1、数学科试题 2020年11月13日一、选择题1. 设集合，则下列结论成立的是（ ）A BCD【答案】D2下列图形中，能表示函数图象的是（ ）ABCD【答案】C3若幂函数的图像经过点，则（ ）A1B2C3D4【答案】B4若函数，则（ ）A-10B10C-2D2【答案】C5设，则（ ）ABCD【答案】B6在同一直角坐标系中，函数且的图象可能是（ ）ABCD【答案】D7用清水洗衣服，若每次能洗去污垢的，要使存留的污垢不超过，则至少要洗的次数是（参考数据：）（ ）A1B2C3D4【答案】D8函数的定义域是（ ）A（0,1BCD【答案】C9若与在区间上都是减函数，则的取值范围是（ ）ABCD【答案】C1
2、0设是奇函数，且在内是增函数，又，则的解集是（ ）A或B或C或D或【答案】D11函数f(x)x2bxc满足f(x1)f(1x)，且f(0)3，则f(bx)与f(cx)的大小关系是ABCD【答案】A12函数定义域为，若满足在内是单调函数；存在使在上的值域为，那么就称为“成功函数”，若函数是“成功函数”，则的取值范围为( )ABCD【答案】C【解析】【分析】由是“成功函数”，知在其定义域内为增函数，故，由此能求出的取值范围.【详解】是“成功函数”，在其定义域内为增函数，令，有两个不同的正数根，解得，故选C.二、填空题13已知集合，若，则满足条件的集合有_个.【答案】414.若函数满足，则的解析式是
3、 15已知且，函数有最小值，则关于的不等式的解集是_【答案】16已知函数，若存在，使得，则的取值范围为 .【答案】【解析】【分析】根据条件作出函数图象求解出的范围，利用和换元法将变形为二次函数的形式，从而求解出其取值范围.【详解】的图象如下图所示：由图可知：当时且，则令，所以，所以，又因为，所以，所以，令，所以，所以，所以.17化简计算：（1）（2）【答案】(1) 100 (2) 8【解析】(1) =100(2) 【点睛】本题考查了指数与对数运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题18已知集合（1）若，求；（2）若，求实数的取值范围.【答案】(1) (2) 或【解析】【分析】当时，再求.
4、(2)由，则分为和不为两种情况讨论可得答案.【详解】(1) 当时，,又.所以（2）当，即，则，此时满足.当，要满足，则 或解得或综上：或【点睛】本题考查集合求交集和根据子集关系求参数的范围，属于易错题，属于基础题.19已知幂函数为偶函数.（1）求的解析式；（2）若函数在区间上恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）根据为幂函数，即，便可得出的两个值，又因为为偶函数，把代入便可得出答案.（2）由（1）知为二次函数，讨论对称轴与区间的关系便可得出答案.【详解】（1）由为幂函数知，得或.当时，符合题意；当时，不合题意，舍去.所以；（2），令在上的最小值为.当，即时，所
5、以.又，所以不存在；当，即时，所以.又，所以；当，即时，所以.又，所以.综上可知，的取值范围为.【点睛】本题主要考查幂函数的定义以及二次函数最值问题，是一道中等难度题目.20已知函数.（）当时，求函数在上的值域；（）若函数在上单调递减，求实数的取值范围.【答案】（）（）【解析】【分析】（）把代入，可得，令，求出其在上的值域，利用对数函数的单调性即可求解.（）根据对数函数的单调性可得在上单调递增，再利用二次函数的图像与性质可得解不等式组即可求解.【详解】（）当时，此时函数的定义域为.因为函数的最小值为.最大值为，故函数在上的值域为；（）因为函数在上单调递减，故在上单调递增，则解得，综上所述，实数
6、的取值范围.21已知函数（1）判断并证明的奇偶性；（2）用单调性的定义证明函数在其定义域上是增函数；（3）若，求的取值范围【答案】（1）f（x）是奇函数，证明见解析（2）证明见解析（3）（，）【解析】【分析】（1）利用函数奇偶性的定义即可判断与证明；（2）按照单调性定义证明的步骤，取值作差变形定号下结论，即可证出；（3）利用函数的奇偶性和单调性，将抽象不等式可转化为，解出即可【详解】（1）因为定义域为，f（x）112112（1）f（x），所以f（x）是奇函数；（2）证明：设x2x1，则f（x2）f（x1）（1）（1）2，由题设可得：330，（1+3）0，（1+3）0，20，即f（x2）f（x1
7、）0，故f（x）在其定义域上是增函数；（3）不等式f（3m+1）+f（2m3）0，f（3m+1）f（2m3）f（32m），3m+132m，解得m，即不等式的解集为（，）22已知函数（1）当时，求该函数的值域；（2）求不等式的解集；（3）若对于恒成立，求的取值范围【答案】（1）（2）或（3）【分析】（1）利用换元法并结合二次函数的性质即可求出函数值域；（2）利用换元法并结合一元二次不等式的性质，即可求出不等式的解集；（3）将分离于不等式的一端，对另一端求它的最值，进而可以求出的取值范围【详解】（1）令，则，函数转化为，则二次函数，在上单调递减，在上单调递增，所以当时，取到最小值为，当时，取到最大值为5，故当时，函数的值域为.（2）由题得，令，则，即,解得或，当时，即，解得，当时，即，解得，故不等式的解集为或.（3）由于对于上恒成立，令，则即在上恒成立，所以在上恒成立，因为函数在上单调递增，也在上单调递增，所以函数在上单调递增，它的最大值为，故时，对于恒成立
