1、2016-2017学年广东省广州市执信中学高一（上）期末数学试卷一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，选择一个符合题目要求的选项涂在答题卡相应的位置.）1已知集合M=xZ|x（x3）0，N=x|lnx1，则MN=（）A1，2B2，3C0，1，2D1，2，32函数f（x）=lnx的零点所在的大致区间是（）AB（1，2）C（2，3）D（e，+）3若m，n是两条不同的直线，是三个不同的平面，下些说法正确的是（）A若m，则mB若m，m，则C若=m，=n，mn，则D若，则4已知函数，设，则有（）Af（a）f（b）f（c）Bf（a）f（c）f（b）Cf（b）f（c
2、）f（a）Df（b）f（a）f（c）5将正方体（如图1所示）截去两个三棱锥，得到图2所示的几何体，则该几何体的左视图为（）ABCD6一种专门侵占内存的计算机病毒，开机时占据内存2KB，然后每3分钟自身复制一次，复制后所占内存是原来的2倍，若该病毒占据64MB内存（1MB=210KB），则开机后经过（）分钟A45B44C46D477若当xR时，函数f（x）=a|x|始终满足0|f（x）|1，则函数y=loga|的图象大致为（）ABCD8在平面直角坐标系中，下列四个结论：每一条直线都有点斜式和斜截式方程；倾斜角是钝角的直线，斜率为负数；方程与方程y+1=k（x2）可表示同一直线；直线l过点P（x0
3、，y0），倾斜角为90，则其方程为x=x；其中正确的个数为（）A1B2C3D49如图所示，圆柱形容器的底面直径等于球的直径2R，把球放在在圆柱里，注入水，使水面与球正好相切，然后将球取出，此时容器中水的深度是（）A2RBCD10一个棱锥的三视图如图（尺寸的长度单位为m），则该棱锥的全面积是（单位：m2）（）ABCD11如图，正方体AC1的棱长为1，过点A作平面A1BD的垂线，垂足为点H，则以下命题中，错误的命题是（）A点H是A1BD的垂心BAH垂直平面CB1D1CAH的延长线经过点C1D直线AH和BB1所成角为4512已知函数y=f（x）是定义域为R的偶函数当x0时，f（x）=若关于x的方程f
4、（x）2+af（x）+b=0，a，bR有且仅有6个不同实数根，则实数a的取值范围是（）ABCD二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分.答案填在答卷上.）13计算的结果是14已知4a=2，lgx=a，则x=15过点（1，2）且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程16已知：在三棱锥PABQ 中，D，C，E，F分别是AQ，BQ，AP，BP的中点，PD与EQ交于点G，PC与FQ交于点H，连接GH，则多面体ADGEBCHF的体积与三棱锥PABQ体积之比是三、解答题：（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，并写在答题卷相应位置.）17如图，在平行四边形OABC中，点C
5、（1，3）（1）求OC所在直线的斜率；（2）过点C作CDAB于点D，求CD所在直线的方程18如图，正方形ABCD所在平面与三角形CDE所在平面相交于CD，AE平面CDE，且AE=1，AB=2（）求证：AB平面ADE；（）求凸多面体ABCDE的体积19已知函数为奇函数，（1）求a的值；（2）当0x1时，关于x的方程f（x）+1=t有解，求实数t的取值范围；（3）解关于x的不等式f（x2mx）f（2x2m）20某家庭进行理财投资，根据长期收益率市场调查和预测，投资债券等稳键型产品A的收益f（x）与投资金额x的关系是f（x）=k1x，（f（x）的部分图象如图1）；投资股票等风险型产品B的收益g（x）
6、与投资金额x的关系是，（g（x）的部分图象如图2）；（收益与投资金额单位：万元）（1）根据图1、图2分别求出f（x）、g（x）的解析式；（2）该家庭现有10万元资金，并全部投资债券等稳键型产品A及股票等风险型产品B两种产品，问：怎样分配这10万元投资，才能使投资获得最大收益，其最大收益为多少万元？21如图，直三棱柱ABCA1B1C1中，ACBC，AC=BC=CC1=2，M，N分别为AC，B1C1的中点（）求线段MN的长；（）求证：MN平面ABB1A1；（）线段CC1上是否存在点Q，使A1B平面MNQ？说明理由22已知函数f（x）=ax2+bx+c（a，b，cR）（1）若a0，b0，c=0，且f
