1、第六章 平面向量第一讲平面向量的概念及线性运算、平面向量基本定理及坐标运算练好题考点自测1.给出下列命题:向量a与b平行,则a与b的方向相同或相反;两个向量平行是这两个向量相等的必要不充分条件;若非零向量a与非零向量b的方向相同或相反,则a+b与a,b两者之一的方向相同;两个有共同起点的相等向量,其终点必相同;若向量与向量是共线向量,则点A,B,C,D必在同一条直线上;a=0(为实数),则必为0.其中叙述正确的命题的序号是()A. B. C.D.2.新课标全国,5分设D为ABC所在平面内一点,=3,则()A.=-+ B.=-C.=+ D.=-3.2019全国卷,5分已知向量a=(2,3),b=
2、(3,2),则|a-b|=()A. B.2 C.5 D.504.浙江高考,5分记maxx,y=minx,y=设a,b为平面向量,则()A.min|a+b|,|a-b|min|a|,|b| B.min|a+b|,|a-b|min|a|,|b|C.max|a+b|2,|a-b|2|a|2+|b|2 D.max|a+b|2,|a-b|2|a|2+|b|25.2018全国卷,5分已知向量a=(1,2),b=(2,-2),c=(1,).若c(2a+b),则=.6.新课标全国,5分设向量a,b不平行,向量a+b与a+2b平行,则实数=.7.2020江苏,5分如图6-1-1,在ABC中,AB=4,AC=3,
3、BAC=90,D在边BC上,延长AD到P,使得AP=9,若=m+(-m)(m为常数),则CD的长度是.图6-1-1拓展变式1.2021湖南四校联考多选题在ABC中,D,E,F分别是边BC,CA,AB的中点,AD,BE,CF交于点G,则()A.=- B.=-+C.+= D.+=02. 如图6-1-4,在直角梯形ABCD中,=,=2,且=r+s,则2r+3s=()A.1 B.2 C.3 D.4图6-1-43. 给定两个长度为1的平面向量和,它们的夹角为.如图6-1-6所示,点C在以O为圆心的圆弧AB上运动.若=x+y,其中x,yR,则x+y的最大值为.图6-1-6答 案第一讲平面向量的概念及线性运
4、算、平面向量基本定理及坐标运算1.C对于,当a=0时,不正确;对于,根据平行向量和相等向量的定义可知正确;对于,当a+b=0时,a+b的方向是任意的,它可以与a,b的方向都不相同,故不正确;对于,由相等向量的定义可知,正确;对于,若向量与向量是共线向量,由共线向量的定义可知,点A,B,C,D不一定在同一条直线上,故不正确;对于,当a=0时,不论为何值,a=0,故不正确.故选C.2.A由题意得=+=+=+-=-+,故选A.3.A依题意得a-b=(-1,1),|a-b|=,因此选A.4.D对于min|a+b|,|a-b|与min|a|,|b|的比较,相当于把以|a|与|b|为邻边的平行四边形的对角
5、线长度的较小者与两邻边长度的较小者比较,它们的大小关系不定,因此A,B均错.而|a+b|,|a-b|中的较大者与|a|,|b|可构成非锐角三角形的三边,因此有max|a+b|2,|a-b|2|a|2+|b|2,故选D.5.由题意得2a+b=(4,2),因为c=(1,),且c(2a+b),所以12=4,即=.6.由于a+b与a+2b平行,所以存在唯一实数,使得a+b=(a+2b),即(-)a+(1-2)b=0.因为向量a,b不平行,所以-=0,1-2=0,解得=.7.或0解法一以点A为坐标原点,的方向为x轴的正方向,的方向为y轴的正方向建立平面直角坐标系.设=,0,1,则D(4,3-3),=+=
6、+(1-),又点P在AD的延长线上,则可设=,1.又=m(-)+=m+,则=m(-)+(-),=m+(-m),则2m+(3-2m)=+(1-),所以2m=,3-2m=-,所以=3.又AP=9,则AD=3,所以(4)2+(3-3)2=9,得=或=0,则|=|=或|=0|=0.解法二由题意可设=+(1-)=+(-),其中1,01,又=m+(-m),所以得=,即=,又PA=9,则|=6,|=3,所以AD=AC.当D与C重合时,CD=0,当D不与C重合时,有ACD=CDA,所以CAD=180-2ACD,在ACD中,由正弦定理可得=,则CD=AD=2cosACDAD=23=.综上,CD=或0.1.CD如
7、图D 6-1-1,因为点D,E,F分别是边BC,CA,AB的中点,所以=-,故A不正确;=+=+=+(+)=-=-+,故B不正确;=-=+=+=+=+=+,故C正确;由题意知,点G为ABC的重心,所以+=+=(+)+(+)+(+)=0,即+=0,故D正确.故选CD.图D 6-1-12.C根据图形,由题意可得=+=+=+(+)=+(+)=+(+)=+.因为=r+s,所以r=,s=,所以2r+3s=1+2=3.3.2以O为坐标原点,的方向为x轴正方向建立平面直角坐标系,如图D 6-1-2所示,则A(1,0),B(-,).设AOC=,0,则C(cos ,sin ).由=x+y,得所以x=cos +sin ,y=sin ,所以x+y=cos +sin =2sin(+).又0,所以当=时,x+y取得最大值2.图D 6-1-2
