1、高考资源网（） 您身边的高考专家课时作业(三十一)(第一次作业)1设直线l与平面相交，且l的方向向量为a，的法向量为n，若a，n，则l与所成的角为()A.B.C. D.答案C解析如图所示，直线l与平面所成的角.2在三棱锥ABCD中，平面ABD与平面BCD的法向量分别为n1，n2，若n1，n2，则二面角ABDC的大小为()A. B.C.或 D.或答案C解析如图所示，当二面角ABDC为锐角时，它就等于n1，n2；当二面角ABDC为钝角时，它应等于n1，n2.3若平面的一个法向量为n(1，0)，则y轴与平面的夹角为()A. B.C. D.答案C4在矩形ABCD中，AB1，BC，PA平面ABCD，PA
2、1，则PC与平面ABCD所成角是()A30 B45C60 D90答案A解析建立如图所示的空间直角坐标系，则P(0，0，1)，C(1，0)，(1，1)，平面ABCD的一个法向量为n(0，0，1)，所以cos，n.所以，n120.所以PC与平面ABCD的法向量所在直线所成角为60.所以PC与平面ABCD所成角为30.故选A.5已知在正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，AA12AB，E是AA1中点，则异面直线BE与CD1所成角的余弦值为()A. B.C. D.答案C解析以DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，如图，设ABa，则ADa，AA12a.B(a，a，0)，C(0
3、，a，0)，D1(0，0，2a)，E(a，0，a)，(0，a，a)，(0，a，2a)，cos，.6.如图所示，已知点P为菱形ABCD外一点，且PA面ABCD，PAADAC，点F为PC中点，则二面角CBFD的正切值为()A. B.C. D.答案D解析如图，连接OF，以O为原点，OB，OC，OF所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系Oxyz，设PAADAC1，则BD.B(，0，0)，F(0，0，)，C(0，0)，D(，0，0)结合图形可知，(0，0)且为平面BOF的一个法向量，由(，0)，(，0，)，可求得平面BCF的一个法向量n(1，)cosn，sinn，.tann，.7在正三棱锥VABC
4、中，若VAABa，则侧棱VA与底面ABC夹角的余弦值为_答案8.如图所示，点A，B，C分别在空间直角坐标系Oxyz的三条坐标轴上，(0，0，2)，平面ABC的一个法向量为n(2，1，2)，设二面角CABO的大小为，则cos_答案9正方体ABCDA1B1C1D1中，BB1与平面ACD1所成角的正弦值为_答案10.如图，四棱锥PABCD的底面是正方形，PD底面ABCD，点E在棱PB上(1)求证：平面AEC平面PDB；(2)当PDAB且E为PB的中点时，求AE与平面PDB所成的角的大小解析方法一：(1)证明：四边形ABCD是正方形，ACBD.PD底面ABCD，PDAC.又PDBDD，且BD平面PDB
5、，PD平面PDB，AC平面PDB.又AC平面AEC，平面AEC平面PDB.(2)设ACBDO，连接OE.由(1)知AC平面PDB于O，AEO为AE与平面PDB所成的角O，E分别为DB，PB的中点，OEPD，OEPD.又PD底面ABCD，OE底面ABCD，OEAO.在RtAOE中，OEPDABAO，AEO45，即AE与平面PDB所成的角为45.方法二：如图，以D为原点建立空间直角坐标系Dxyz.设ABa，PDh，则A(a，0，0)，B(a，a，0)，C(0，a，0)，D(0，0，0)，P(0，0，h)(1)证明：(a，a，0)，(0，0，h)，(a，a，0)，0，0，ACDP，ACBD.又PDB
6、DD，且BD平面PDB，PD平面PDB，AC平面PDB.又AC平面AEC，平面AEC平面PDB.(2)当PDAB且E为PB的中点时，P(0，0，a)，E(a，a，a)设ACBDO，则O(a，a，0)，连接OE.由(1)知AC平面PDB于O.AEO为AE与平面PDB所成的角(a，a，a)，(0，0，a)，cosAEO.AEO45，即AE与平面PDB所成的角为45.11.如图，三棱锥PABC中，PC平面ABC，PC3，ACB.D，E分别为线段AB，BC上的点，且CDDE，CE2EB2.(1)证明：DE平面PCD；(2)求二面角APDC的余弦值解析(1)证明：由PC平面ABC，DE平面ABC，故PC
7、DE.由CE2，CDDE，得CDE为等腰直角三角形，故CDDE.由PCCDC，CD平面PCD，PC平面PCD，故DE平面PCD.(2)由(1)知，CDE为等腰直角三角形，DCE.如图，过D作DF垂直CE于F，易知DFFCFE1，又已知EB1，故FB2.由ACB，得DFAC，.故ACDF.以C为坐标原点，分别以，的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系，则C(0，0，0)，P(0，0，3)，A(，0，0)，E(0，2，0)，D(1，1，0)，(1，1，0)，(1，1，3)，(，1，0)设平面PAD的法向量为n1(x1，y1，z1)，由得故可取n1(2，1，1)由(1)可知DE平面PCD
8、，故平面PCD的法向量n2可取为，即n2(1，1，0)从而法向量n1，n2的夹角的余弦值为cosn1，n2.故所求二面角APDC的余弦值为.12(2019课标全国，理)如图，直四棱柱ABCDA1B1C1D1的底面是菱形，AA14，AB2，BAD60，E，M，N分别是BC，BB1，A1D的中点(1)证明：MN平面C1DE；(2)求二面角AMA1N的正弦值解析(1)证明：连结ME和B1C，M，E分别是BB1和BC的中点，MEB1C且MEB1C，又N是A1D的中点，MEDN，且MEDN，四边形MNDE是平行四边形，MNDE，又DE平面C1DE，MN平面C1DE，MN平面C1DE.(2)以D为原点建立
9、如图空间直角坐标系，由题得D(0，0，0)，A(2，0，0)，A1(2，0，4)，M(1，2)，(0，0，4)，(1，2)，(2，0，4)，设平面AA1M的法向量为n1(x1，y1，z1)，平面DA1M的法向量为n2(x2，y2，z2)，由得令x1得n1(，1，0)，由得令x22得n2(2，0，1)，cosn1，n2，二面角AMA1N的正弦值为.1PA，PB，PC是从P引出的三条射线，每两条的夹角都是60，则直线PC与平面PAB夹角的余弦值为()A. B.C. D.答案D2如图，在四棱锥PABCD中，PD底面ABCD，ABCD为正方形，且PDAB1，G为ABC的重心，则PG与底面的夹角满足()
10、A BcosCtan Dsin答案B3如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，ABBC.若直线AC与平面A1BC所成的角为，二面角A1BCA的大小为，则与的大小关系为()A BC D大小不确定答案B4若异面直线l1，l2的方向向量分别是a(0，2，1)，b(2，0，4)，则异面直线l1，l2的夹角的余弦值为()A B.C D.答案B解析cosa，b，则异面直线l1，l2夹角的余弦值为.故选B.5若a(，1，2)与b(2，1，2)的夹角为钝角，则实数的取值范围为()A B且2C且4 D答案B解析由已知，得ab2140，即0，故n，所以直线AC与平面ABEF的夹角n，所以sinsin(n，)cosn
11、，.13(2015北京)如图，在四棱锥AEFCB中，AEF为等边三角形，平面AEF平面EFCB，EFBC，BC4，EF2a，EBCFCB60，O为EF的中点(1)求证：AOBE；(2)求二面角FAEB的余弦值；(3)若BE平面AOC，求a的值解析(1)证明：因为AEF是等边三角形，O为EF的中点，所以AOEF.又因为平面AEF平面EFCB，AO平面AEF，所以AO平面EFCB，所以AOBE.(2)取BC中点G，连接OG.由题设知EFCB是等腰梯形，所以OGEF.由(1)知AO平面EFCB，又OG平面EFCB，所以OAOG.如图建立空间直角坐标系Oxyz，则E(a，0，0)，A(0，0，a)，B
12、(2，(2a)，0)，(a，0，a)，(a2，(a2)，0)设平面AEB的法向量为n(x，y，z)，则可得令z1，则x，y1.于是n(，1，1)平面AEF的法向量为p(0，1，0)所以cosn，p.由题知二面角FAEB为钝角，所以它的余弦值为.(3)因为BE平面AOC，所以BEOC，即0.因为(a2，(a2)，0)，(2，(2a)，0)，所以2(a2)3(a2)2.由0及0a0)，则E(，)(，)，(0，2，0)设平面CDE的一个法向量m(x，y，z)，由m，m，得m0，m0.故0，2y0.令x2，则m(2，0，)由平面DEC平面SBC，得mn，所以mn0，20，2.故SE2EB.(2)由(1