7、（x）在0，2上的最大值为，最小值为2，试求a，b的值；（2）若c=1，0a1，且|2对任意x1，2恒成立，求b的取值范围（用a来表示）2016-2017学年广东省广州市执信中学高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，选择一个符合题目要求的选项涂在答题卡相应的位置.）1已知集合M=xZ|x（x3）0，N=x|lnx1，则MN=（）A1，2B2，3C0，1，2D1，2，3【考点】交集及其运算【分析】解不等式化简集合M、N，根据交集的定义写出MN【解答】解：集合M=xZ|x（x3）0=xZ|0x3=0，1，2，3，N=
8、x|lnx1=x|0xe，则MN=1，2故选：A2函数f（x）=lnx的零点所在的大致区间是（）AB（1，2）C（2，3）D（e，+）【考点】函数零点的判定定理【分析】由函数的解析式求得f（2）0，f（3）0，可得f（2）f（3）0，根据函数零点的判定定理可得函数的零点所在的大致区间【解答】解：函数，f（2）=ln210，f（3）=ln30，故有f（2）f（3）0，根据函数零点的判定定理可得函数的零点所在的大致区间为（2，3），故选：C3若m，n是两条不同的直线，是三个不同的平面，下些说法正确的是（）A若m，则mB若m，m，则C若=m，=n，mn，则D若，则【考点】空间中直线与平面之间的位置关
9、系【分析】对于A，若m，则m与平行、相交或m；对于B，根据线面垂直的判定定理进行判断；对于C，若l=m，l=n，mn，则或与相交；对于D，若，则与相交或平行【解答】解：若m，则m与平行、相交或m，故A不正确；若m，m，则，因为m根据线面平行的性质在内至少存在一条直线与m平行，根据线面垂直的判定：如果两条平行线中的一条垂直于这个平面，那么另一条也垂直于该平面，故B正确；若l=m，l=n，mn，则或与相交，故C不正确；若，则与相交或平行，故D不正确故选B4已知函数，设，则有（）Af（a）f（b）f（c）Bf（a）f（c）f（b）Cf（b）f（c）f（a）Df（b）f（a）f（c）【考点】对数值大小
10、的比较【分析】由复合函数的单调性可得函数f（x）在（1，+）上单调递增，进而得出大小关系【解答】解：由复合函数的单调性可得函数f（x）在（1，+）上单调递增，又，因此bca，f（b）f（c）f（a）故选：B5将正方体（如图1所示）截去两个三棱锥，得到图2所示的几何体，则该几何体的左视图为（）ABCD【考点】简单空间图形的三视图【分析】直接利用三视图的画法，画出几何体的左视图即可【解答】解：由题意可知几何体前面在右侧的射影为线段，上面的射影也是线段，后面与底面的射影都是线段，轮廓是正方形，AD1在右侧的射影是正方形的对角线，B1C在右侧的射影也是对角线是虚线如图B故选B6一种专门侵占内存的计算机
11、病毒，开机时占据内存2KB，然后每3分钟自身复制一次，复制后所占内存是原来的2倍，若该病毒占据64MB内存（1MB=210KB），则开机后经过（）分钟A45B44C46D47【考点】等比数列的通项公式【分析】n个3分钟后，所占内存是原来的2n+1倍，从而应有2n+1=64210=216，由此能求出结果【解答】解：因为开机时占据内存2KB，然后每3分钟自身复制一次，复制后所占内存是原来的2倍，所以3分钟后占据内存22KB，两个3分钟后占据内存23KB，三个3分钟后占据内存24KB，故n个3分钟后，所占内存是原来的2n+1倍，则应有2n+1=64210=216，n=15，153=45，故选：A7若
12、当xR时，函数f（x）=a|x|始终满足0|f（x）|1，则函数y=loga|的图象大致为（）ABCD【考点】对数函数的图象与性质【分析】由于当xR时，函数f（x）=a|x|始终满足0|f（x）|1，利用指数函数的图象和性质可得0a1先画出函数y=loga|x|的图象，此函数是偶函数，当x0时，即为y=logax，而函数y=loga|=loga|x|，即可得出图象【解答】解：当xR时，函数f（x）=a|x|始终满足0|f（x）|1因此，必有0a1先画出函数y=loga|x|的图象：黑颜色的图象而函数y=loga|=loga|x|，其图象如红颜色的图象故选B8在平面直角坐标系中，下列四个结论：每
