1、第二章 函数、导数及其应用授课提示：对应学生用书第261页A组基础保分练1已知函数f(x)1(bR)，g(x)，若对任意的x10，都存在x2R，使得g(x2)f(x1)成立，试求实数b的取值范围解析：函数f(x)1的定义域是(0，)，f(x)，令f(x)0，得xeb1；令f(x)0，得0xeb1，所以函数f(x)1在区间(0，eb1)上单调递增，在区间(eb1，)上单调递减，所以f(x)maxf(eb1)1.因为g(x)1，所以g(x)，令g(x)0，得x2；令g(x)0，得x2，所以函数g(x)1在区间(，2)上单调递增，在区间(2，)上单调递减，所以g(x)maxg(2)1.若对任意的x1
2、0，都存在x2R，使得g(x2)f(x1)成立，则f(x1)maxg(x2)max，即11，解得b1.故实数b的取值范围是(1，)2(2021青岛模拟)已知函数f(x)xaln x在x1处取得极值(1)若a1，求函数f(x)的单调区间；(2)若a3，函数g(x)a2x23，若存在m1，m2，使得|f(m1)g(m2)|9成立，求a的取值范围解析：(1)函数f(x)的定义域为(0，)，f(x)1，由f(1)0，得b1a，则f(x)1，令f(x)0，则x11，x2a1.若1a2，则函数f(x)的单调递增区间为(0，a1)，(1，)，单调递减区间为(a1,1)；若a2，则函数f(x)无单调递减区间，
3、单调递增区间为(0，)；若a2，则函数f(x)的单调递减区间为(1，a1)，单调递增区间为(0,1)，(a1，)(2)当a3时，f(x)在上单调递增，在(1,2)上单调递减，所以f(x)的最大值为f(1)2a0，易知函数g(x)在上单调递增，所以g(x)的最小值为ga230，所以g(x)f(x)在上恒成立若存在m1，m2，使得9成立，只需要gf(1)9，即a23(2a)9，解得8a4，又因为a3，所以a的取值范围是(3,4)B组能力提升练1已知函数f(x)exax，g(x)exln x.(1)若对于任意实数x0，f(x)0恒成立，求实数a的取值范围；(2)当a1时，是否存在实数x01，e，使曲
4、线C：yg(x)f(x)在xx0处的切线与y轴垂直？若存在，求出x0的值；若不存在，请说明理由解析：(1)对于任意实数x0，f(x)exax0恒成立，当x0时，则a为任意实数，f(x)exax0恒成立所以当x0时，f(x)exax0恒成立，即当x0时，a恒成立，令H(x)(x0)，则H(x)，当x(0,1)时，H(x)0，则H(x)在(0,1)上单调递增，当x(1，)时，H(x)0，则H(x)在(1，)上单调递减，所以当x1时，H(x)取得最大值，H(x)maxH(1)e，则ae.综上，若对于任意实数x0，f(x)0恒成立，则a的取值范围为(e，)(2)由题意，曲线C的方程为yexln xex
5、x.令M(x)exln xexx，则M(x)exln xex1ex1.设h(x)ln x1，则h(x)，当x1，e时，h(x)0，故h(x)在1，e上单调递增，因此h(x)在区间1，e上的最小值为h(1)，又h(1)ln 10，所以h(x)ln x10，当x01，e时，ex00，ln x010，所以M(x0)ex010.曲线C：yexln xexx在xx0处的切线与y轴垂直等价于方程M(x0)0在x01，e上有实数解，而M(x0)0，即方程M(x0)0无实数解故不存在实数x01，e，使曲线yM(x)在xx0处的切线与y轴垂直2已知函数f(x)aln xx2(a2)x.(1)当a4时，求函数f(
6、x)的单调递增区间；(2)当a0时，对于任意的x1，)，不等式f(x)1a2恒成立，求实数a的取值范围解析：(1)当a4时，f(x)4ln xx26x，f(x)2x6，令f(x)0，解得x2或0x1.f(x)的单调递增区间为(0,1，2，)(2)令g(x)f(x)a21(x1)，则g(x)f(x)2x(a2)(x1)，当01，即0a2时，g(x)0(当且仅当x1时取等号)g(x)在1，)上单调递增，g(x)ming(1)a2a2(a2)(a1)0(不符合题意，舍去)当1，即a2时，g(x)(x1)20(仅当x1时取等号)，g(x)在1，)上单调递增，g(x)ming(1)0(不符合题意，舍去)
7、当1，即a2时，g(x)在上单调递减，在上单调递增g(x)mingalna1，令h(x)xlnx1(x2)，则h(x)lnx.当x2时，h(x)0，h(x)在(2，)上单调递增，h(x)0.g(x)g0恒成立，满足题意综上所述，a2，即实数a的取值范围为(2，)C组创新应用练设函数f(x)xln xx2ax(aR)(1)若函数f(x)有两个不同的极值点，求实数a的取值范围；(2)若a2，g(x)22xx2，且当x2时，不等式k(x2)g(x)f(x)，kN恒成立，试求k的最大值解析：(1)由题意知，函数f(x)的定义域为(0，)，f(x)ln xax，令f(x)0，则ln xax0，a.令h(
8、x)，则由题意可知直线ya与函数h(x)的图象有两个不同的交点h(x)，令h(x)0，则xe，h(x)在(0，e)上单调递增，在(e，)上单调递减，h(x)maxh(e).又h(1)0，h(x)在(0，e)上单调递增，当x0时，h(x)，当xe时，0，h(x)在(e，)上单调递减，当x时，h(x)0，结合h(x)的图象(图略)易得，实数a的取值范围为.(2)当a2时，f(x)xln xx22x.k(x2)g(x)f(x)，即k(x2)22xx2xln xx22x，x2，k.令F(x)(x2)，则F(x).令m(x)x42ln x(x2)，则m(x)10，m(x)在(2，)上单调递增又m(8)42ln 842ln e2440，m(10)62ln 1062ln e3660，函数m(x)在(8,10)上有唯一的零点x0，即x042ln x00.当2xx0时，m(x)0，即F(x)0，当xx0时，m(x)0，即F(x)0，F(x)minF(x0)，k，x0(8,10)，(4,5)，又kN，k的最大值为4.