13、)知E(，)，取DE中点为F，则F(，)，(，)，故0，由此得FADE.又(，)，故0，由此得ECDE.向量与的夹角等于二面角ADEC的平面角于是cos，.所以二面角ADEC的大小为120.5(2019天津，理)如图，AE平面ABCD，CFAE，ADBC，ADAB，ABAD1，AEBC2.(1)求证：BF平面ADE；(2)求直线CE与平面BDE所成角的正弦值；(3)若二面角EBDF的余弦值为，求线段CF的长解析依题意，可以建立以A为原点，分别以，的方向为x轴，y轴，z轴正方向的空间直角坐标系(如图)可得A(0，0，0)，B(1，0，0)，C(1，2，0)，D(0，1，0)，E(0，0，2)设C
14、Fh(h0)，则F(1，2，h)(1)证明：依题意，(1，0，0)是平面ADE的法向量，又(0，2，h)，可得0，又因为直线BF平面ADE，所以BF平面ADE.(2)依题意，(1，1，0)，(1，0，2)，(1，2，2)，设n(x，y，z)为平面BDE的法向量，则即不妨令z1，可得n(2，2，1)，因此有cos，n.所以，直线CE与平面BDE所成角的正弦值为.(3)设m(x，y，z)为平面BDF的法向量，则即不妨令y1，可得m(1，1，)由题意，有|cosm，n|，解得h.经检验，符合题意所以，线段CF的长为.1若一个二面角的两个半平面分别平行于另一个二面角的两个半平面，则这两个二面角的关系是
15、()A相等B互补C相等或互补 D不能确定答案C2直二面角l，线段AB，A，B，AB与所成的角为30，则AB与所成角的取值范围是_答案0，60解析如图，设AB与所成的角为，当Al时，0； 当OAl时，60.3.如图所示，A1B1C1ABC是直三棱柱，BCA90，点D1，F1分别是A1B1和A1C1的中点，若BCCACC1，则BD1与AF1所成角的余弦值为_答案解析以CA，CB，CC1所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，设BCCACC11，则A(1，0，0)，F1(，0，1)，B(0，1，0)，D1(，1)(，0，1)，(，1)cos，.4如图，在四棱锥SABCD中，底面ABCD是正方形
16、，SA底面ABCD，SAAB，点M是SD的中点，ANSC，且交SC于点N.(1)求证：平面SAC平面AMN；(2)求二面角DACM的大小解析(1)证明：如图，以A为坐标原点，建立空间直角坐标系Axyz.由于SAAB，可设ABADAS1，则A(0，0，0)，B(0，1，0)，C(1，1，0)，D(1，0，0)，S(0，0，1)，M(，0，)(，0，)，(1，1，1)0，AMCS.又SCAN且ANAMA，SC平面AMN.又SC平面SAC，平面SAC平面AMN.(2)SA底面ABCD，是平面ABCD的一个法向量，(0，0，1)设平面ACM的法向量为n(x，y，z)，(1，1，0)，(，0，)，则则取
17、n(1，1，1)，cos，n，二面角DACM的余弦值是.5(2015天津)如图，在四棱柱ABCDA1B1C1D1中，侧棱A1A底面ABCD，ABAC，AB1，ACAA12，ADCD，且点M和N分别为B1C和D1D的中点(1)求证：MN平面ABCD；(2)求二面角D1ACB1的正弦值；(3)设E为棱A1B1上的点，若直线NE和平面ABCD所成角的正弦值为，求线段A1E的长解析如图，以A为原点建立空间直角坐标系，依题意可得A(0，0，0)，B(0，1，0)，C(2，0，0)，D(1，2，0)，A1(0，0，2)，B1(0，1，2)，C1(2，0，2)，D1(1，2，2)又因为M，N分别为B1C和D
18、1D的中点，得M(1，1)，N(1，2，1)(1)证明：依题意，可得n(0，0，1)为平面ABCD的一个法向量.(0，0)由此可得n0，又因为直线MN平面ABCD，所以MN平面ABCD.(2)(1，2，2)，(2，0，0)设n1(x1，y1，z1)为平面ACD1的法向量，则即不妨设z11，可得n1(0，1，1)设n2(x2，y2，z2)为平面ACB1的法向量，则又(0，1，2)，得不妨设z21，可得n2(0，2，1)因此有cosn1，n2.于是sinn1，n2.所以二面角D1ACB1的正弦值为.(3)依题意，可设，其中0，1，则E(0，2)，从而(1，2，1)又n(0，0，1)为平面ABCD的一个法向量，由已知，得cos，n，整理得2430，又因为0，1，解得2.所以线段A1E的长为2.高考资源网版权所有，侵权必究！