1、2021年上海市黄浦区高三高考数学二模试卷一、填空题(共有12题,满分54分,每个空格填对前6题得4分、后6题得5分).1已知集合Ax|x2+2x30,Bx|x1|1,则AB 2方程2log4x+13的解x 3已知某球体的表面积为36,则该球体的体积是 4已知函数f(x)的定义域为R,函数g(x)是奇函数,且g(x)f(x)+2x,若f(1)1,则f(1) 5已知复数z的共轭复数为,若(其中i为虚数单位),则|z| 6已知长方体ABCDA1B1C1D1的棱ABBC3,CC14,则异面直线AB1与CD1所成角的大小是 .(结果用反三角函数值表示)7已知随机事件A和B相互独立,若P(AB)0.36
2、,(表示事件A的对立事件),则P(B) 8无穷等比数列an(nN*,anR)的前n项和为Sn,且2,则首项a1的取值范围是 9已知(1+2x)n的二项展开式中第三项的系数是112,则行列式中元素1的代数余子式的值是 10已知实数x、y满足线性约束条件,则目标函数z2x+5y的最大值是 11某企业开展科技知识抢答抽奖活动,获奖号码从用0、1、2、3、9这十个数字组成没有重复数字的三位数中产生,并确定一等奖号码为:由三个奇数字组成的三位数,且该三位数是3的倍数若某位职工在知识抢答过程中抢答成功,则该职工随机抽取一个号码能抽到一等奖号码的概率是 .(结果用数值作答)12已知aR,函数f(x)的最小值
3、为2a,则由满足条件的a的值组成的集合是 二、选择题(满分20分)13已知空间直线l和平面,则“直线l在平面外”是“直线l平面”的()A充分非必要条件B必要非充分条件C充要条件D非充分非必要条件14某赛季甲乙两名篮球运动员在若干场比赛中的得分情况如下:甲:21、22、23、25、28、29、30、30;乙:14、16、23、26、28、30、33、38则下列描述合理的是()A甲队员每场比赛得分的平均值大B乙队员每场比赛得分的平均值大C甲队员比赛成绩比较稳定D乙队员比赛成绩比较稳定15已知点P(4,m)是直线l:(tR,t是参数)和圆C:(R,是参数)的公共点,过点P作圆C的切线l1,则切线l1
4、的方程是()A3x4y280B3x+4y280C3xy130Dx3y16016已知x、y是正实数,ABC的三边长为CA3,CB4,AB5,点P是边AB(P与点A、B不重合)上任一点,且若不等式2x+3ymxy恒成立,则实数m的取值范围是()ABCDm3三、解答题(本大题满分76分)本大题共有5题,解答下列各题必须在答题卷的相应编号规定区域内写出必要的步骤17已知长方体ABCDA1B1C1D1中,棱ABBC2,AA13,点E是棱AD的中点(1)联结CE,求三棱锥D1EBC的体积V;(2)求直线CD1和平面D1EB所成角的大小(结果用反三角函数值表示)18已知ABC中,内角A、B、C所对边长分别为
5、a、b、c,且b1,asinA3sinB(1)求正实数a的值;(2)若函数f(x)asin2x+cos2x(xR),求函数f(x)的最小正周期、单调递增区间19某民营企业开发出了一种新产品,预计能获得50万元到1500万元的经济收益企业财务部门研究对开发该新产品的团队进行奖励,并讨论了一个奖励方案:奖金y(单位:万元)随经济收益x(单位:万元)的增加而增加,且y0,奖金金额不超过20万元(1)请你为该企业构建一个y关于x的函数模型,并说明你的函数模型符合企业奖励要求的理由;(答案不唯一)(2)若该企业采用函数y作为奖励函数模型,试确定实数a的取值范围20(16分)椭圆的右顶点为A(a,0),焦
6、距为2c(c0),左、右焦点分别为F1、F2,P(x0,y0)为椭圆C上的任一点(1)试写出向量、的坐标(用含x0、y0、c的字母表示);(2)若的最大值为3,最小值为2,求实数a、b的值;(3)在满足(2)的条件下,若直线l:ykx+m与椭圆C交于M、N两点(M、N与椭圆的左、右顶点不重合),且以线段MN为直径的圆经过点A,求证:直线l必经过定点,并求出定点的坐标21(18分)定义:符号maxx1,x2,x3表示实数x1、x2、x3中最大的一个数;minx1,x2,x3表示x1、x2、x3中最小的一个数如,max2,2,1.22,min2,22设K是一个给定的正整数(K3),数列an共有K项
