:C中,当m时,若n,则直线m,n可能平行,可能异面;若mn,则n或n,所以“n”是“mn”的既不充分也不必要条件.4.(2016陕西质量检测)在正四棱柱ABCDABCD中,AB=
3、1,AA=2,则AC与BC所成角的余弦值为(C)(A)(B)(C)(D)解析:由题意知,ACB即为AC与BC所成的角,连接AB,在RtABC中,AC=,BC=1,故cos ACB=.5.正方体ABCDA1B1C1D1中,点P在线段AD1上运动,则异面直线CP与BA1所成的角的取值范围是(D) (A)0(B)0(C)0(D)0解析:当P在D1处时,CP与BA1所成角为0;当P在A处时,CP与BA1所成角为,所以0.故选D.6.(2015济南一模)在正四棱椎VABCD中,底面正方形ABCD的边长为1,侧棱长为2,则异面直线VA与BD所成的角的大小为.解析:如图,设ACBC=D,连接VO,因为四棱锥
4、VABCD是正四棱锥,所以VO平面ABCD,故BDVO.又四边形ABCD是正方形,所以BDAC,所以BD平面VAC,所以BDVA,即异面直线VA与BD所成角的大小为.答案:7.如图所示,正方体ABCDA1B1C1D1中,M,N分别为棱C1D1,C1C的中点,有以下四个结论: 直线AM与CC1是相交直线;直线AM与BN是平行直线;直线BN与MB1是异面直线;直线MN与AC所成的角为60.其中正确的结论为(注:把你认为正确的结论序号都填上).解析:由题图可知AM与CC1是异面直线,AM与BN是异面直线,BN与MB1为异面直线.因为D1CMN,所以直线MN与AC所成的角就是D1C与AC所成的角,且此
5、角为60.答案:8.(2016揭阳模拟)如图所示,在正三棱柱ABCA1B1C1中,D是AC的中点,AA1AB=1,则异面直线AB1与BD所成的角为.解析:如图,取A1C1的中点D1,连接B1D1,因为D是AC的中点,所以B1D1BD,所以AB1D1即为异面直线AB1与BD所成的角.连接AD1,设AB=a,则AA1=a,所以AB1=a,B1D1=a,AD1=a.所以,在AB1D1中,由余弦定理得cos AB1D1=,所以AB1D1=60.答案:609.A是BCD所在平面外的一点,E,F分别是BC,AD的中点.(1)求证:直线EF与BD是异面直线;(2)若ACBD,AC=BD,求EF与BD所成的角
6、.(1)证明:假设EF与BD不是异面直线,则EF与BD共面,从而DF与BE共面,即AD与BC共面,所以A,B,C,D在同一平面内,这与A是BCD所在平面外的一点相矛盾,故直线EF与BD是异面直线.(2)解:取CD的中点G,连接EG,FG,则EGBD,所以相交直线EF与EG所成的角,即为异面直线EF与BD所成的角.在RtEGF中,由EG=FG=AC,求得FEG=45,即异面直线EF与BD所成的角为45.能力提升练(时间:15分钟)10.(2016四川雅安诊断)下列说法错误的是(D)(A)两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内(B)过直线外一点有且只有一个平面与已知直线垂直(C)如果共点的三
7、条直线两两垂直,那么它们中每两条直线确定的平面也两两垂直(D)如果两条直线和一个平面所成的角相等,则这两条直线一定平行解析:选项A,B,C均正确,故排除.如果两条直线和一个平面所成的角相等,则这两条直线不一定平行,D错误.故选D.11.(2016云南师大附中适应性考试)三棱柱ABCA1B1C1中,AA1与AC,AB所成的角均为60,BAC=90,且AB=AC=AA1,则A1B与AC1所成角的正弦值为(D)(A)1(B)(C)(D)解析:如图所示,把三棱柱补成四棱柱ABDCA1B1D1C1,连接BD1,则BD1AC1,则A1BD1就是异面直线A1B与AC1所成的角,设AB=a,在A1BD1中,A
8、1B=a,BD1=a,A1D1=a,所以sin A1BD1=.12.(2015台州一模)以下四个命题中:不共面的四点中,任意三点不共线;若点A,B,C,D共面,点A,B,C,E共面,则点A,B,C,D,E共面;若直线a,b共面,直线a,c共面,则直线b,c共面;依次首尾相连的四条线段必共面.正确命题的个数是(B)(A)0(B)1(C)2(D)3解析:显然是正确的,可用反证法证明.若A,B,C三点共线,则A,B,C,D,E五点不一定共面.如图,显然b,c异面,故不正确.空间四边形中四条线段不共面,故只有正确. 13.四棱锥PABCD中,PA平面ABCD,ABCD为正方形,AB=PA=2,M,N分
9、别为PA,PB的中点,则MD与AN所成角的余弦值为.解析:取CD的中点E,连接AE,NE,MN,易得MNDE,于是可得MDNE,则ANE为异面直线AN与MD所成的角,在ANE中, AE=,NE=MD=,AN=PB=,cos ANE=.答案:14.已知正方体ABCDA1B1C1D1中,E,F分别为D1C1,C1B1的中点, ACBD=P,A1C1EF=Q.求证:(1)D,B,E,F四点共面;(2)若A1C交平面DBFE于R点,则P,Q,R三点共线.证明:(1)如图所示,因为EF是D1B1C1的中位线, 所以EFB1D1.在正方体AC1中,B1D1BD,所以EFBD.所以EF,
10、BD确定一个平面.即D,B,F,E四点共面.(2)在正方体ABCDA1B1C1D1中,设平面A1ACC1确定的平面为,又设平面BDEF为.因为QA1C1,所以Q.又QEF,所以Q.则Q是与的公共点,同理,P点也是与的公共点.所以=PQ.又A1C=R,所以RA1C,R且R.则RPQ,故P,Q,R三点共线.精彩5分钟1.如图所示,在正方体ABCDA1B1C1D1中,M,N分别是BC1,CD1的中点,则下列判断正确的是.(填所有正确结论的序号)MN与CC1垂直;MN与AC垂直;MN与BD平行;MN与A1B1平行.解题关键:连接B1C,则点M是B1C的中点,根据三角形的中位线,证明MNB1D1.解析:
11、连接B1C,B1D1,则点M是B1C的中点,MN是B1CD1的中位线,所以MNB1D1,因为CC1B1D1,ACB1D1,BDB1D1,所以MNCC1,MNAC,MNBD,故正确.又因为A1B1与B1D1相交,所以MN与A1B1不平行,因此错误.答案:2.一个正方体纸盒展开后如图所示,在原正方体纸盒中有如下结论: ABEF;AB与CM所成的角为60;EF与MN是异面直线;MNCD.以上四个结论中,正确结论的序号是.解题关键:把平面展开图还原为正方体,观察正方体进行判断.解析:把正方体的平面展开图还原成原来的正方体, 如图所示,则ABEF,EF与MN为异面直线,ABCM,MNCD,故正确. 答案:
