1、2015-2016学年四川省绵阳市南山中学高三（下）入学数学试卷（文科）一.选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1已知复数（i是虚数单位），它的实部和虚部的和是（）A4B6C2D32已知集合A=x|x3，B=x|log2x2，则AB=（）A（1，3）B（0，4）C（0，3）D（1，4）3在ABC中，“A=”是“sinA=”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分又不必要条件4若变量x，y满足约束条件，则z=2xy的最小值为（）A1B0C1D25执行如图所示的程序框图，输出s的值为（）ABCD6设xR，向量=（x，
2、1），=（1，2），且，则|+|=（）ABC2D107已知m，n是两条不同直线，是两个不同平面，给出四个命题：若=m，n，nm，则若m，m，则若m，n，mn，则若m，n，mn，则其中正确的命题是（）ABCD8已知抛物线y2=2px（p0）的焦点F与双曲线=1的一个焦点重合，直线y=x4与抛物线交于A，B两点，则|AB|等于（）A28B32C20D409已知函数f（x）=x+2x，g（x）=x+lnx，的零点分别为x1，x2，x3，则x1，x2，x3的大小关系是（）Ax1x2x3Bx2x1x3Cx1x3x2Dx3x2x110已知椭圆C1： +=1的左右焦点为F1，F2，直线l1过点F1且垂直于椭
3、圆的长轴，动直线l2垂直于直线l1于点P，线段PF2的垂直平分线与l2的交点的轨迹为曲线C2，若A（1，2），B（x1，y1），C（x2，y2）是C2上不同的点，且ABBC，则y2的取值范围是（）A（，6）10+）B（，610+）C（，6）（10，+）D以上都不正确二.填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）1123，log25三个数中最大数的是12如图，是AOB用斜二测画法画出的直观图，则AOB的面积是13已知点P（0，5）及圆C：x2+y2+4x12y+24=0若直线l过P且被圆C截得的线段长为4，则直线l的一般式方程为14已知a0，b0，ab=8，则当a的值为时，log2alog2
4、（2b）取得最大值15已知f（x）=a（x+2a）（xa3），g（x）=2x2同时满足下列条件：xR，f（x）0或g（x）0；x（1，+），f（x）g（x）0；则实数a的取值范围三.解答题（本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明证明过程或推演步骤.）16已知a，b，c分别为ABC三个内角A，B，C的对边，c=asinCccosA（1）求A；（2）若a=2，ABC的面积为，求b，c17设an是公比大于1的等比数列，Sn为数列an的前n项和已知S3=7且a1+3，3a2，a3+4构成等差数列（）求数列an的通项公式；（）令bn=lnan，n=1，2，求数列bn的前n项和Tn18设甲、乙、丙三
5、个乒乓球协会的运动员人数分别为27，9，18，先采用分层抽取的方法从这三个协会中抽取6名运动员组队参加比赛（）求应从这三个协会中分别抽取的运动员的人数；（）将抽取的6名运动员进行编号，编号分别为A1，A2，A3，A4，A5，A6，现从这6名运动员中随机抽取2人参加双打比赛（i）用所给编号列出所有可能的结果；（ii）设A为事件“编号为A5和A6的两名运动员中至少有1人被抽到”，求事件A发生的概率19如图是某直三棱柱（侧棱与底面垂直）被削去上底后的直观图与三视图的侧视图、俯视图，在直观图中，M是BD的中点，侧视图是直角梯形，俯视图是等腰直角三角形，有关数据如图所示（）求出该几何体的体积（）若N是B
6、C的中点，求证：AN平面CME；（）求证：平面BDE平面BCD20已知椭圆+=1（ab0）的离心率为，点P（2，）在椭圆上（1）求椭圆C的方程；（2）设椭圆的左右顶点分别是A、B，过点Q（2，0）的动直线与椭圆交于M，N两点，连接AN、BM相交于G点，试求点G的横坐标的值21已知函数g（x）=2alnx+x22x（）当时，讨论函数g（x）的单调性；（）当a=0时，在函数g（x）图象上取不同两点A、B，设线段AB的中点为P（x0，y0），试探究函数g（x）在Q（x0，g（x0）点处的切线与直线AB的位置关系？（）试判断当a0时g（x）图象是否存在不同的两点A、B具有（）问中所得出的结论2015-
7、2016学年四川省绵阳市南山中学高三（下）入学数学试卷（文科）参考答案与试题解析一.选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1已知复数（i是虚数单位），它的实部和虚部的和是（）A4B6C2D3【考点】复数的基本概念；复数代数形式的乘除运算【分析】利用复数的除法法则，把分子、分母分别乘以分母的共轭复数即可得到【解答】解：=，它的实部和虚部的和=2故选C2已知集合A=x|x3，B=x|log2x2，则AB=（）A（1，3）B（0，4）C（0，3）D（1，4）【考点】交集及其运算【分析】解对数不等式求得B，再根据两个集合的交集的定义求得AB
8、【解答】解：集合A=x|x3，B=x|log2x2=x|0x4，AB=（0，3），故选：C3在ABC中，“A=”是“sinA=”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分又不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【分析】观察两条件的互推性即可求解【解答】解：A=”“sinA=A=”是“sinA=的充分条件，但sinA=时A有无数解，可以是 A=+2k或A=+2k kZ，sinA=不能推出A=，故选A4若变量x，y满足约束条件，则z=2xy的最小值为（）A1B0C1D2【考点】简单线性规划【分析】由约束条件作出可行域，由图得到最优解，求出最优解的坐标，数形结合得答案【
9、解答】解：由约束条件作出可行域如图，由图可知，最优解为A，联立，解得A（0，1）z=2xy的最小值为201=1故选：A5执行如图所示的程序框图，输出s的值为（）ABCD【考点】程序框图【分析】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的k的值，当k=5时满足条件k4，计算并输出S的值为【解答】解：模拟执行程序框图，可得k=1k=2不满足条件k4，k=3不满足条件k4，k=4不满足条件k4，k=5满足条件k4，S=sin=，输出S的值为故选：D6设xR，向量=（x，1），=（1，2），且，则|+|=（）ABC2D10【考点】平面向量数量积的坐标表示、模、夹角【分析】通过向量的垂直，求出向量，推出，然
10、后求出模【解答】解：因为xR，向量=（x，1），=（1，2），且，所以x2=0，所以=（2，1），所以=（3，1），所以|+|=，故选B7已知m，n是两条不同直线，是两个不同平面，给出四个命题：若=m，n，nm，则若m，m，则若m，n，mn，则若m，n，mn，则其中正确的命题是（）ABCD【考点】命题的真假判断与应用；平面与平面之间的位置关系【分析】由面面垂直的判定定理，可判断的真假；由面面平行的判定定理及线面垂直的几何特征，可以判断的真假；由面面垂直的判定定理，及线面垂直的几何特征，可以判断的真假；根据线面平行的几何特征及面面平行的判定方法，可以判断的真假【解答】解：若=m，n，nm，如图，
11、则与不一定垂直，故为假命题；若m，m，根据垂直于同一条直线的两个平面平行，则；故为真命题；若m，n，mn，则，故为真命题；若m，n，mn，如图，则与可能相交，故为假命题故选B8已知抛物线y2=2px（p0）的焦点F与双曲线=1的一个焦点重合，直线y=x4与抛物线交于A，B两点，则|AB|等于（）A28B32C20D40【考点】抛物线的简单性质【分析】据双曲线的标准方程，求出其右焦点坐标，进而求出抛物线y2=2px的方程，y=x4与抛物线方程联立，利用|AB|=x1+x2+p可得答案【解答】解：双曲线=1的右焦点F坐标为（4，0），抛物线方程为y2=16xy=x4与抛物线方程联立可得x224x+
12、16=0设A，B的坐标为（x1，y1），（x2，y2），则x1+x2=16，|AB|=x1+x2+p=24+8=32故选：B9已知函数f（x）=x+2x，g（x）=x+lnx，的零点分别为x1，x2，x3，则x1，x2，x3的大小关系是（）Ax1x2x3Bx2x1x3Cx1x3x2Dx3x2x1【考点】函数的零点；不等式比较大小【分析】利用估算方法，将各函数的零点问题确定出大致区间进行零点的大小比较问题是解决本题的关键必要时结合图象进行分析【解答】解：f（x）=x+2x的零点必定小于零，g（x）=x+lnx的零点必位于（0，1）内，函数的零点必定大于1因此，这三个函数的零点依次增大，故x1x2
13、x3故选A10已知椭圆C1： +=1的左右焦点为F1，F2，直线l1过点F1且垂直于椭圆的长轴，动直线l2垂直于直线l1于点P，线段PF2的垂直平分线与l2的交点的轨迹为曲线C2，若A（1，2），B（x1，y1），C（x2，y2）是C2上不同的点，且ABBC，则y2的取值范围是（）A（，6）10+）B（，610+）C（，6）（10，+）D以上都不正确【考点】椭圆的简单性质【分析】由已知条件推导出曲线C2：y2=4x，由ABBC，推导出，由此能求出y的取值范围【解答】解：椭圆C1： +=1的左右焦点为F1，F2，F1（1，0），F2（1，0），直线l1：x=1，设l2：y=t，设P（1，t），（
14、tR），M（x，y），则y=t，且由|MP|=|MF2|，（x+1）2=（x1）2+y2，曲线C2：y2=4xA（1，2），B（x1，y1），C（x2，y2）是C2上不同的点，ABBC，=（x11）（x2x1）+（y12）（y2y1）=0，（4）（）+=0，y12，y1y2，整理，得，关于y1的方程有不为2的解，且y26，0，且y26，解得y26，或y10故选：A二.填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）1123，log25三个数中最大数的是log25【考点】不等式比较大小【分析】运用指数函数和对数函数的单调性，可得0231，12，log25log24=2，即可得到最大数【解答】解：由
15、于0231，12，log25log24=2，则三个数中最大的数为log25故答案为：log2512如图，是AOB用斜二测画法画出的直观图，则AOB的面积是16【考点】平面图形的直观图【分析】利用斜二测画法的原则，分别求出三角形AOB的底边和高，然后求出三角形AOB的面积即可【解答】解：由图象中可知OB=4，则对应三角形AOB中，OB=4又和y平行的线段的长度为4，则对应三角形AOB的高为8所以AOB的面积为48=16故答案为：1613已知点P（0，5）及圆C：x2+y2+4x12y+24=0若直线l过P且被圆C截得的线段长为4，则直线l的一般式方程为3x4y+20=0或x=0【考点】直线与圆的
16、位置关系【分析】求出圆心和半径设过该点的直线方程，求圆心到直线的距离与半径和半弦长构成勾股定理，解出斜率k，即得到直线方程【解答】解：圆C：x2+y2+4x12y+24=0，其圆心坐标为（2，6），半径为r=4，点P（0，5），设过P的直线方程为：y=kx+5，化为一般方程：kxy+5=0圆心到直线的距离d=d=，解得：k=，所以3x4y+20=0，又因为过某一点可以做两条直线截得的弦长相等，而k只有一个值，那么另一个k值不存在，又要过P，所以：直线方程为：x=0，故填：3x4y+20=0或x=014已知a0，b0，ab=8，则当a的值为4时，log2alog2（2b）取得最大值【考点】复合函
17、数的单调性【分析】由条件可得a1，再利用基本不等式，求得当a=4时，log2alog2（2b）取得最大值，从而得出结论【解答】解：由题意可得当log2alog2（2b）最大时，log2a和log2（2b）都是正数，故有a1再利用基本不等式可得log2alog2（2b）=4，当且仅当a=2b=4时，取等号，即当a=4时，log2alog2（2b）取得最大值，故答案为：415已知f（x）=a（x+2a）（xa3），g（x）=2x2同时满足下列条件：xR，f（x）0或g（x）0；x（1，+），f（x）g（x）0；则实数a的取值范围（4，1）（1，0）【考点】二次函数的性质【分析】由可得当x1时，f（
