1、第10章核心考点精准研析考点一相关关系的判断1.已知变量x和y近似满足关系式y=-0.1x+1，变量y与z正相关.下列结论中正确的是()A.x与y正相关，x与z负相关B.x与y正相关，x与z正相关C.x与y负相关，x与z负相关D.x与y负相关，x与z正相关2.对四组数据进行统计，获得如图所示的散点图，关于其相关系数的比较，正确的是()A.r2r40r3r1B.r4r20r1r3C.r4r20r3r1D.r2r40r1r2；x，y之间不能建立线性回归方程.【解析】1.选C.由y=-0.1x+1，知x与y负相关，即y随x的增大而减小，又y与z正相关，所以z随y的增大而增大，随y的减小而减小，所以z
2、随x的增大而减小，x与z负相关.2.选A.由相关系数的定义以及散点图所表达的含义可知r2r40r3r2，故正确；x，y之间可以建立线性回归方程，但拟合效果不好，故错误.答案：1.散点图中如果所有的样本点都落在某一函数的曲线附近，变量之间就有相关关系.如果所有的样本点都落在某一直线附近，变量之间就有线性相关关系.若点散布在从左下角到右上角的区域，则正相关.2.线性回归直线方程中：0时，正相关；0时，负相关.考点二独立性检验【典例】(2017全国卷)海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比，收获时各随机抽取了100 个网箱，测量各箱水产品的产量(单位：kg)，其频率分布直方图如图所示：
3、(1)设两种养殖方法的箱产量相互独立，记A表示事件“旧养殖法的箱产量低于50 kg， 新养殖法的箱产量不低于50 kg”，估计A的概率.(2)填写下面列联表，并根据列联表判断是否有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关：箱产量50 kg箱产量50 kg旧养殖法新养殖法(3)根据箱产量的频率分布直方图，求新养殖法箱产量的中位数的估计值(精确到0.01).【解题导思】序号联想解题(1)以频率代替概率，相互独立时交事件概率等于两事件概率的积(2)填入数据，代入卡方公式计算观测值，与临界值比较(3)中位数把频率分布直方图分为面积相等的两部分【解析】(1)记B表示事件“旧养殖法的箱产量低于50 kg”，C
4、表示事件“新养殖法的箱产量不低于50 kg”.由题意知P(A)=P(BC)=P(B)P(C).旧养殖法的箱产量低于50 kg的频率为(0.012+0.014+0.024+0.034+0.040)5=0.62，故P(B)的估计值为0.62.新养殖法的箱产量不低于50 kg的频率为(0.068+0.046+0.010+0.008)5=0.66，故P(C)的估计值为0.66.因此，事件A的概率估计值为0.620.66=0.409 2.(2)箱产量6.635，故有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关.(3)因为新养殖法的箱产量频率分布直方图中，箱产量低于50 kg的直方图面积为(0.004+0.020
5、+0.044)5=0.340.5，故新养殖法箱产量的中位数的估计值为50+52.35(kg).1.在22列联表中，如果两个变量没有关系，则应满足ad-bc0.|ad-bc|越小，说明两个变量之间关系越弱；|ad-bc|越大，说明两个变量之间关系越强.2.解决独立性检验的应用问题，一定要按照独立性检验的步骤得出结论.独立性检验的一般步骤：(1)根据样本数据制成22列联表.(2)根据公式2=计算.(3)比较2与临界值的大小关系，作统计推断.(2020合肥模拟)某校在高一年级学生中，对自然科学类、社会科学类校本选修课程的选课意向进行调查. 现从高一年级学生中随机抽取180名学生，其中男生105名；在
6、这180名学生中选择社会科学类的男生、女生均为45名.(1)试问：从高一年级学生中随机抽取1人，抽到男生的概率约为多少？(2)根据抽取的180名学生的调查结果，完成下面的22列联表.并判断能否有95%的把握认为科学类的选择与性别有关？选择自然科学类选择社会科学类合计男生女生合计【解析】(1)从高一年级学生中随机抽取1人，抽到男生的概率约为=.(2)根据统计数据，可得22列联表如表：选择自然科学类选择社会科学类合计男生6045105女生304575合计9090180则2=5.142 93.841，所以有95%的把握认为科学类的选择与性别有关.考点三回归分析命题精解读考什么：(1)考查线性回归方程
7、的求法及运用回归方程进行预测；(2)考查散点图、相关系数、相关指数等判断两个变量是否相关的方法；(3)考查数学运算、数据分析的【核心素养】及数形结合等【思想方法】.怎么考：与频率分布表、频率分布直方图、折线图等结合考查回归分析的方法.新趋势：以回归分析为载体，与频率分布、概率等交汇命题.学霸好方法1.回归分析方法(1)利用公式，求出回归系数；(2)利用回归方程进行预测；(3)与观测值对比，确定模型是否合适，及时修正.2.交汇问题与频率分布直方图、折线图等交汇时，分析图形提供的数据信息，获得计算相关系数、相关指数、回归系数等需要的数据，最后计算比较.线性回归方程及其应用【典例】现代社会，“鼠标手
