1、第二讲机械能守恒定律 功能关系考点一 单个物体的机械能守恒本考点是对单个物体的机械能守恒问题的考查，考查时常结合平抛运动、圆周运动、牛顿第二定律等知识进行简单交汇命题，难度一般，主要考查考生的理解和分析能力。建议考生适当关注即可先记牢 再用活 1对于单个物体，如果只有重力做功，那么物体的机械能守恒。如诊断卷第1题，如图所示，将一个内、外侧均光滑的半圆形槽置于光滑的水平面上，槽的左侧有一竖直墙壁。现让一小球自左端槽口 A 点的正上方由静止开始下落，从 A 点与半圆形槽相切进入槽内，则下列说法正确的是()A小球在半圆形槽内运动的全过程中，只有重力对它做功B小球从 A 点向半圆形槽的最低点运动的过程
2、中，小球处于失重状态C小球从 A 点经最低点向右侧最高点运动的过程中，小球与槽组成的系统机械能守恒D小球从下落到从右侧离开槽的过程中机械能守恒小球下落后到运动到半圆形槽的最低点的过程中，只有重力做功，机械能守恒，但小球在半圆形槽右半部分运动时，槽向右移，槽对小球的弹力对小球做负功，小球的机械能不守恒，不注意这一点，易错选 A、D 选项。2不具体分析物体的运动规律，凭感觉列方程求解。如诊断卷第2题，B 小球做斜抛运动，到达最高点时的速度不为零，因此不可列出12mv02mghB 求 B 球的最大高度，从而错选 A 选项。(2016福建梧桐中学期中)如图所示，质量、初速度大小都相同的 A、B、C 三
3、个小球，在同一水平面上，A 球竖直上抛，B 球以倾斜角 斜向上抛，空气阻力不计，C 球沿倾角为 的光滑斜面上滑，它们上升的最大高度分别为 hA、hB、hC，则()AhAhBhC BhAhBhCDhAhChB1(多选)(2016舟山模拟)如图所示，一个小环沿竖直放置的光滑圆环形轨道做圆周运动。小环从最高点A滑到最低点B的过程中，小环线速度大小的平方v2随下落高度h的变化图像可能是()解析：对小环由机械能守恒定律得mgh12mv212mv02，则v22ghv02，当v00时，B正确；当v00时，A正确。答案：AB 2(2016湖南省十三校联考)如图所示，P、Q是固 定在竖直平面内的一段内壁光滑弯管
4、的两端，P、Q间的水平距离为d。直径略小于弯管内径的小球以速度v0从P端水平射入弯管，从Q端射出，在穿过弯管的整个过程中小球与弯管无挤压。若小球从静止开始由P端滑入弯管，经时间t恰好以速度v0从Q端射出。重力加速度为g，不计空气阻力，那么()Av0dg解析：以初速度v0水平入射时，因小球与管壁无挤压，故水平方向应是匀速运动，竖直方向是自由落体运动，所以此时小球运动时间为：t0 dv0，下落高度为：h12gt02，小球由静止开始运动时根据机械能守恒定律得：mgh12mv02，则v02gh2g12g d2v02，解得v0gd，故A、B错误。以初速度v0水平入射时，t0 dv0 dg，当小球由静止释
5、放时，水平方向平均速度一定小于v0，所以tt0，故C错误，D正确。答案：D 3(2016上海金山区期末)特战队员在进行素质训练时，抓住一端固定在同一水平高度的不同位置的绳索，从高度一定的平台由水平状态无初速度开始下摆，如图所示，在绳索到达竖直状态时放开绳索，特战队员水平抛出直到落地。不计绳索质量和空气阻力，特战队员可看成质点，绳索一直处于伸直状态。下列说法正确的是()A绳索越长，特战队员落地时的速度越大B绳索越长，特战队员落地时的水平位移越大C绳索越长，特战队员落地时的水平方向速度越大D绳索越长，特战队员落地时的竖直方向速度越大解析：设平台高为H，特战队员落地时的速率为v，特战队员从开始下摆到
6、落地，绳索的拉力不做功，根据机械能守恒定律有mgH 12 mv2，得v2gH，v与绳索长度无关，特战队员落地时的速度一样大，选项A错误；设绳索的长度为L，放开绳索时，特战队员的速率为v1，根据机械能守恒定律有mgL 12 mv12，得v12gL，特战队员放开绳索后做平抛运动，则总的水平位移大小xLv1t，HL 12 gt2，得xL2 LHL，显然xf(L)不是单调增函数，选项B错误；特战队员落地时水平方向速度为v12gL，故选项C正确；特战队员落地时的竖直方向速度为vyv2v122gHL，故选项D错误。答案：C 考点二 多个物体的机械能守恒本考点常考多个物体包括弹簧机械能守恒的判断和相关计算，
7、多以选择题的形式命题。解答此类问题的关键是掌握多个物体组成的系统机械能守恒的条件，确定物体间的速度关系和位移关系。需要考生学会迁移应用先记牢 1判断机械能守恒的两个角度(1)若只有物体重力和弹簧弹力做功，则物体和组成的系统机械能守恒。(2)若系统只有动能和的相互转化，没有机械能与其他形式的能(如摩擦热)的相互转化，则系统机械能守恒。弹簧势能2系统机械能守恒的三种表达式再用活 1物体与弹簧组成的系统机械能守恒时，物体的动能、重力势能和弹簧弹性势能之和保持不变。如诊断卷第5题中的B选项，小球下落到弹簧后，弹簧弹性势能增加，小球的机械能一定减少。(多选)(2016惠州模拟)如图 1，小球从高处下落到
