1、2016 年竞赛与自主招生专题第十三讲排列组合与二项式定理 从2015年开始自主招生考试时间推后到高考后，政策刚出时，很多人认为，是不是要在高考出分后再考自主招生，是否高考考完了，自主招生并不是失去其意义。自主招生考察了这么多年，使用的题目的难度其实已经很稳定，这个题目只有出到高考以上，竞赛以下，才能在这么多省份间拉开差距. 所以，笔试难度基本稳定，维持原自主招生难度，原来自主招生的真题竞赛真题等，具有参考价值。 在近年自主招生试题中，排列组合、二项式定理是自主招生必考的一个重要内容之一。一、知识精讲 1.分类加法原理（加法原理）:. 2.分步计数原理（乘法原理）:. 3.排列数公式: =.(
2、，N*，且)注:规定. 4.排列恒等式 ：（1）； （2）； （3）；(4) . 5.组合数公式： =(，且). 6.组合数的两个性质：(1)= ； (2) +=；注:规定. 7.组合恒等式（1）； （2）=； （3）； (4)； (5)；(6)； 8.排列数与组合数的关系： . 9.二项式定理： ;二项展开式的通项公式：.1. 几个基本组合恒等式：；（范德蒙公式）。2. 不尽相异的个元素的全排列：在个元素中，有个元素相同，又另有个元素相同，。，一直到另有个元素相同，且，这个元素的全排列叫做不尽相异的个元素的全排列。不难得到，此全排列数计算公式为：。3. 从个元素里取个元素的环排列：从个不同元
3、素中任取个元素按照圆圈排列，这种排列叫做从个元素里取个元素的环排列。如果元素之间的相对位置没有改变，它们就是同一种排列。把一个个元素的环在个不同的位置拆开，即得个不同的线排列。由于个不同元素中任务个元素的排列方法种，所以个不同元素中任取个元素的环排列方法有种。特别地，个不同元素的环排列方法有（种）。注：排列数，有些地方也记为。4. 一次不定方程的非负整数解的个数等于（或）；正整数解的个数等于（或）。5. 错位排列问题：设集合，所有元素的一种全排列，满足，则称这样的排列为错位全排列。用表示错位全排列总数，则。6. 排列、组合应用题常用的解法有：运用两个基本原理（加法原理、乘法原理）；特殊元素（位
4、置）优先考虑；捆绑法；插入法；排除法；机会均等法；转化法。7. 证明组合恒等式的常用方法有：赋值法；母函数法；构造组合模型法。三、 典例精讲例1（2009华南理工）在的展开式中，的系数为（ ）。（A） （B） （C） （D）答案A分析与解答：的系数。例2（2011“卓越联盟”）数列共有11项，且。满足这种条件的不同数列的个数为（ ）（A）100 （B）120 （C）140 （D）160分析与解答： 依题意，或，设有个1，则有个-1，依题意知：，所以。从而所有这样的数列个数为。故选B。例3（2006复旦）对于一个四位数，其各位数字至多有两个不相同，试求共有多少个这种四位数？分析与解答： 显然，四
5、位数全部相同的四位数恰有9个，下面考虑四位数字恰有两个不同数字的四位数，分三个步骤考虑：第一步，先考虑千位数字，有9种可能取法：1,2,3，。9第二步，再考虑百位、十位、个位上的数字，由于恰有两个不同数字，故除了千位数字外，再从中选出1个数码。第三步：前两步两个数码确定后，再对个位、十位、百位上的数字进一步确定；这三个位置上分别各有2种可选择性，但要去掉一种情况：即个位、十位、百位上的数码选出的都和千位数字完全相同，故有种选法。综上，共有四位数个。例4（2007复旦）三边均为整数，且最大边长为11的三角形共有（ ）个。（A）20 （B）26 （C）30 （D）36答案：D分析与解答：不妨设三边
6、长为，且，则。若，共1个；若，共2个；若，共3个；若，共4个；若，共5个；若，共6个；若，共5个；若，共4个；若，共3个；若，共2个；若，共1个。故共有个。例5（2010同济）若多项式，则 。答案：-10分析与解答：考虑两边的系数，易知。再考虑两边的系数，右边。左边的系数为0，所以。例6（2008上海交大）中的系数为 。答案：分析与解答：原式 ，故的系数为。例7（2008上海交大）通信工程中常用元数组表示信息，其中或1（）。设，表示和中相对应的元素不同的个数。（1） 问存在多少个5元数组，使得；（2） 问存在多少个5元数组，使得；（3） 令，求证：。分析与解答：（1）满足条件的数组共有个。（2
7、） 满足条件的数组共有个。（3） 设中对应项同时为0的共有个，同时为1的共有个，从而对应项一项为1、一项为0的共有个，这里，从而。 而，得证。例88个女孩和25个男孩围成一圈，任何两个女孩之间至少站两个男孩，问共有多少种不同的排列方法（只要把圈旋转一下就重合的排法认为是相同的）.分析：以1个女孩和2个男孩为一组，且使女孩恰好站在两个男孩中间，余下的9个男孩和这8个组被看成是17个元素，显然这17个元素任意的圆排列是满足题意的分析： 先从25个男孩中选出9个男孩共有种可能。其次，上述17个元素的圆排列数为种. 再次，分在8个组内的16个男孩在16个位置上的排列是，所以总的排列方法数为：例9（20
8、12“北约”）求证:对任意的正整数，必可表示成的形式，其中。分析与解答：由二项式定理，。而，所以 ， 当时，令，则，显然，且；当时，令即可。四、 真题训练1.（2009复旦）设有个不同颜色的球，放入个不同的盒子中，要求每个盒子至少有一个球，则不同的放法有（ ）种。（A） （B） （C） （D）2.（2008复旦）在二项式的展开式中，若前3项的系数成等差数列，则展开式中有理项的项数为（ ）（A）2 （B）3 （C）4 （D）53.（2008复旦）二项式的展开式中系数之比为的相邻两项是（ ）。（A） 第29、30项 （B）第33、34项 （C）第55、56项 （D）第81、82项4.（2008复旦