7、,记Aimina1,a2,ai1,ai,Bimaxai+1,ai+2,aK1,aK,diAiBi(i1,2,3,4,K1)由di的取值情况,我们可以得出一些有趣的结论比如,若d20,则a2a3.理由:d20,则A2B2.又a2A2,B2a3,于是,有a2a3.试解答下列问题:(1)若数列an的通项公式为,求数列di(i1,2,3,K1)的通项公式;(2)若数列an(n1,2,K)满足a13,di1(i1,2,K1),求通项公式an;(3)试构造项数为K的数列an,满足anbn+cn,其中bn是等比数列,cn是公差不为零的等差数列,且数列di(i1,2,K1)是单调递减数列,并说明理由(答案不唯
8、一)参考答案一、填空题(共12小题).1已知集合Ax|x2+2x30,Bx|x1|1,则AB(1,2)【解答】Ax|x2+2x3x|(x+3)(x1)0x|x3或x1,Bx|1x11x|0x2,ABx|1x2,故答案为:(1,2)2方程2log4x+13的解x4解:方程2log4x+13,即方程log4x1,x4,故答案为:43已知某球体的表面积为36,则该球体的体积是36解:设球的半径为R,则4R236,即R3该球的体积为V故答案为:364已知函数f(x)的定义域为R,函数g(x)是奇函数,且g(x)f(x)+2x,若f(1)1,则f(1)解:根据题意,g(x)f(x)+2x,则g(1)f(
9、1)+2,g(1)f(1)+,又由g(x)是奇函数,则g(1)+g(1)f(1)+f(1)+f(1)+0,解可得:f(1),故答案为:5已知复数z的共轭复数为,若(其中i为虚数单位),则|z|5解:因为,所以43i,故|z|5故答案为:56已知长方体ABCDA1B1C1D1的棱ABBC3,CC14,则异面直线AB1与CD1所成角的大小是.(结果用反三角函数值表示)解:建立空间直角坐标系,如图所示:由长方体ABCDA1B1C1D1中,ABBC3,CC14,所以A(3,0,0),B1(3,3,4),C(0,3,0),D1(0,0,4),所以(0,3,4),(0,3,4),计算cos,所以异面直线A
10、B1与CD1所成角的大小是arccos故答案为:arccos7已知随机事件A和B相互独立,若P(AB)0.36,(表示事件A的对立事件),则P(B)0.9解:随机事件A和B相互独立,P(AB)0.36,(表示事件A的对立事件),P(A)10.60.4,P(B)0.9故答案为:0.98无穷等比数列an(nN*,anR)的前n项和为Sn,且2,则首项a1的取值范围是(0,2)(2,4)解:无穷等比数列an(nN*)的前n项的和是Sn,且2,即a12(1q),由题意可得1q1,且q0,01q2,且1q1,0a14,且a12,首项a1的取值范围是(0,2)(2,4)故答案为:(0,2)(2,4)9已知
11、(1+2x)n的二项展开式中第三项的系数是112,则行列式中元素1的代数余子式的值是5解:因为(1+2x)n的二项展开式中第三项的系数是112,所以22112,解得n8,所以行列式中元素1的代数余子式为(3118)5故答案为:510已知实数x、y满足线性约束条件,则目标函数z2x+5y的最大值是解:画出可行域,如图所示:当直线z2x+5y过点B时,z取得最大值,联立方程,解得,点B(,),zmax2+5故答案为:11某企业开展科技知识抢答抽奖活动,获奖号码从用0、1、2、3、9这十个数字组成没有重复数字的三位数中产生,并确定一等奖号码为:由三个奇数字组成的三位数,且该三位数是3的倍数若某位职工
12、在知识抢答过程中抢答成功,则该职工随机抽取一个号码能抽到一等奖号码的概率是.(结果用数值作答)解:获奖号码从用0、1、2、3、9这十个数字组成没有重复数字的三位数中产生,基本事件总数n998648,一等奖号码为:由三个奇数字组成的三位数,且该三位数是3的倍数,满足条件的三个奇数可能为(1,3,5),(1,5,9),(3,5,7),(5,7,9),一等奖号码包含的基本事件个数m24,某位职工在知识抢答过程中抢答成功,则该职工随机抽取一个号码能抽到一等奖号码的概率是P故答案为:12已知aR,函数f(x)的最小值为2a,则由满足条件的a的值组成的集合是解:若a0时,则f(x)x2ax+a+1的对称轴
13、为 x,当x0时,f(x)minf()+1,又当x0时,f(x)02a,+12a,a2+6a40,a3或a3(舍去),若a0时,则f(x),f(x)12a,a0,若a0时,则f(x)x2ax+a+1的对称轴为 x0,当x0时,f(x)x2ax+a+1单调递减,f(x)f(0)+1,当x0时,f(x),f(x)a+2,a+22a,a2,又+12a,0a,a2,综上所述:a3故答案为:3二、选择题(本大题满分20分)本大题共有4题,每题有且只有一个正确答案,考生应在答题卷的相应编号上,将代表答案的小方格涂黑,选对得5分,否则一律得零分13已知空间直线l和平面,则“直线l在平面外”是“直线l平面”的