13、一条直线都有点斜式和斜截式方程；倾斜角是钝角的直线，斜率为负数；方程与方程y+1=k（x2）可表示同一直线；直线l过点P（x0，y0），倾斜角为90，则其方程为x=x；其中正确的个数为（）A1B2C3D4【考点】命题的真假判断与应用【分析】，斜率不存在的直线无点斜式和斜截式方程；，由倾斜角与斜率的关系知，倾斜角是钝角的直线，斜率为负数；，方程（x2）与方程y+1=k（x2）（xR）不表示同一直线；，直线l过点P（x0，y0），倾斜角为90，则其方程为x=x；【解答】解：对于，斜率不存在的直线无点斜式和斜截式方程，故错；对于，由倾斜角与斜率的关系知，倾斜角是钝角的直线，斜率为负数，正确；对于，方
14、程（x2）与方程y+1=k（x2）（xR）不表示同一直线，故错；对于，直线l过点P（x0，y0），倾斜角为90，则其方程为x=x0，正确；故选：B9如图所示，圆柱形容器的底面直径等于球的直径2R，把球放在在圆柱里，注入水，使水面与球正好相切，然后将球取出，此时容器中水的深度是（）A2RBCD【考点】球的体积和表面积；棱柱、棱锥、棱台的体积【分析】求出水的体积，即可求出容器中水的深度【解答】解：由题意，水的体积=，容器中水的深度h=，故选：C10一个棱锥的三视图如图（尺寸的长度单位为m），则该棱锥的全面积是（单位：m2）（）ABCD【考点】由三视图求面积、体积【分析】由三视图可以看出，此几何体是
15、一个侧面与底面垂直的三棱锥，垂直于底面的侧面是一个高为2，底边长也为2的等腰直角三角形，底面与垂直于底面的侧面全等，此两面的面积易求，另两个与底面不垂直的侧面是全等的，可由顶点在底面上的射影作出此两侧面底边的高，将垂足与顶点连接，此线即为侧面三角形的高线，求出侧高与底面的边长，用三角形面积公式求出此两侧面的面积，将四个面的面积加起来即可【解答】解：由三视图可以看出，此几何体是一个侧面与底面垂直且底面与垂直于底面的侧面全等的三棱锥由图中数据知此两面皆为等腰直角三角形，高为2，底面连长为2，故它们的面积皆为=2，由顶点在底面的投影向另两侧面的底边作高，由等面积法可以算出，此二高线的长度长度相等，为
16、，将垂足与顶点连接起来即得此两侧面的斜高，由勾股定理可以算出，此斜高为2，同理可求出侧面底边长为，可求得此两侧面的面积皆为=，故此三棱锥的全面积为2+2+=，故选A11如图，正方体AC1的棱长为1，过点A作平面A1BD的垂线，垂足为点H，则以下命题中，错误的命题是（）A点H是A1BD的垂心BAH垂直平面CB1D1CAH的延长线经过点C1D直线AH和BB1所成角为45【考点】空间中直线与直线之间的位置关系【分析】如上图，正方体的体对角线AC1有以下性质：AC1平面A1BD，AC1平面CB1D1；AC1被平面A1BD与平面CB1D1三等分；AC1=AB等（注：对正方体要视为一种基本图形来看待）【解
17、答】解：因为三棱锥AA1BD是正三棱锥，所以顶点A在底面的射影H是底面中心，所以选项A正确；易证面A1BD面CB1D1，而AH垂直平面A1BD，所以AH垂直平面CB1D1，所以选项B正确；连接正方体的体对角线AC1，则它在各面上的射影分别垂直于BD、A1B、A1D等，所以AC1平面A1BD，则直线A1C与AH重合，所以选项C正确；故选D12已知函数y=f（x）是定义域为R的偶函数当x0时，f（x）=若关于x的方程f（x）2+af（x）+b=0，a，bR有且仅有6个不同实数根，则实数a的取值范围是（）ABCD【考点】根的存在性及根的个数判断；函数的零点与方程根的关系【分析】要使关于x的方程f（x
18、）2+af（x）+b=0，a，bR有且只有6个不同实数根，转化为t2+at+b=0必有两个根t1、t2，分类讨论求解【解答】解：依题意f（x）在（，2）和（0，2）上递增，在（2，0）和（2，+）上递减，当x=2时，函数取得极大值；当x=0时，取得极小值0要使关于x的方程f（x）2+af（x）+b=0，a，bR有且只有6个不同实数根，设t=f（x），则则有两种情况符合题意：（1），且，此时a=t1+t2，则；（2）t1（0，1，此时同理可得，综上可得a的范围是故选答案C二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分.答案填在答卷上.）13计算的结果是2【考点】对数的运算性质；有理数指数幂的
19、化简求值【分析】利用指数幂的运算法则、对数的运算法则和换底公式即可得出【解答】解：运算=1+lg2+lg5=10.4+0.4+1=2故答案为214已知4a=2，lgx=a，则x=【考点】对数的运算性质【分析】根据指数函数和对数函数的定义计算即可【解答】解：4a=2，22a=2，即2a=1解得a=lgx=a，lgx=x=，故答案为：15过点（1，2）且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程2xy=0或x+y3=0【考点】直线的两点式方程【分析】分两种情况考虑，第一：当所求直线与两坐标轴的截距不为0时，设出该直线的方程为x+y=a，把已知点坐标代入即可求出a的值，得到直线的方程；第二：当所求直线与两坐
