1、高考资源网() 您身边的高考专家课时作业(三十一)(第一次作业)1设直线l与平面相交,且l的方向向量为a,的法向量为n,若a,n,则l与所成的角为()A.B.C. D.答案C解析如图所示,直线l与平面所成的角.2在三棱锥ABCD中,平面ABD与平面BCD的法向量分别为n1,n2,若n1,n2,则二面角ABDC的大小为()A. B.C.或 D.或答案C解析如图所示,当二面角ABDC为锐角时,它就等于n1,n2;当二面角ABDC为钝角时,它应等于n1,n2.3若平面的一个法向量为n(1,0),则y轴与平面的夹角为()A. B.C. D.答案C4在矩形ABCD中,AB1,BC,PA平面ABCD,PA
2、1,则PC与平面ABCD所成角是()A30 B45C60 D90答案A解析建立如图所示的空间直角坐标系,则P(0,0,1),C(1,0),(1,1),平面ABCD的一个法向量为n(0,0,1),所以cos,n.所以,n120.所以PC与平面ABCD的法向量所在直线所成角为60.所以PC与平面ABCD所成角为30.故选A.5已知在正四棱柱ABCDA1B1C1D1中,AA12AB,E是AA1中点,则异面直线BE与CD1所成角的余弦值为()A. B.C. D.答案C解析以DA,DC,DD1所在直线分别为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系,如图,设ABa,则ADa,AA12a.B(a,a,0),C(0
3、,a,0),D1(0,0,2a),E(a,0,a),(0,a,a),(0,a,2a),cos,.6.如图所示,已知点P为菱形ABCD外一点,且PA面ABCD,PAADAC,点F为PC中点,则二面角CBFD的正切值为()A. B.C. D.答案D解析如图,连接OF,以O为原点,OB,OC,OF所在直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系Oxyz,设PAADAC1,则BD.B(,0,0),F(0,0,),C(0,0),D(,0,0)结合图形可知,(0,0)且为平面BOF的一个法向量,由(,0),(,0,),可求得平面BCF的一个法向量n(1,)cosn,sinn,.tann,.7在正三棱锥VABC
4、中,若VAABa,则侧棱VA与底面ABC夹角的余弦值为_答案8.如图所示,点A,B,C分别在空间直角坐标系Oxyz的三条坐标轴上,(0,0,2),平面ABC的一个法向量为n(2,1,2),设二面角CABO的大小为,则cos_答案9正方体ABCDA1B1C1D1中,BB1与平面ACD1所成角的正弦值为_答案10.如图,四棱锥PABCD的底面是正方形,PD底面ABCD,点E在棱PB上(1)求证:平面AEC平面PDB;(2)当PDAB且E为PB的中点时,求AE与平面PDB所成的角的大小解析方法一:(1)证明:四边形ABCD是正方形,ACBD.PD底面ABCD,PDAC.又PDBDD,且BD平面PDB
5、,PD平面PDB,AC平面PDB.又AC平面AEC,平面AEC平面PDB.(2)设ACBDO,连接OE.由(1)知AC平面PDB于O,AEO为AE与平面PDB所成的角O,E分别为DB,PB的中点,OEPD,OEPD.又PD底面ABCD,OE底面ABCD,OEAO.在RtAOE中,OEPDABAO,AEO45,即AE与平面PDB所成的角为45.方法二:如图,以D为原点建立空间直角坐标系Dxyz.设ABa,PDh,则A(a,0,0),B(a,a,0),C(0,a,0),D(0,0,0),P(0,0,h)(1)证明:(a,a,0),(0,0,h),(a,a,0),0,0,ACDP,ACBD.又PDB
6、DD,且BD平面PDB,PD平面PDB,AC平面PDB.又AC平面AEC,平面AEC平面PDB.(2)当PDAB且E为PB的中点时,P(0,0,a),E(a,a,a)设ACBDO,则O(a,a,0),连接OE.由(1)知AC平面PDB于O.AEO为AE与平面PDB所成的角(a,a,a),(0,0,a),cosAEO.AEO45,即AE与平面PDB所成的角为45.11.如图,三棱锥PABC中,PC平面ABC,PC3,ACB.D,E分别为线段AB,BC上的点,且CDDE,CE2EB2.(1)证明:DE平面PCD;(2)求二面角APDC的余弦值解析(1)证明:由PC平面ABC,DE平面ABC,故PC