14、()A充分非必要条件B必要非充分条件C充要条件D非充分非必要条件解:若直线l在平面外,则l或l与相交,故“直线l在平面外”推不出“直线l平面”,由“直线l平面”则推出“直线l在平面外”,故“直线l在平面外”是“直线l平面”的必要不充分条件,故选:B14某赛季甲乙两名篮球运动员在若干场比赛中的得分情况如下:甲:21、22、23、25、28、29、30、30;乙:14、16、23、26、28、30、33、38则下列描述合理的是()A甲队员每场比赛得分的平均值大B乙队员每场比赛得分的平均值大C甲队员比赛成绩比较稳定D乙队员比赛成绩比较稳定解:甲队员得分的平均值为(21+22+23+25+28+29+
15、30+30)26,乙队员得分的平均值为(14+16+23+26+28+30+33+38)26,故甲队员和乙队员每场比赛得分的平均值相等,故选项A,B错误;甲队员得分的方差为(2126)2+(2226)2+(2326)2+(2526)2+(2826)2+(2926)2+(3026)2+(3026)212,甲队员得分的方差为(1426)2+(1626)2+(2326)2+(2626)2+(2826)2+(3026)2+(3326)2+(3826)248.25,所以甲队员的成绩比较稳定,故选项C正确,选项D错误故选:C15已知点P(4,m)是直线l:(tR,t是参数)和圆C:(R,是参数)的公共点,
16、过点P作圆C的切线l1,则切线l1的方程是()A3x4y280B3x+4y280C3xy130Dx3y160解:直线l:(tR,t是参数)转换为直角坐标方程为x3y160由于点P(4,m)在直线上,故m3,所以P(4,4),设圆C的切线l1的方程为y+4k(x4),整理得kxy4k30由于直线与圆相切,故圆心(1,0)到直线kxy4k30的距离d,解得k所以切线的方程为3x4y280故选:A16已知x、y是正实数,ABC的三边长为CA3,CB4,AB5,点P是边AB(P与点A、B不重合)上任一点,且若不等式2x+3ymxy恒成立,则实数m的取值范围是()ABCDm3解:建立如图所示的直角坐标系
17、,因为,分别为,方向上的单位向量,则为(0,1),(1,0),则(0,x)+(y,0)(y,x),故P(y,x),因为AB所在的直线方程为,即x+3,(0x3,0y4),因为2x+3ymxy恒成立,所以m,令f(y),则,易得,当0y4时,函数单调递减,当4时,函数单调递增,故当y4时f(y)取得最小值,故m故选:A三、解答题(本大题满分76分)本大题共有5题,解答下列各题必须在答题卷的相应编号规定区域内写出必要的步骤17已知长方体ABCDA1B1C1D1中,棱ABBC2,AA13,点E是棱AD的中点(1)联结CE,求三棱锥D1EBC的体积V;(2)求直线CD1和平面D1EB所成角的大小(结果
18、用反三角函数值表示)解:(1)因为ABCDA1B1C1D1是长方体,且棱ABBC2,AA13,所以AA1平面ABCD,即三棱锥D1EBC的高等于AA1,所以,故;(2)以点D为坐标原点,建立空间直角坐标系如图所示,则E(1,0,0),C(0,2,0),B(2,2,0),D1(0,0,3),所以,设平面EBD1的法向量,则,即,令x6,得,故平面EBD1的一个法向量为,设直线CD1和平面EBD1所成的角为,则,所以直线CD1和平面EBD1所成角的大小为18已知ABC中,内角A、B、C所对边长分别为a、b、c,且b1,asinA3sinB(1)求正实数a的值;(2)若函数f(x)asin2x+co
19、s2x(xR),求函数f(x)的最小正周期、单调递增区间【解答】解 (1)在ABC中,b1,asinA3sinB,根据正弦定理,得(a0),(2)由(1)知,f(x)asin2x+cos2x2sin(2x+),函数f(x)的最小正周期为由(kZ),得函数f(x)的递增区间是(kZ)19某民营企业开发出了一种新产品,预计能获得50万元到1500万元的经济收益企业财务部门研究对开发该新产品的团队进行奖励,并讨论了一个奖励方案:奖金y(单位:万元)随经济收益x(单位:万元)的增加而增加,且y0,奖金金额不超过20万元(1)请你为该企业构建一个y关于x的函数模型,并说明你的函数模型符合企业奖励要求的理