20、标轴的截距为0时，设该直线的方程为y=kx，把已知点的坐标代入即可求出k的值，得到直线的方程，综上，得到所有满足题意的直线的方程【解答】解：当所求的直线与两坐标轴的截距不为0时，设该直线的方程为x+y=a，把（1，2）代入所设的方程得：a=3，则所求直线的方程为x+y=3即x+y3=0；当所求的直线与两坐标轴的截距为0时，设该直线的方程为y=kx，把（1，2）代入所求的方程得：k=2，则所求直线的方程为y=2x即2xy=0综上，所求直线的方程为：2xy=0或x+y3=0故答案为：2xy=0或x+y3=016已知：在三棱锥PABQ 中，D，C，E，F分别是AQ，BQ，AP，BP的中点，PD与EQ
21、交于点G，PC与FQ交于点H，连接GH，则多面体ADGEBCHF的体积与三棱锥PABQ体积之比是【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积【分析】由题意可得GHEF，且GH：EF=2：3，设出三棱锥PABQ体积为V，可得VPDCQ=， =，作差求出多面体ADGEBCHF的体积，则答案可求【解答】解：D，C，E，F分别是AQ，BQ，AP，BP的中点，EFAB，DCAB，则EFDC，又EF平面PCD，DC平面PCD，EF平面PCD，又EF平面EFQ，平面EFQ平面PCD=GH，EFGH，设三棱锥PABQ体积为V，则VPDCQ=，=多面体ADGEBCHF的体积与三棱锥PABQ体积之比是故答案为：三、解答题：（本
22、大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，并写在答题卷相应位置.）17如图，在平行四边形OABC中，点C（1，3）（1）求OC所在直线的斜率；（2）过点C作CDAB于点D，求CD所在直线的方程【考点】直线的点斜式方程；斜率的计算公式；直线的一般式方程【分析】（1）根据原点坐标和已知的C点坐标，利用直线的斜率k=，求出直线OC的斜率即可；（2）根据平行四边形的两条对边平行得到AB平行于OC，又CD垂直与AB，所以CD垂直与OC，由（1）求出的直线OC的斜率，根据两直线垂直时斜率乘积为1，求出CD所在直线的斜率，然后根据求出的斜率和点C的坐标写出直线CD的方程即可【解答】解：
23、（1）点O（0，0），点C（1，3），OC所在直线的斜率为（2）在平行四边形OABC中，ABOC，CDAB，CDOCCD所在直线的斜率为CD所在直线方程为，即x+3y10=018如图，正方形ABCD所在平面与三角形CDE所在平面相交于CD，AE平面CDE，且AE=1，AB=2（）求证：AB平面ADE；（）求凸多面体ABCDE的体积【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面垂直的判定【分析】（）推导出AECD，CDAD，从而CD平面ADE，再由ABCD，能证明AB平面ADE（）凸多面体ABCDE的体积V=VBCDE+VBADE，由此能求出结果【解答】证明：（）AE平面CDE，CD平面CDE，AE
24、CD，又在正方形ABCD中，CDAD，AEAD=A，CD平面ADE，又在正方形ABCD中，ABCD，AB平面ADE解：（）连接BD，设B到平面CDE的距离为h，ABCD，CD平面CDE，AB平面CDE，又AE平面CDE，h=AE=1，又=，=，又=，凸多面体ABCDE的体积V=VBCDE+VBADE=19已知函数为奇函数，（1）求a的值；（2）当0x1时，关于x的方程f（x）+1=t有解，求实数t的取值范围；（3）解关于x的不等式f（x2mx）f（2x2m）【考点】函数奇偶性的性质；函数的零点与方程根的关系【分析】（1）利用f（0）=0，即可求a的值；（2）当0x1时，关于x的方程f（x）+1
25、=t有解，求出函数的值域，即可求实数t的取值范围；（3）利用函数的单调性，化不等式为具体不等式，分类讨论，即可解关于x的不等式f（x2mx）f（2x2m）【解答】解：（1）xR，f（0）=0，a=1（2），0x1，23x+14（3）在R上单调递减，f（x2mx）f（2x2m）x2mx2x2mx2（m+2）x+2m0（x2）（xm）0当m2时，不等式的解集是x|2xm当m=2时，不等式的解集是x|x=2当m2时，不等式的解集是x|mx220某家庭进行理财投资，根据长期收益率市场调查和预测，投资债券等稳键型产品A的收益f（x）与投资金额x的关系是f（x）=k1x，（f（x）的部分图象如图1）；投资