7、DE.由CE2,CDDE,得CDE为等腰直角三角形,故CDDE.由PCCDC,CD平面PCD,PC平面PCD,故DE平面PCD.(2)由(1)知,CDE为等腰直角三角形,DCE.如图,过D作DF垂直CE于F,易知DFFCFE1,又已知EB1,故FB2.由ACB,得DFAC,.故ACDF.以C为坐标原点,分别以,的方向为x轴,y轴,z轴的正方向建立空间直角坐标系,则C(0,0,0),P(0,0,3),A(,0,0),E(0,2,0),D(1,1,0),(1,1,0),(1,1,3),(,1,0)设平面PAD的法向量为n1(x1,y1,z1),由得故可取n1(2,1,1)由(1)可知DE平面PCD
8、,故平面PCD的法向量n2可取为,即n2(1,1,0)从而法向量n1,n2的夹角的余弦值为cosn1,n2.故所求二面角APDC的余弦值为.12(2019课标全国,理)如图,直四棱柱ABCDA1B1C1D1的底面是菱形,AA14,AB2,BAD60,E,M,N分别是BC,BB1,A1D的中点(1)证明:MN平面C1DE;(2)求二面角AMA1N的正弦值解析(1)证明:连结ME和B1C,M,E分别是BB1和BC的中点,MEB1C且MEB1C,又N是A1D的中点,MEDN,且MEDN,四边形MNDE是平行四边形,MNDE,又DE平面C1DE,MN平面C1DE,MN平面C1DE.(2)以D为原点建立
9、如图空间直角坐标系,由题得D(0,0,0),A(2,0,0),A1(2,0,4),M(1,2),(0,0,4),(1,2),(2,0,4),设平面AA1M的法向量为n1(x1,y1,z1),平面DA1M的法向量为n2(x2,y2,z2),由得令x1得n1(,1,0),由得令x22得n2(2,0,1),cosn1,n2,二面角AMA1N的正弦值为.1PA,PB,PC是从P引出的三条射线,每两条的夹角都是60,则直线PC与平面PAB夹角的余弦值为()A. B.C. D.答案D2如图,在四棱锥PABCD中,PD底面ABCD,ABCD为正方形,且PDAB1,G为ABC的重心,则PG与底面的夹角满足()
10、A BcosCtan Dsin答案B3如图,在直三棱柱ABCA1B1C1中,ABBC.若直线AC与平面A1BC所成的角为,二面角A1BCA的大小为,则与的大小关系为()A BC D大小不确定答案B4若异面直线l1,l2的方向向量分别是a(0,2,1),b(2,0,4),则异面直线l1,l2的夹角的余弦值为()A B.C D.答案B解析cosa,b,则异面直线l1,l2夹角的余弦值为.故选B.5若a(,1,2)与b(2,1,2)的夹角为钝角,则实数的取值范围为()A B且2C且4 D答案B解析由已知,得ab2140,即0,故n,所以直线AC与平面ABEF的夹角n,所以sinsin(n,)cosn
11、,.13(2015北京)如图,在四棱锥AEFCB中,AEF为等边三角形,平面AEF平面EFCB,EFBC,BC4,EF2a,EBCFCB60,O为EF的中点(1)求证:AOBE;(2)求二面角FAEB的余弦值;(3)若BE平面AOC,求a的值解析(1)证明:因为AEF是等边三角形,O为EF的中点,所以AOEF.又因为平面AEF平面EFCB,AO平面AEF,所以AO平面EFCB,所以AOBE.(2)取BC中点G,连接OG.由题设知EFCB是等腰梯形,所以OGEF.由(1)知AO平面EFCB,又OG平面EFCB,所以OAOG.如图建立空间直角坐标系Oxyz,则E(a,0,0),A(0,0,a),B
12、(2,(2a),0),(a,0,a),(a2,(a2),0)设平面AEB的法向量为n(x,y,z),则可得令z1,则x,y1.于是n(,1,1)平面AEF的法向量为p(0,1,0)所以cosn,p.由题知二面角FAEB为钝角,所以它的余弦值为.(3)因为BE平面AOC,所以BEOC,即0.因为(a2,(a2),0),(2,(2a),0),所以2(a2)3(a2)2.由0及0a0),则E(,)(,),(0,2,0)设平面CDE的一个法向量m(x,y,z),由m,m,得m0,m0.故0,2y0.令x2,则m(2,0,)由平面DEC平面SBC,得mn,所以mn0,20,2.故SE2EB.(2)由(1