8、”已成为常见病，一次实验中，10名实验对象进行160分钟的连续鼠标点击游戏，每位实验对象完成的游戏关卡一样，鼠标点击频率平均为180次/分钟，实验研究人员测试了实验对象使用鼠标前后的握力变化，前臂表面肌电频率等指标.(1)10 名实验对象实验前、后握力(单位：N)测试结果如下：实验前：346，357，358，360，362，362，364，372，373，376实验后：313，321，322，324，330，332，334，343，350，361完成茎叶图，并计算实验后握力平均值比实验前握力的平均值下降了多少N？(2)实验过程中测得时间t(分)与10名实验对象前臂表面肌电频率的中值频率y(Hz
9、)的九组对应数据(t，y)为(0，87)，(20，84)，(40，86)，(60，79)，(80，78)，(100，78)，(120，76)，(140，77)，(160，75).建立y关于时间t的线性回归方程；(3)若肌肉肌电水平显著下降，提示肌肉明显进入疲劳状态，根据(2)中9组数据分析，使用鼠标多少分钟就该进行休息了？参考数据：(ti-)(yi-)=-1 800；参考公式：回归方程=x+中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：=，=-.世纪金榜导学号【解析】(1)根据题意得到茎叶图如图所示：由图中数据可得=(346+357+358+360+362+362+364+372+373+376)=3
10、63，=(313+321+322+324+330+332+334+343+350+361)=333，所以-=363-333=30(N)，所以实验后比实验前握力的平均值下降30N.(2)由题意得=(0+20+40+60+80+100+120+140+160)=80，=(87+84+86+79+78+78+76+77+75)=80，(ti-)2=(0-80)2+(20-80)2+(40-80)2+(60-80)2+(80-80)2+(100-80)2+(120-80)2+(140-80)2+(160-80)2=24 000，又(ti-)(yi-)=-1 800，所以=-0.075，所以=-=80-
11、(-0.075)80=86，所以y关于时间t的线性回归方程为=-0.075t+86.(3)九组数据中40分钟到60分钟y的下降幅度最大，提示60分钟时肌肉已经进入疲劳状态，故使用鼠标60分钟就该休息了.相关系数及其应用【典例】如图是我国2008年至2014年生活垃圾无害化处理量(单位：亿吨)的折线图.(1)由折线图看出，可用线性回归模型拟合y与t的关系，请用相关系数加以说明.(2)建立y关于t的回归方程(系数精确到0.01)，预测2016年我国生活垃圾无害化处理量.参考数据：yi=9.32，tiyi=40.17，=0.55，2.646.参考公式：相关系数r=，回归方程=+t中斜率和截距的最小二
12、乘估计公式分别为=，=-.世纪金榜导学号【解析】(1)由折线图中的数据和附注中的参考数据得=4，(ti-)2=28，=0.55，(ti-)(yi-)=tiyi-yi=40.17-49.32=2.89，所以r0.99.因为y与t的相关系数近似为0.99，说明y与t的线性相关程度相当大，从而可以用线性回归模型拟合y与t的关系.(2)由=1.331及(1)得=0.10.=-1.331-0.1040.93.所以y关于t的回归方程为=0.93+0.10t.将2016年对应的t=9代入回归方程得=0.93+0.109=1.83.所以预测2016年我国生活垃圾无害化处理量约为1.83亿吨.非线性回归分析【典
13、例】某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x(单位：千元)对年销售量y(单位：t)和年利润z(单位：千元)的影响，对近8年的年宣传费xi和年销售量yi(i=1，2，8)数据作了初步处理，得到如图散点图及一些统计量的值.(xi-)2(wi-)2(xi-)(yi-)(wi-)(yi-)46.65636.8289.81.61.469108.8表中wi=，=wi.(1)根据散点图判断，y=a+bx与y=c+d哪一个适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型(给出判断即可，不必说明理由)？(2)根据(1)的判断结果及表中数据，建立y关于x的回归方程.(3)已知这种产品的年利润z与x
14、，y的关系为z=0.2y-x.根据(2)的结果回答下列问题：年宣传费x=49时，年销售量及年利润的预报值是多少？年宣传费x为何值时，年利润的预报值最大？附：对于一组数据(u1，v1)，(u2，v2)，(un，vn)，其回归直线=+u的斜率和截距的最小二乘估计分别为：=，=-.世纪金榜导学号【解析】(1)由散点图可以判断，y=c+d适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型.(2)令w=，先建立y关于w的线性回归方程，由=68.得=-=563-686.8=100.6.所以y关于w的线性回归方程为=100.6+68w，因此y关于x的回归方程为=100.6+68.(3)由(2)知，当x=49时，