26、股票等风险型产品B的收益g（x）与投资金额x的关系是，（g（x）的部分图象如图2）；（收益与投资金额单位：万元）（1）根据图1、图2分别求出f（x）、g（x）的解析式；（2）该家庭现有10万元资金，并全部投资债券等稳键型产品A及股票等风险型产品B两种产品，问：怎样分配这10万元投资，才能使投资获得最大收益，其最大收益为多少万元？【考点】函数模型的选择与应用【分析】（1）设投资为x万元，由题意，知f（1.8）=0.45，g（4）=2.5，由此能求出A、B两种产品的收益表示为投资的函数关系式（2）设对股票等风险型产品B投资x万元，则对债券等稳键型产品A投资（10x）万元，记家庭进行理财投资获取的收
27、益为y万元，则y=，x0利用换元法能求出怎样分配这10万元投资，才能使投资获得最大收益，并能求出其最大收益为多少万元【解答】解：（1）设投资为x万元，由题意，知f（1.8）=0.45，g（4）=2.5；解得k1=，k2=，f（x）=x，x0g（x）=，x0；（2）设对股票等风险型产品B投资x万元，则对债券等稳键型产品A投资（10x）万元，记家庭进行理财投资获取的收益为y万元，则y=，x0设=t，则x=t2，0ty=，当t=，也即x=时，y取最大值答：对股票等风险型产品B投资万元，对债券等稳键型产品A投资万元时，可获最大收益万元21如图，直三棱柱ABCA1B1C1中，ACBC，AC=BC=CC1
28、=2，M，N分别为AC，B1C1的中点（）求线段MN的长；（）求证：MN平面ABB1A1；（）线段CC1上是否存在点Q，使A1B平面MNQ？说明理由【考点】直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定【分析】（）连接CN，易证AC平面BCC1B1由勾股定理可得CN的值，进而可得MN的长；（）取AB中点D，连接DM，DB1，可得四边形MDB1N为平行四边形，可得MNDB1，由线面平行的判定定理可得MN平面ABB1A1；（）当Q为CC1中点时，有A1B平面MNQ 连接BC1，易证QNBC1可得A1BQN，A1BMQ，由线面垂直的判定可得【解答】解：（）连接CN，因为ABCA1B1C1是直三棱柱，所以
29、CC1平面ABC，所以ACCC1，因为ACBC，所以AC平面BCC1B1 因为MC=1，CN=，所以MN= （）证明：取AB中点D，连接DM，DB1 在ABC中，因为M为AC中点，所以DMBC，DM=BC在矩形B1BCC1中，因为N为B1C1中点，所以B1NBC，B1N=BC所以DMB1N，DM=B1N所以四边形MDB1N为平行四边形，所以MNDB1 因为MN平面ABB1A1，DB1平面ABB1A1所以MN平面ABB1A1 （）解：线段CC1上存在点Q，且Q为CC1中点时，有A1B平面MNQ 证明如下：连接BC1，在正方形BB1C1C中易证QNBC1又A1C1平面BB1C1C，所以A1C1QN
30、，从而NQ平面A1BC1所以A1BQN 同理可得A1BMQ，所以A1B平面MNQ故线段CC1上存在点Q，使得A1B平面MNQ 22已知函数f（x）=ax2+bx+c（a，b，cR）（1）若a0，b0，c=0，且f（x）在0，2上的最大值为，最小值为2，试求a，b的值；（2）若c=1，0a1，且|2对任意x1，2恒成立，求b的取值范围（用a来表示）【考点】函数恒成立问题；二次函数的性质【分析】（1）讨论对称轴与区间0，2的关系，判断f（x）的单调性，列出方程组解出a，b；（2）令g（x）=，讨论极值点与区间1，2的关系判断g（x）的单调性，列出不等式组解出b【解答】（1）抛物线的对称轴为，当时，即b4a时，当时，f（x）min=f（2）=4a+2b+c=2，a=2，b=3当时，即b4a时，f（x）在0，2上为增函数，f（x）min=f（0）=0与f（x）min=2矛盾，无解，综合得：a=2，b=3（2）对任意x1，2恒成立，即对任意x1，2恒成立，即对任意x1，2恒成立，令，则，0a1，（）若，即时，g（x）在1，2单调递减，此时，即，得，此时，（）若，即时，g（x）在单调递减，在单调递增，此时，只要，当时，当时，综上得：时，；时，；时，2017年3月22日