9、）5个不同元素排成一列，规定不许排第一，不许排第二，不同的排法共有（ ）（A）64种 （B）72种 （C）78种 （D）84种5.（2008复旦）设是由三个不同元素组成的集合，且是的子集族，满足性质：空集和属于，并且中任何两个元的交集和并集还属于。问所有可能的的个数为（ ）。（A）29 （B）33 （C7）43 （D）596.（2007复旦）将一个四棱锥的每个顶点染上一种颜色，并使一条棱的两端点异色，若只有五种颜色可供使用，则不同的染色方法的总数为（ ）（A）120 （B）260 （C）340 （D）4207.（2007复旦）在的展开式中有（ ）项为有理数。（A）10 （B）11 （C）12
10、（D）138.（2007复旦）在集合中任选两个数作为椭圆方程中的和，则能组成落在矩形区域内的椭圆个数是（ ）（A）70 （B）72 （C）80 （D）889.（2008武大）某停车场内有序号为1,2,3,4,5的五个车位顺次排成一排，现在四辆车需要停放，若两车停放的车位必须相邻，则停放方式种数为（ ）。（A）120 （B）48 （C）24 （D）1210.（2006复旦）在的展开式中系数最大的项是（ ）。（A） 第4,6项 （B）第5,6,项 （C）第5,7项 （D）第6,7项11.（2006复旦）对所有满足的，极坐标方程表示的不同双曲线条数为（ ）。（A）6 （B）9 （C）12 （D）15
11、12.（2006武大）a,b,c,d,e五人站成一排准备合影，如果a要求既不与b相邻，也不与c相邻，那么不同的排法有（ ）（A）12种 （B）24种 （C）36种 （D）72种13.（2006武大）设是等差数列，从中任取3个不同的数，使这三个数仍能成等差数列，则这样不同的等差数列最多有（ ）。（A）90个 （B）120个 （C）180个 （D）200个14.（2007武大）如果9名同学分别到三个不同的工厂进行社会实践调查活动，每个工厂3人，那么不同的分配方案共有（ ）（A） 种 （B）种 （C）种 （D）种15.（2007武大）一个口袋中装有大小相同的3个红球和2个白球，从袋中每次至少取一个球
12、，共4次取完，那么不同的取球方式共有（ ）（A）40种 （B）28种 （C）16种 （D）10种16.（2007武大）在的展开式中，各项系数之和是（ ）。（A）1 （B） （C）-1 （D）五、 真题训练答案1.【答案】D【分析与解答】：由条件，个盒子所放球只能为1个盒子放2个，其余个盒子放1个；其中放2个球盒子共有种选法放在一起的2个球共有种选法，其余个球放在个盒子中，共有种选法。 故不同放法共有种。2.【答案】B【分析与解答】：由条件，前3项系数分别为1、，故解得。 从而，其中。要使为有理项，则，从而，故共有3项有理项。3.【答案】B【分析与解答】：，则，故相邻两项为第33、34项。4.【
13、答案】C【分析与解答】：若排第一，共有种排法；若排第二，共有种排法；若排第一且排第二，有种排法。由容斥原理，共有种不同排法。5.【答案】A【分析与解答】：按照集合所含元素个数分类。若为二元集，即，共1个；若为三元集，有、，共6个；若为四元集，有、，共9个；若为五元集，有、，共6个；若为六元集，有、，共6个；若为七元集，不存在集合满足要求；若为八元集，即，共1个。故共有个。6.【答案】D【分析与解答】：若用五种颜色，则共有种方法；若用四种颜色，共有种方法；若用三种颜色，由于四个侧面中任一个面确定下来，其余也随之确定，故共有种方法。从而不同染色方法共有种。7.【答案】D【分析与解答】：，要使其为有
14、理数，则。又，故，从而共有13项为有理数。8.【答案】B【分析与解答】：对椭圆，有，故落在矩形区域内的椭圆满足且，故共有个。9.【答案】B【分析与解答】：可停在共有4种可能，且可互换位置；可停在余下3个位置，共有种可能。故停放方式共有种。10.【答案】C【分析与解答】：，为偶数时，为奇数时，又，故或6时，最大，即为第5、7项。11.【答案】A【分析与解答】：离心率，故，从而，共有6条。12.【答案】C【分析与解答】：若相邻，将看成整体，共有种排法；若相邻，同理也有48种排法；若相邻且相邻，则将看成整体，有种，又可换，故此时共有种排法。从而所求排法数为种。13.【答案】C【分析与解答】：易知成等
15、差数列当且仅当成等差数列，即，即只要与同奇偶就对应1个等差数列。 令，则、同属于A或同属于B，从而不同等差数列共有个。14.【答案】A【分析与解答】：9个人中先选3个人到第一个工厂，再在余下6个人中选3个人到第二个工厂，那么剩下的3个人去第三个工厂，共有种方案。15.【答案】B【分析与解答】：4次中有1次取2个球，则这一次共有4种可能。所取2个球若为2个白球，则剩下3个红球，只有1种可能；若所取为2个红球则剩下1个红球和2个白球，可能为红、白、白或白、红、白或白、白、红，有3种可能；若所取为1个红球1个白球，则剩下2个红球和1个白球，同理有3种可能。故不同的取球方式有种。16.【答案】D【分析与解答】：设，令，得。
