1、题组层级快练(七十)1已知椭圆x2a2(a0)与以A(2,1),B(4,3)为端点的线段没有公共点,则a的取值范围是()A0aB0aCa D.a答案B解析椭圆恰好经过A与椭圆恰好经过B是临界,将A,B两点代入解,a,a,由数形结合知,B正确2设抛物线y28x的准线与x轴交于点Q,若过点Q的直线l与抛物线有公共点,则直线l的斜率的取值范围是()A, B2,2C1,1 D4,4答案C解析设直线方程为yk(x2),与抛物线联立方程组,整理,得ky28y16k0.当k0时,直线与抛物线有一个交点当k0时,由6464k20,解得1k1且k0.综上1k1.3设P是椭圆1上一点,M,N分别是两圆(x4)2y
2、21和(x4)2y21上的点,则|PM|PN|的最小值、最大值分别为()A9,12 B8,11C8,12 D10,12答案C解析如图,由椭圆及圆的方程可知两圆圆心分别为椭圆的两个焦点,由椭圆定义知|PA|PB|2a10,连接PA,PB分别与圆相交于M,N两点,此时|PM|PN|最小,最小值为|PA|PB|2R8;连接PA,PB并延长,分别与圆相交于M,N两点,此时|PM|PN|最大,最大值为|PA|PB|2R12,即最小值和最大值分别为8,12.4已知两定点A(2,0)和B(2,0),动点P(x,y)在直线l:yx3上移动,椭圆C以A,B为焦点且经过点P,则椭圆C的离心率的最大值为()A. B
3、.C. D.答案B解析由题意可知,c2,由e.可知e最大时需a最小由椭圆的定义|PA|PB|2a,即使得|PA|PB|最小,设A(2,0)关于直线yx3的对称点D(x,y),由可知D(3,1)所以|PA|PB|PD|PB|DB|,即2a.所以a,则e.故选B.5已知A,B,C三点在曲线y上,其横坐标依次为1,m,4(1m4),当ABC的面积最大时,m等于()A3 B.C. D.答案B解析A(1,1),C(4,2),直线AC方程为x3y20.设点B到直线AC的距离为d.SABC|AC|d|m32|.1m4,10)的焦点为F,已知点A,B为抛物线上的两个动点,且满足AFB90.过弦AB的中点M作抛
4、物线准线的垂线MN,垂足为N,则的最大值为()A. B.C1 D.答案A解析设准线为l,过A作AQl,BPl,设|AF|a,|BF|b,由抛物线定义,得|AF|AQ|,|BF|BP|.在梯形ABPQ中,2|MN|AQ|BP|ab,由勾股定理,得|AB|2a2b2(ab)22ab.又ab()2,所以(ab)22ab(ab)2,得到|AB|(ab),所以,即的最大值为,故选A.7(2015河南郑州质检)已知椭圆C1:1与双曲线C2:1有相同的焦点,则椭圆C1的离心率e1的取值范围为_答案e10,得m22.0,1,即e.而0e11,e11.8已知直线l:y2x4交抛物线y24x于A,B两点,在抛物线
5、AOB这段曲线上有一点P,则APB的面积的最大值为_答案解析由弦长公式知|AB|3,只需点P到直线AB距离最大就可保证APB的面积最大设与l平行的直线y2xb与抛物线相切,解得b.d,(SAPB)max3.9已知椭圆y21的左焦点为F,O为坐标原点(1)求过点O,F,并且与直线l:x2相切的圆的方程;(2)设过点F且不与坐标轴垂直的直线交椭圆于A,B两点,线段AB的垂直平分线与x轴交于点G,求点G横坐标的取值范围答案(1)(x)2(y)2(2)(,0)解析(1)a22,b21,c1,F(1,0)圆过点O,F,圆心M在直线x上设M(,t),则圆半径r|()(2)|.由|OM|r,得,解得t.所求
6、圆的方程为(x)2(y)2.(2)设直线AB的方程为yk(x1)(k0),代入y21.整理,得(12k2)x24k2x2k220,直线AB过椭圆的左焦点F且不垂直于x轴,方程有两个不等实根如图,设A(x1,y1),B(x2,y2),AB中点N(x0,y0),则x1x2,x0(x1x2),y0k(x01).AB的垂直平分线NG的方程为yy0(xx0)令y0,得xGx0ky0.k0,xGb0)则c,由e,得a2,所以b22.所以椭圆M的方程为1.(2)当直线l斜率存在时,设直线方程为ykxm,则由消去y,得(12k2)x24kmx2m240.16k2m24(12k2)(2m24)8(24k2m2)
7、0.设A,B,P点的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),(x0,y0),则x0x1x2,y0y1y2k(x1x2)2m,由于点P在椭圆M上,所以1.从而1,化简,得2m212k2,经检验满足式又因为点O到直线l的距离为d.当且仅当k0时等号成立当直线l无斜率时,由对称性知,点P一定在x轴上,从而点P的坐标为(2,0)或(2,0),直线l的方程为x1,所以点O到直线l的距离为1.所以点O到直线l的距离最小值为.11已知椭圆M:1(ab0)的离心率为,且椭圆上一点与椭圆的两个焦点构成的三角形周长为64.(1)求椭圆M的方程;(2)设直线l与椭圆M交于A,B两点,且以AB为直径的圆过椭圆的右顶
8、点C,求ABC面积的最大值答案(1)y21(2)解析(1)因为椭圆M上一点和它的两个焦点构成的三角形周长为64,所以2a2c64.又椭圆的离心率为,即,所以ca,所以a3,c2,故b2a2c21.椭圆M的方程为y21.(2)方法一:不妨设直线BC的方程为yn(x3),(n0),则直线AC的方程为y(x3)由得(n2)x26n2x9n210.设A(x1,y1),B(x2,y2),因为3x2,所以x2.同理可得x1.所以|BC|,|AC|,SABC|BC|AC|.设tn2,则S,当且仅当t时取等号所以ABC面积的最大值为.方法二:不妨设直线AB的方程xkym(m3)由消去x,得(k29)y22km
9、ym290.设A(x1,y1),B(x2,y2),则有y1y2,y1y2.因为以AB为直径的圆过点C(3,0),所以0.由(x13,y1),(x23,y2),得(x13)(x23)y1y20.将x1ky1m,x2ky2m代入上式,得(k21)y1y2k(m3)(y1y2)(m3)20.将代入上式,解得m或m3(舍)所以m(此时直线AB经过定点D(,0),与椭圆有两个交点),所以SABC|DC|y1y2|.设t,0t,则SABC.所以当t(0,时,SABC取得最大值.12(2015沧州七校联考)已知椭圆C1的方程为y21,双曲线C2的左、右焦点分别是C1的左、右顶点,而C2的左、右顶点分别是C1的左、右焦点(1)求双曲线C2的方程;(2)若直线l:ykx与椭圆C1及双曲线C2都恒有两个不同的交点,且l与C2的两个交点A和B,满足0,即k2.将ykx代入y21,得(13k2)x26kx90.由直线l与双曲线C2恒有两个不同的交点A,B,得即k2,且0k21.设A(xA,yA),B(xB,yB),则xAxB,xAxB.由6,得xAxByAyB6.而xAxByAyBxAxB(kxA)(kxB)(k21)xAxBk(xAxB)2(k21)k2.于是0.解此不等式,得k2或k2.由式,得k2或k21.故k的取值范围为(1,)(,)(,)(,1)