1、第8节 平面向量的夹角与模【基础知识】1. aa|a|2，.2cos .(为a与b的夹角)3. aba1b1a2b20.4.|ab|a|b|. 【规律技巧】利用向量夹角公式、模公式及向量垂直的充要条件，可将有关角度问题、线段长问题及垂直问题转化为向量的数量积来解决【典例讲解】【例1】 (1)平面向量a，b满足|a|1，|b|2，且(ab)(a2b)7，则向量a，b的夹角为_(2)已知向量与的夹角为120，且|3，|2.若，且，则实数的值为_【答案】(1)(2)规律方法(1)根据平面向量数量积的性质：若a， b为非零向量，cos (夹角公式)，abab0等，可知平面向量的数量积可以用来解决有关角
2、度、垂直问题(2)数量积大于0说明不共线的两向量的夹角为锐角，数量积等于0说明不共线的两向量的夹角为直角，数量积小于0且两向量不共线时两向量的夹角为钝角【变式探究】 (1)已知a(2，1)，b(，3)，若a与b的夹角为钝角，则的取值范围是_(2)已知两个单位向量a，b的夹角为60，cta(1t)b.若bc0，则t_【解析】(1)由ab0，即230，解得.由ab，得6，即6.此时b3a，ab0，但a与b的夹角为，因此，且6.(2)bcbta(1t)btab(1t)b2t|a|b|cos 60(1t)|b|2t1tt10，t2.【答案】(1)(，6)(2)2【例2】 (1)已知向量a，b均为单位向
3、量，它们的夹角为，则|ab|()A1 B. C. D2 (2)(2014湖南卷)在平面直角坐标系中，O为原点，A(1，0)，B(0，)，C(3，0)，动点D满足|1，则|的最大值是_【答案】(1)C(2)1【规律方法】(1)求向量的模的方法：公式法，利用|a|及(ab) 2|a|22ab|b|2，把向量的模的运算转化为数量积运算；几何法，利用向量的几何意义，即利用向量加减法的平行四边形法则或三角形法则作出向量，再利用余弦定理等方法求解(2)求向量模的最值(范围)的方法：代数法，把所求的模表示成某个变量的函数，再用求最值的方法求解；几何法(数形结合法)，弄清所求的模表示的几何意义，结合动点表示的
4、图形求解【变式探究】(1)如图，在ABC中，O为BC中点，若AB1，AC3，60，则|_ (2)已知直角梯形ABCD中，ADBC，ADC90，AD2，BC1，P是腰DC上的动点，则|3|的最小值为_【针对训练】1、已知向量a,b满足，且关于x的函数，在R上有极值，则与的夹角的取值范围为（ ） A. B. C. D. 2、若同一平面内向量，两两所成的角相等，且，则等于（ ） A2 B5 C2或5 D或【答案】C【解析】因为同一平面内向量，两两所成的角相等，所以当三个向量所成的角都是时，即，所以当三个向量所成的角都是时，故或.3、已知向量的夹角为，且，则（ ） A. B. C. D.4、已知，则与
5、的夹角为() A B C D5、已知，且与的夹角为锐角，则的取值范围是 .6、ABC中，ABC的面积夹角的取值范围是（） A B C D【练习巩固】1、设向量a，b满足|ab|，|ab|，则()A1 B2 C3 D5【答案】A【解析】由已知得|ab|210，|ab|26，两式相减，得4ab4，所以ab1.2、在ABC中，已知tan A，当A时，ABC的面积为_【答案】3、已知a，b是单位向量，ab0.若向量c满足|cab|1，则|c|的取值范围是()A1，1 B.C1，1 D1，2解析：由a，b为单位向量且ab0，可设a(1,0)，b(0,1)，又设c(x，y)，代入|cab|1得(x1)2(
6、y1)21，又|c| ，故由几何性质得1|c| 1，即1|c| 1.答案：A4、设向量a(sin x，sin x)，b(cos x，sin x)，x.(1)若|a|b|，求x的值；(2)设函数f(x)ab，求f(x)的最大值5已知a，b为单位向量，其夹角为60，则(2ab)b()A1 B0 C1 D2【解析】(2ab)b2ab|b|2211cos 60120，故选B.【答案】B6已知a(1，sin2x)，b(2，sin 2x)，其中x(0，)若|ab|a|b|，则tan x的值等于()A1 B1 C. D.【答案】A57已知|a|2|b|，|b|0，且关于x的方程x2|a|xab0有两相等实根
7、，则向量a与b的夹角是 ()A B C. D.【解析】由已知可得|a|24ab0，即4|b|242|b|2cos 0，cos ，又0，.【答案】D8已知平面向量a与b的夹角等于，若|a|2，|b|3，则|2a3b|_【解析】由题意可得ab|a|b|cos 3，所以|2a3b|.【答案】9已知向量a(cos ，sin )，向量b(，1)，则 |2ab|的最大值与最小值的和为_【答案】410已知|a|4，|b|3，(2a3b)(2ab)61，(1)求a与b的夹角；(2)求|ab|；(3)若a，b，求ABC的面积 11已知|a|2|b|0，且关于x的函数f(x)x3|a|x2abx在R上有极值，则向量a与b的夹角的范围是()A. B.C. D.【答案】C