1、题组层级快练(七十)1已知椭圆x2a2(a0)与以A(2,1)，B(4,3)为端点的线段没有公共点，则a的取值范围是()A0aB0aCa D.a答案B解析椭圆恰好经过A与椭圆恰好经过B是临界，将A，B两点代入解，a，a，由数形结合知，B正确2设抛物线y28x的准线与x轴交于点Q，若过点Q的直线l与抛物线有公共点，则直线l的斜率的取值范围是()A， B2,2C1,1 D4,4答案C解析设直线方程为yk(x2)，与抛物线联立方程组，整理，得ky28y16k0.当k0时，直线与抛物线有一个交点当k0时，由6464k20，解得1k1且k0.综上1k1.3设P是椭圆1上一点，M，N分别是两圆(x4)2y
2、21和(x4)2y21上的点，则|PM|PN|的最小值、最大值分别为()A9,12 B8,11C8,12 D10,12答案C解析如图，由椭圆及圆的方程可知两圆圆心分别为椭圆的两个焦点，由椭圆定义知|PA|PB|2a10，连接PA，PB分别与圆相交于M，N两点，此时|PM|PN|最小，最小值为|PA|PB|2R8；连接PA，PB并延长，分别与圆相交于M，N两点，此时|PM|PN|最大，最大值为|PA|PB|2R12，即最小值和最大值分别为8,12.4已知两定点A(2,0)和B(2,0)，动点P(x，y)在直线l：yx3上移动，椭圆C以A，B为焦点且经过点P，则椭圆C的离心率的最大值为()A. B
3、.C. D.答案B解析由题意可知，c2，由e.可知e最大时需a最小由椭圆的定义|PA|PB|2a，即使得|PA|PB|最小，设A(2,0)关于直线yx3的对称点D(x，y)，由可知D(3,1)所以|PA|PB|PD|PB|DB|，即2a.所以a，则e.故选B.5已知A，B，C三点在曲线y上，其横坐标依次为1，m,4(1m4)，当ABC的面积最大时，m等于()A3 B.C. D.答案B解析A(1,1)，C(4,2)，直线AC方程为x3y20.设点B到直线AC的距离为d.SABC|AC|d|m32|.1m4，10)的焦点为F，已知点A，B为抛物线上的两个动点，且满足AFB90.过弦AB的中点M作抛
4、物线准线的垂线MN，垂足为N，则的最大值为()A. B.C1 D.答案A解析设准线为l，过A作AQl，BPl，设|AF|a，|BF|b，由抛物线定义，得|AF|AQ|，|BF|BP|.在梯形ABPQ中，2|MN|AQ|BP|ab，由勾股定理，得|AB|2a2b2(ab)22ab.又ab()2，所以(ab)22ab(ab)2，得到|AB|(ab)，所以，即的最大值为，故选A.7(2015河南郑州质检)已知椭圆C1：1与双曲线C2：1有相同的焦点，则椭圆C1的离心率e1的取值范围为_答案e10，得m22.0，1，即e.而0e11，e11.8已知直线l：y2x4交抛物线y24x于A，B两点，在抛物线
5、AOB这段曲线上有一点P，则APB的面积的最大值为_答案解析由弦长公式知|AB|3，只需点P到直线AB距离最大就可保证APB的面积最大设与l平行的直线y2xb与抛物线相切，解得b.d，(SAPB)max3.9已知椭圆y21的左焦点为F，O为坐标原点(1)求过点O，F，并且与直线l：x2相切的圆的方程；(2)设过点F且不与坐标轴垂直的直线交椭圆于A，B两点，线段AB的垂直平分线与x轴交于点G，求点G横坐标的取值范围答案(1)(x)2(y)2(2)(，0)解析(1)a22，b21，c1，F(1,0)圆过点O，F，圆心M在直线x上设M(，t)，则圆半径r|()(2)|.由|OM|r，得，解得t.所求
6、圆的方程为(x)2(y)2.(2)设直线AB的方程为yk(x1)(k0)，代入y21.整理，得(12k2)x24k2x2k220，直线AB过椭圆的左焦点F且不垂直于x轴，方程有两个不等实根如图，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB中点N(x0，y0)，则x1x2，x0(x1x2)，y0k(x01).AB的垂直平分线NG的方程为yy0(xx0)令y0，得xGx0ky0.k0，xGb0)则c，由e，得a2，所以b22.所以椭圆M的方程为1.(2)当直线l斜率存在时，设直线方程为ykxm，则由消去y，得(12k2)x24kmx2m240.16k2m24(12k2)(2m24)8(24k2m2)
7、0.设A，B，P点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，(x0，y0)，则x0x1x2，y0y1y2k(x1x2)2m，由于点P在椭圆M上，所以1.从而1，化简，得2m212k2，经检验满足式又因为点O到直线l的距离为d.当且仅当k0时等号成立当直线l无斜率时，由对称性知，点P一定在x轴上，从而点P的坐标为(2,0)或(2,0)，直线l的方程为x1，所以点O到直线l的距离为1.所以点O到直线l的距离最小值为.11已知椭圆M：1(ab0)的离心率为，且椭圆上一点与椭圆的两个焦点构成的三角形周长为64.(1)求椭圆M的方程；(2)设直线l与椭圆M交于A，B两点，且以AB为直径的圆过椭圆的右顶
8、点C，求ABC面积的最大值答案(1)y21(2)解析(1)因为椭圆M上一点和它的两个焦点构成的三角形周长为64，所以2a2c64.又椭圆的离心率为，即，所以ca，所以a3，c2，故b2a2c21.椭圆M的方程为y21.(2)方法一：不妨设直线BC的方程为yn(x3)，(n0)，则直线AC的方程为y(x3)由得(n2)x26n2x9n210.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，因为3x2，所以x2.同理可得x1.所以|BC|，|AC|，SABC|BC|AC|.设tn2，则S，当且仅当t时取等号所以ABC面积的最大值为.方法二：不妨设直线AB的方程xkym(m3)由消去x，得(k29)y22km
9、ym290.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有y1y2，y1y2.因为以AB为直径的圆过点C(3,0)，所以0.由(x13，y1)，(x23，y2)，得(x13)(x23)y1y20.将x1ky1m，x2ky2m代入上式，得(k21)y1y2k(m3)(y1y2)(m3)20.将代入上式，解得m或m3(舍)所以m(此时直线AB经过定点D(，0)，与椭圆有两个交点)，所以SABC|DC|y1y2|.设t，0t，则SABC.所以当t(0，时，SABC取得最大值.12(2015沧州七校联考)已知椭圆C1的方程为y21，双曲线C2的左、右焦点分别是C1的左、右顶点，而C2的左、右顶点分别是C1的左、右焦点(1)求双曲线C2的方程；(2)若直线l：ykx与椭圆C1及双曲线C2都恒有两个不同的交点，且l与C2的两个交点A和B，满足0，即k2.将ykx代入y21，得(13k2)x26kx90.由直线l与双曲线C2恒有两个不同的交点A，B，得即k2，且0k21.设A(xA，yA)，B(xB，yB)，则xAxB，xAxB.由6，得xAxByAyB6.而xAxByAyBxAxB(kxA)(kxB)(k21)xAxBk(xAxB)2(k21)k2.于是0.解此不等式，得k2或k2.由式，得k2或k21.故k的取值范围为(1，)(，)(，)(，1)