1、第8节 平面向量的夹角与模【基础知识】1. aa|a|2,.2cos .(为a与b的夹角)3. aba1b1a2b20.4.|ab|a|b|. 【规律技巧】利用向量夹角公式、模公式及向量垂直的充要条件,可将有关角度问题、线段长问题及垂直问题转化为向量的数量积来解决【典例讲解】【例1】 (1)平面向量a,b满足|a|1,|b|2,且(ab)(a2b)7,则向量a,b的夹角为_(2)已知向量与的夹角为120,且|3,|2.若,且,则实数的值为_【答案】(1)(2)规律方法(1)根据平面向量数量积的性质:若a, b为非零向量,cos (夹角公式),abab0等,可知平面向量的数量积可以用来解决有关角
2、度、垂直问题(2)数量积大于0说明不共线的两向量的夹角为锐角,数量积等于0说明不共线的两向量的夹角为直角,数量积小于0且两向量不共线时两向量的夹角为钝角【变式探究】 (1)已知a(2,1),b(,3),若a与b的夹角为钝角,则的取值范围是_(2)已知两个单位向量a,b的夹角为60,cta(1t)b.若bc0,则t_【解析】(1)由ab0,即230,解得.由ab,得6,即6.此时b3a,ab0,但a与b的夹角为,因此,且6.(2)bcbta(1t)btab(1t)b2t|a|b|cos 60(1t)|b|2t1tt10,t2.【答案】(1)(,6)(2)2【例2】 (1)已知向量a,b均为单位向
3、量,它们的夹角为,则|ab|()A1 B. C. D2 (2)(2014湖南卷)在平面直角坐标系中,O为原点,A(1,0),B(0,),C(3,0),动点D满足|1,则|的最大值是_【答案】(1)C(2)1【规律方法】(1)求向量的模的方法:公式法,利用|a|及(ab) 2|a|22ab|b|2,把向量的模的运算转化为数量积运算;几何法,利用向量的几何意义,即利用向量加减法的平行四边形法则或三角形法则作出向量,再利用余弦定理等方法求解(2)求向量模的最值(范围)的方法:代数法,把所求的模表示成某个变量的函数,再用求最值的方法求解;几何法(数形结合法),弄清所求的模表示的几何意义,结合动点表示的
4、图形求解【变式探究】(1)如图,在ABC中,O为BC中点,若AB1,AC3,60,则|_ (2)已知直角梯形ABCD中,ADBC,ADC90,AD2,BC1,P是腰DC上的动点,则|3|的最小值为_【针对训练】1、已知向量a,b满足,且关于x的函数,在R上有极值,则与的夹角的取值范围为( ) A. B. C. D. 2、若同一平面内向量,两两所成的角相等,且,则等于( ) A2 B5 C2或5 D或【答案】C【解析】因为同一平面内向量,两两所成的角相等,所以当三个向量所成的角都是时,即,所以当三个向量所成的角都是时,故或.3、已知向量的夹角为,且,则( ) A. B. C. D.4、已知,则与
5、的夹角为() A B C D5、已知,且与的夹角为锐角,则的取值范围是 .6、ABC中,ABC的面积夹角的取值范围是() A B C D【练习巩固】1、设向量a,b满足|ab|,|ab|,则()A1 B2 C3 D5【答案】A【解析】由已知得|ab|210,|ab|26,两式相减,得4ab4,所以ab1.2、在ABC中,已知tan A,当A时,ABC的面积为_【答案】3、已知a,b是单位向量,ab0.若向量c满足|cab|1,则|c|的取值范围是()A1,1 B.C1,1 D1,2解析:由a,b为单位向量且ab0,可设a(1,0),b(0,1),又设c(x,y),代入|cab|1得(x1)2(
6、y1)21,又|c| ,故由几何性质得1|c| 1,即1|c| 1.答案:A4、设向量a(sin x,sin x),b(cos x,sin x),x.(1)若|a|b|,求x的值;(2)设函数f(x)ab,求f(x)的最大值5已知a,b为单位向量,其夹角为60,则(2ab)b()A1 B0 C1 D2【解析】(2ab)b2ab|b|2211cos 60120,故选B.【答案】B6已知a(1,sin2x),b(2,sin 2x),其中x(0,)若|ab|a|b|,则tan x的值等于()A1 B1 C. D.【答案】A57已知|a|2|b|,|b|0,且关于x的方程x2|a|xab0有两相等实根
7、,则向量a与b的夹角是 ()A B C. D.【解析】由已知可得|a|24ab0,即4|b|242|b|2cos 0,cos ,又0,.【答案】D8已知平面向量a与b的夹角等于,若|a|2,|b|3,则|2a3b|_【解析】由题意可得ab|a|b|cos 3,所以|2a3b|.【答案】9已知向量a(cos ,sin ),向量b(,1),则 |2ab|的最大值与最小值的和为_【答案】410已知|a|4,|b|3,(2a3b)(2ab)61,(1)求a与b的夹角;(2)求|ab|;(3)若a,b,求ABC的面积 11已知|a|2|b|0,且关于x的函数f(x)x3|a|x2abx在R上有极值,则向量a与b的夹角的范围是()A. B.C. D.【答案】C