20、由;(答案不唯一)(2)若该企业采用函数y作为奖励函数模型,试确定实数a的取值范围【解答】解 (1)答案不唯一 构造出一个函数,说明是单调增函数且函数的取值满足要求,如,就是符合企业奖励的一个函数模型,理由:根据一次函数的性质,易知,y随x增大而增大,即为增函数,当x50时,当x1500时,即奖金金额y0且不超过20万元,故该函数是符合企业奖励要求的一个函数模型(2)当50x500时,易知是增函数,且当x50时,;当x500时,即满足奖金y0且不超过20万的要求,故当50x500时,符合企业奖励要求,当500x1500时,函数是增函数,即对任意x1、x2(500,1500,且x1x2时,成立,
21、故当且仅当1a0,即a1时,此时函数在(500,1500上是增函数,由,得a9501,进一步可知,故成立,即当1a9501时,函数符合奖金y0且金额不超过20万的要求,依据函数模型是符合企业的奖励要求,即此函数为增函数,于是,有,解得a4001综上,所求实数a的取值范围是1a400120(16分)椭圆的右顶点为A(a,0),焦距为2c(c0),左、右焦点分别为F1、F2,P(x0,y0)为椭圆C上的任一点(1)试写出向量、的坐标(用含x0、y0、c的字母表示);(2)若的最大值为3,最小值为2,求实数a、b的值;(3)在满足(2)的条件下,若直线l:ykx+m与椭圆C交于M、N两点(M、N与椭
22、圆的左、右顶点不重合),且以线段MN为直径的圆经过点A,求证:直线l必经过定点,并求出定点的坐标解:(1)根据题意,可知F1(c,0)、F2(c,0),于是,(2)由(1)可知,P(x0,y0)在椭圆上,则依据椭圆的性质,可知ax0a当且仅当x0a时,当且仅当x00时,又a2b2c2,的最大值为3,最小值为2,解得即为所求(3)证明:由(2)知,椭圆 又l:ykx+m,联立方程组得(3+4k2)x2+8kmx+4m2120设M(x1,y1)、N(x2,y2)是直线l:ykx+m与椭圆C的两个交点,于是,有,以线段MN为直径的圆经过点A(2,0),即(x12,y1)(x22,y2)0,进一步得(
23、y1y2(kx1+m)(kx2+m),化简得7m2+16km+4k20解得(经检验,都满足0),当m2k时,直线l过点A(2,0)不满足M、N与椭圆的左右顶点不重合要求,故m2k舍去,即直线l必经过定点,且定点的坐标为21(18分)定义:符号maxx1,x2,x3表示实数x1、x2、x3中最大的一个数;minx1,x2,x3表示x1、x2、x3中最小的一个数如,max2,2,1.22,min2,22设K是一个给定的正整数(K3),数列an共有K项,记Aimina1,a2,ai1,ai,Bimaxai+1,ai+2,aK1,aK,diAiBi(i1,2,3,4,K1)由di的取值情况,我们可以得
24、出一些有趣的结论比如,若d20,则a2a3.理由:d20,则A2B2.又a2A2,B2a3,于是,有a2a3.试解答下列问题:(1)若数列an的通项公式为,求数列di(i1,2,3,K1)的通项公式;(2)若数列an(n1,2,K)满足a13,di1(i1,2,K1),求通项公式an;(3)试构造项数为K的数列an,满足anbn+cn,其中bn是等比数列,cn是公差不为零的等差数列,且数列di(i1,2,K1)是单调递减数列,并说明理由(答案不唯一)【解答】解 (1)数列an的通项公式为,根据指数函数的图像与性质,可知数列an是单调递减数列,即anan+1(n1,2,K1),(i1,2,K1)
25、为所求的通项公式(2)数列an(n1,2,K)满足a13,di1(i1,2,K1),依据题意,由d110,知a1a2;由d210,知a2a3;依此类推,有aK1aK,即a1a2aK1aK,于是,数列an(n1,2,K)是单调递减数列Aimina1,a2,ai1,aiai,Bimaxai+1,ai+2,aK1,aKai+1(i1,2,K1)di1,aiai+11,即ai+1ai1数列an是首项a13,公差为1的等差数列ana1+(n1)d4n(n1,2,K)(3)构造数列bn:,数列cn:cnbn(b0),n1,2,K,设anbn+cn,则数列an满足题设要求理由如下:构造数列bn:,数列cn:cnbn(b0),n1,2,K,易知,数列bn是等比数列,数列cn是等差数列由指数函数yax(xR,0a1)的性质,知anan+1,即数列bn是单调递减数列;由函数ykx(xR,k0)的性质,知数列cn是单调递减数列an+bnan+1+b(n+1),即anan+1(n1,2,3,K1)数列an是单调递减数列,即数列di(i1,2,K1)是单调递减数列数列an是满足条件的数列