18、x）0，根据可得当x1时，函数f（x）在x轴的上方有图象，故有，由此解得实数a的取值范围【解答】解：已知f（x）=a（x+2a）（xa3），g（x）=2x2，根据xR，f（x）0，或g（x）0，即函数f（x）和函数g（x）不能同时取非负值由g（x）0，求得x1，即当x1时，g（x）0；当x1时，g（x）0故当x1时，f（x）0根据x（1，+），使f（x）g（x）0成立，而当x1时，g（x）=2x20，故f（x）=a（x+2a）（xa3）0在（1，+）上有解，即当x1时，函数f（x）在x轴的上方有图象，故函数f（x）和函数g（x）的图象如图所示：综合以上，可得，解得：a（4，1）（1，0）故答案
19、为：（4，1）（1，0）三.解答题（本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明证明过程或推演步骤.）16已知a，b，c分别为ABC三个内角A，B，C的对边，c=asinCccosA（1）求A；（2）若a=2，ABC的面积为，求b，c【考点】解三角形【分析】（1）由正弦定理有： sinAsinCsinCcosAsinC=0，可以求出A；（2）有三角形面积以及余弦定理，可以求出b、c【解答】解：（1）c=asinCccosA，由正弦定理有：sinAsinCsinCcosAsinC=0，即sinC（sinAcosA1）=0，又，sinC0，所以sinAcosA1=0，即2sin（A）=1，所以A=
20、；（2）SABC=bcsinA=，所以bc=4，a=2，由余弦定理得：a2=b2+c22bccosA，即4=b2+c2bc，即有，解得b=c=217设an是公比大于1的等比数列，Sn为数列an的前n项和已知S3=7且a1+3，3a2，a3+4构成等差数列（）求数列an的通项公式；（）令bn=lnan，n=1，2，求数列bn的前n项和Tn【考点】数列的求和【分析】（I）设an是公比q大于1的等比数列，由于a1+3，3a2，a3+4构成等差数列，可得6a2=a3+4+a1+3，即6a1q=+7+a1，又S3=a1（1+q+q2）=7，联立解出即可得出（II）bn=lnan=（n1）ln2，再利用等
21、差数列的前n项和公式即可得出数列bn的前n项和【解答】解：（I）设an是公比q大于1的等比数列，a1+3，3a2，a3+4构成等差数列，6a2=a3+4+a1+3，化为6a1q=+7+a1，又S3=a1（1+q+q2）=7，联立解得a1=1，q=2an=2n1（II）bn=lnan=（n1）ln2，数列bn的前n项和Tn=ln218设甲、乙、丙三个乒乓球协会的运动员人数分别为27，9，18，先采用分层抽取的方法从这三个协会中抽取6名运动员组队参加比赛（）求应从这三个协会中分别抽取的运动员的人数；（）将抽取的6名运动员进行编号，编号分别为A1，A2，A3，A4，A5，A6，现从这6名运动员中随机
22、抽取2人参加双打比赛（i）用所给编号列出所有可能的结果；（ii）设A为事件“编号为A5和A6的两名运动员中至少有1人被抽到”，求事件A发生的概率【考点】古典概型及其概率计算公式【分析】（）由题意可得抽取比例，可得相应的人数；（）（i）列举可得从6名运动员中随机抽取2名的所有结果共15种；（ii）事件A包含上述9个，由概率公式可得【解答】解：（）由题意可得抽取比例为=，27=3，9=1，18=2，应甲、乙、丙三个协会中分别抽取的运动员的人数为3、1、2；（）（i）从6名运动员中随机抽取2名的所有结果为：（A1，A2），（A1，A3），（A1，A4），（A1，A5），（A1，A6），（A2，A3）
23、，（A2，A4），（A2，A5），（A2，A6），（A3，A4），（A3，A5），（A3，A6），（A4，A5），（A4，A6），（A5，A6），共15种；（ii）设A为事件“编号为A5和A6的两名运动员中至少有1人被抽到”，则事件A包含：（A1，A5），（A1，A6），（A2，A5），（A2，A6），（A3，A5），（A3，A6），（A4，A5），（A4，A6），（A5，A6）共9个基本事件，事件A发生的概率P=19如图是某直三棱柱（侧棱与底面垂直）被削去上底后的直观图与三视图的侧视图、俯视图，在直观图中，M是BD的中点，侧视图是直角梯形，俯视图是等腰直角三角形，有关数据如图所示（）求出该几