15、年销售量y的预报值=100.6+68=576.6，年利润z的预报值=576.60.2-49=66.32.根据(2)的结果知，年利润z的预报值=0.2(100.6+68)-x=-x+13.6+20.12.所以当=6.8，即x=46.24时，取得最大值.故年宣传费为46.24千元时，年利润的预报值最大.1.已知两个随机变量x，y之间的相关关系如表所示：x-4-2124y-5-3-1-0.51根据上述数据得到的回归方程为=x+，则大致可以判断()A.0，0B.0，0C.0D.0，0，0.2.为了研究某班学生的脚长x(单位：厘米)和身高y(单位：厘米)的关系，从该班随机抽取10名学生，根据测量数据的散
16、点图可以看出y与x之间有线性相关关系，设其回归直线方程为=x+，已知xi=225，yi=1 600，=4.该班某学生的脚长为24，据此估计其身高为()A.160B.163C.166D.170【解析】选C.由题意可知=4x+，又=22.5，=160，因此160=22.54+，解得=70所以=4x+70.当x=24时，=424+70=166.3.某市春节期间7家超市广告费支出xi(万元)和销售额yi(万元)数据如表：超市ABCDEFG广告费支出xi1246111319销售额yi19324044525354(1)若用线性回归模型拟合y与x的关系，求y与x的线性回归方程.(2)若用二次函数回归模型拟合
17、y与x的关系，可得回归方程：=-0.17x2+5x+20，经计算，二次函数回归模型和线性回归模型的相关系数r分别约为0.93和0.75，请用相关系数r说明选择哪个回归模型更合适，并用此模型预测A超市广告费支出3万元时的销售额.参考数据：=8，=42，xiyi=2 794，=708.参考公式：=，=-.【解析】(1)=1.7.所以=-=42-1.78=28.4，故y关于x的线性回归方程是=1.7x+28.4.(2)因为0.750.93，所以二次函数回归模型更合适.当x=3时，=33.47.故选择二次函数回归模型更合适，并且用此模型预测A超市广告费支出3万元时的销售额为33.47万元.1.(202
18、0成都模拟)某汽车销售公司统计了某款汽车行驶里程x(万公里)与维修保养费用y(万元)的五组数据，并根据这五组数据求得y与x的线性回归方程为=0.46x+0.16.由于工作人员疏忽，行驶8万公里的数据被污损了，如表所示.行驶里程x(单位：万公里)12458维修保养费用y(单位：万元)0.500.902.32.7则被污损的数据为()A.3.20B.3.6C.3.76D.3.84【解析】选B.设被污损的数据为t，由已知有=(1+2+4+5+8)=4，=(0.50+0.90+2.3+2.7+t)=(6.4+t)，而线性回归方程=0.46x+0.16经过点，代入有(6.4+t)=0.464+0.16，解
19、得t=3.6.2.某单位为了了解用电量y(度)与气温x()之间的关系，随机统计了某4天的用电量与当天气温，并制作了对照表：气温()181310-1用电量(度)24343864由表中数据得回归直线方程=x+中的=-2，预测当气温为-4时，用电量约为_度.【解析】根据题意知=10，=40.所以=40-(-2)10=60，=-2x+60.所以当x=-4时，y=(-2)(-4)+60=68，所以用电量约为68度.答案：683.近期，某公交公司分别推出支付宝和微信扫码支付乘车活动，活动设置了一段时间的推广期，由于推广期内优惠力度较大，吸引越来越多的人开始使用扫码支付，某线路公交车队统计了活动刚推出一周内
20、每一天使用扫码支付的人次，用x表示活动推出的天数，y表示每天使用扫码支付的人次(单位：十人次)，绘制了如图所示的散点图：(1)根据散点图判断在推广期内，y=a+bx与y=cdx(c，d为大于零的常数)哪一个适宜作为扫码支付的人次y关于活动推出天数x的回归方程类型？(给出判断即可，不必说明理由)(2)根据(1)的判断结果求y关于x的回归方程，并预测活动推出第8天使用扫码支付的人次.参考数据：xiyixivi100.544621.542 53550.121403.47其中vi=lg yi，=vi附：对于一组数据，其回归直线=+u的斜率和截距的最小二乘估计分别为：=，=-.【解析】(1)根据散点图判断，y=cdx适宜作为扫码支付的人次y关于活动推出天数x的回归方程类型.(2)因为y=cdx，两边取常用对数得：lg y=lg=lg c+lg dx，设lg y=v，所以v=lg c+lg dx因为=4，=1.54，=140，所以lg d=0.25，把样本点的中心(4，1.54)代入v=lg c+lg dx得：lg c=0.54，所以=0.54+0.25x，则lg y=0.54+0.25x所以y关于x的回归方程为=100.54+0.25x，把x=8代入上式得：=100.54+0.258347，故活动推出第8天使用扫码支付的人次约为3 470.