13、)知E(,),取DE中点为F,则F(,),(,),故0,由此得FADE.又(,),故0,由此得ECDE.向量与的夹角等于二面角ADEC的平面角于是cos,.所以二面角ADEC的大小为120.5(2019天津,理)如图,AE平面ABCD,CFAE,ADBC,ADAB,ABAD1,AEBC2.(1)求证:BF平面ADE;(2)求直线CE与平面BDE所成角的正弦值;(3)若二面角EBDF的余弦值为,求线段CF的长解析依题意,可以建立以A为原点,分别以,的方向为x轴,y轴,z轴正方向的空间直角坐标系(如图)可得A(0,0,0),B(1,0,0),C(1,2,0),D(0,1,0),E(0,0,2)设C
14、Fh(h0),则F(1,2,h)(1)证明:依题意,(1,0,0)是平面ADE的法向量,又(0,2,h),可得0,又因为直线BF平面ADE,所以BF平面ADE.(2)依题意,(1,1,0),(1,0,2),(1,2,2),设n(x,y,z)为平面BDE的法向量,则即不妨令z1,可得n(2,2,1),因此有cos,n.所以,直线CE与平面BDE所成角的正弦值为.(3)设m(x,y,z)为平面BDF的法向量,则即不妨令y1,可得m(1,1,)由题意,有|cosm,n|,解得h.经检验,符合题意所以,线段CF的长为.1若一个二面角的两个半平面分别平行于另一个二面角的两个半平面,则这两个二面角的关系是
15、()A相等B互补C相等或互补 D不能确定答案C2直二面角l,线段AB,A,B,AB与所成的角为30,则AB与所成角的取值范围是_答案0,60解析如图,设AB与所成的角为,当Al时,0; 当OAl时,60.3.如图所示,A1B1C1ABC是直三棱柱,BCA90,点D1,F1分别是A1B1和A1C1的中点,若BCCACC1,则BD1与AF1所成角的余弦值为_答案解析以CA,CB,CC1所在直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系,设BCCACC11,则A(1,0,0),F1(,0,1),B(0,1,0),D1(,1)(,0,1),(,1)cos,.4如图,在四棱锥SABCD中,底面ABCD是正方形
16、,SA底面ABCD,SAAB,点M是SD的中点,ANSC,且交SC于点N.(1)求证:平面SAC平面AMN;(2)求二面角DACM的大小解析(1)证明:如图,以A为坐标原点,建立空间直角坐标系Axyz.由于SAAB,可设ABADAS1,则A(0,0,0),B(0,1,0),C(1,1,0),D(1,0,0),S(0,0,1),M(,0,)(,0,),(1,1,1)0,AMCS.又SCAN且ANAMA,SC平面AMN.又SC平面SAC,平面SAC平面AMN.(2)SA底面ABCD,是平面ABCD的一个法向量,(0,0,1)设平面ACM的法向量为n(x,y,z),(1,1,0),(,0,),则则取
17、n(1,1,1),cos,n,二面角DACM的余弦值是.5(2015天津)如图,在四棱柱ABCDA1B1C1D1中,侧棱A1A底面ABCD,ABAC,AB1,ACAA12,ADCD,且点M和N分别为B1C和D1D的中点(1)求证:MN平面ABCD;(2)求二面角D1ACB1的正弦值;(3)设E为棱A1B1上的点,若直线NE和平面ABCD所成角的正弦值为,求线段A1E的长解析如图,以A为原点建立空间直角坐标系,依题意可得A(0,0,0),B(0,1,0),C(2,0,0),D(1,2,0),A1(0,0,2),B1(0,1,2),C1(2,0,2),D1(1,2,2)又因为M,N分别为B1C和D
18、1D的中点,得M(1,1),N(1,2,1)(1)证明:依题意,可得n(0,0,1)为平面ABCD的一个法向量.(0,0)由此可得n0,又因为直线MN平面ABCD,所以MN平面ABCD.(2)(1,2,2),(2,0,0)设n1(x1,y1,z1)为平面ACD1的法向量,则即不妨设z11,可得n1(0,1,1)设n2(x2,y2,z2)为平面ACB1的法向量,则又(0,1,2),得不妨设z21,可得n2(0,2,1)因此有cosn1,n2.于是sinn1,n2.所以二面角D1ACB1的正弦值为.(3)依题意,可设,其中0,1,则E(0,2),从而(1,2,1)又n(0,0,1)为平面ABCD的一个法向量,由已知,得cos,n,整理得2430,又因为0,1,解得2.所以线段A1E的长为2.高考资源网版权所有,侵权必究!