24、何体的体积（）若N是BC的中点，求证：AN平面CME；（）求证：平面BDE平面BCD【考点】平面与平面垂直的判定；由三视图求面积、体积；直线与平面平行的判定【分析】（I）由图可以看出，几何体可以看作是以点B为顶点的四棱锥，其与底面积易求；（II）证明线AN与面CME中一线平行即可利用线面平行的判定定理得出线面平行，由图形易得，可构造平行四边形证明线线平行，连接MN，则MNCD，AECD，即可证得；（）要平面BDE平面BCD，关键是在一平面中寻找另一平面的垂线，易得AN平面BCD，利用ANEM，可得EM平面BCD，从而得证【解答】解：（）由题意，EA平面ABC，DC平面ABC，AEDC，AE=2
25、，DC=4，ABAC，且AB=AC=2EA平面ABCEAAB，又ABAC，AB平面ACDE四棱锥BACDE的高h=AB=2，梯形ACDE的面积S=6，即所求几何体的体积为4（）连接MN，则MNCD，AECD又，所以四边形ANME为平行四边形，ANEM AN平面CME，EM平面CME，所以，AN平面CME； （）AC=AB，N是BC的中点，ANBC，平面ABC平面BCDAN平面BCD 由（）知：ANEMEM平面BCD又EM平面BDE所以，平面BDE平面BCD20已知椭圆+=1（ab0）的离心率为，点P（2，）在椭圆上（1）求椭圆C的方程；（2）设椭圆的左右顶点分别是A、B，过点Q（2，0）的动直
26、线与椭圆交于M，N两点，连接AN、BM相交于G点，试求点G的横坐标的值【考点】直线与圆锥曲线的综合问题【分析】（1）由椭圆的离心率得到a，b的关系，再把P点坐标代入椭圆方程得到a，b的关系，联立方程组求得a，b的值，则椭圆方程；（2）当过点Q（2，0）的动直线斜率不存在时，直接解得M，N的坐标，求出直线AN，BM的斜率，由点斜式写出直线方程，求得交点G的横坐标为8当斜率存在时，设出直线方程及M，N，G的坐标，把直线方程和椭圆方程联立，化为关于x的一元二次方程，由根与系数关系得到M，N的横坐标的和与积，再由A、N、G共线与B、M、G共线把G点的纵坐标用M，N的坐标表示，由坐标相等得到G点的横坐标
27、与M，N坐标的关系式，取G点横坐标为8，同时代入M，N横坐标的和与积验证等式成立，说明直线斜率存在时得到的G点的横坐标也是8【解答】解：（1）由e=，得，即，整理得：a2=4b2 又点在椭圆上， 联立解得b2=4，a2=16，则椭圆C方程是；（2）由（1）知，A（4，0），B（4，0），当过点Q（2，0）直线MN垂直于x轴时，交点为，由点斜式可得直线AN：，直线MB：，联立，解得交点；当直线MN不垂直x轴时，设直线MN：y=k（x2），M（x1，y1），N（x2，y2），G（t，yG），联立，得（1+4k2）x216k2x+16k216=0 ，且A、N、G三点共线，且B、M、G三点共线，=，即
28、=，整理得，取t=8得2x1x210（x1+x2）+32=0 把代入得：=成立G的横坐标的值为821已知函数g（x）=2alnx+x22x（）当时，讨论函数g（x）的单调性；（）当a=0时，在函数g（x）图象上取不同两点A、B，设线段AB的中点为P（x0，y0），试探究函数g（x）在Q（x0，g（x0）点处的切线与直线AB的位置关系？（）试判断当a0时g（x）图象是否存在不同的两点A、B具有（）问中所得出的结论【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的单调性【分析】（）求导数，分类讨论，利用导数的正负，可得函数g（x）的单调性；（）证明函数Q点处的切线斜率与直线AB斜率相等即可
29、；（）若g（x）满足（2）中结论，有，设，则*式整理得，问题转化成该方程在（0，1）上是否有解，从而得解【解答】（本题满分为14分）解：（I）由题知，因为时，0，g（x）0，函数g（x）在定义域（0，+）上单调递增；.（II）g（x）=x22x，所以函数Q点处的切线与直线AB平行； （III）设A（x1，g（x1），B（x2，g（x2）（0x1x2），若g（x）满足（ II）中结论，有，即，即*设，则*式整理得，问题转化成该方程在（0，1）上是否有解；设函数，则，所以函数h（t）在（0，1）单调递增，即h（t）h（1）=0，即方程在（0，1）上无解，即函数g（x）不满足（2）中结论.2016年12月5日