8、竖直放置的轻弹簧上，刚接触轻弹簧的瞬间速度是 5 m/s，接触弹簧后小球速度 v 和弹簧缩短的长度 x 之间关系如图 2 所示，其中 A 为曲线的最高点。已知该小球重为 2 N，弹簧在受到撞击至压缩到最短的过程中，下列说法正确的是()A小球的动能先变大后变小B小球的机械能先增大后减小C小球速度最大时受到的弹力为 2 ND小球受到的最大弹力为 12.2 N2系统内物体的运动位移及高度变化往往不同，同时又存在一定的数量关系。如诊断卷第6题中，(2016烟台模拟)如图所示，可视为质点的小球A 和 B 用一根长为 0.2 m 的轻杆相连，两球质量相等，开始时两小球置于光滑的水平面上，并给两小球一个 2
9、 m/s 的初速度，经一段时间两小球滑上一个倾角为 30的光滑斜面，不计球与斜面碰撞时的机械能损失，g取 10 m/s2，在两小球的速度减小为零的过程中，下列判断正确的是()A杆对小球 A 做负功B小球 A 的机械能守恒C杆对小球 B 做正功D小球 B 速度为零时距水平面的高度为 0.15 mB上升的高度为h，而A上升的高度为hLsin；诊断卷第7题中，m2上升的高度为R，而m1下降的高度为R(1cos 60)。(多选)如图所示，圆心在 O 点、半径为 R 的光滑圆弧轨道 ABC 竖直固定在水平桌面上，OC与 OA 的夹角为 60，轨道最低点 A 与桌面相切。一足够长的轻绳两端分别系着质量为
10、m1 和 m2的两个小球(均可视为质点)，挂在圆弧轨道光滑边缘 C 的两边，开始时 m1 位于 C 点，然后从静止释放，则()A在 m1 由 C 点下滑到 A 点的过程中两球速度大小始终相等B在 m1 由 C 点下滑到 A 点的过程中重力对 m1 做功的功率先增大后减小C若 m1 恰好能沿圆弧下滑到 A 点，则 m12m2D若 m1 恰好能沿圆弧下滑到 A 点，则 m13m23系统内物体的速度大小不一定相同，往往存在一定的数量关系。如诊断卷第7题中，(多选)如图所示，圆心在 O 点、半径为 R 的光滑圆弧轨道 ABC 竖直固定在水平桌面上，OC 与 OA 的夹角为 60，轨道最低点 A 与桌面
11、相切。一足够长的轻绳两端分别系着质量为 m1和 m2的两个小球(均可视为质点)，挂在圆弧轨道光滑边缘 C 的两边，开始时 m1 位于 C 点，然后从静止释放，则()A在 m1 由 C 点下滑到 A 点的过程中两球速度大小始终相等B在 m1 由 C 点下滑到 A 点的过程中重力对 m1 做功的功率先增大后减小C若 m1 恰好能沿圆弧下滑到 A 点，则 m12m2D若 m1 恰好能沿圆弧下滑到 A 点，则 m13m2球 m2 的速度大小等于球 m1 的速度沿绳方向的分速度大小，故选项 A 错误。1(2016沈阳高三联考)将一质量为m的小球套在一光滑的、与水平面夹角为(45)的固定杆上，小球与一原长
12、为L的轻质弹性绳相连接，弹性绳的一端固定在水平面上，将小球从离地面L高处由静止释放，刚释放时，弹性绳长为L，如图所示。小球滑到底端时速度恰好为零，则小球运动过程中，下列说法中正确的是()A小球的机械能守恒B弹性绳的弹性势能将一直增大C小球到达底端时，弹性绳的弹性势能为mgL(cot 1)D小球和弹性绳组成的系统机械能守恒解析：在小球下滑过程中，小球和弹性绳的机械能守恒，则A错误，D正确；弹性绳的弹性势能先不变后增大，选项B错误；由机械能守恒定律知，弹性绳的弹性势能增加了mgL，选项C错误。答案：D 2(多选)(2016石家庄质检)如图所示，物体A、B通过细绳及轻质弹簧连接在轻滑轮两侧，物体B的
13、质量为2m，放置在倾角为30的光滑斜面上，物体A的质量为m，用手托着物体A使弹簧处于原长，细绳伸直，A与地面的距离为h，物体B静止在斜面上挡板P处。放手后物体A下落，与地面即将接触时速度大小为v，此时物体B对挡板恰好无压力，则下列说法正确的是()A弹簧的劲度系数为mghB此时弹簧的弹性势能等于mgh12mv2C此时物体A的加速度大小为g，方向竖直向上D此后物体B可能离开挡板沿斜面向上运动解析：物体A刚落地时，弹簧伸长量为h，物体B受力平衡，所以kh2mgsin，所以kmgh，选项A对；物体A落地前，系统机械能守恒，所以弹性势能等于mgh12mv2，选项B对；物体A刚落地时，对A应用牛顿第二定律
14、得：mgkhma，所以a0，选项C错；物体A落地后，弹簧不再伸长，故物体B不可能离开挡板沿斜面向上运动，选项D错。答案：AB 3(多选)(2016包头高三期中)如图所示，轻杆长为3L，在杆的A、B两端分别固定质量均为m的球A和球B，杆上距球A长度为L处的点O装有光滑的水平转动轴，外界给予系统一定的能量后，杆和球在竖直面内转动。在转动的过程中，忽略空气的阻力。若球B运动到最高点时，球B对杆恰好无作用力，则下列说法正确的是()A球B在最低点时速度为26gL5B球B在最低点时速度为 10gLC球B在最高点时，杆对水平轴的作用力为1.5mgD球B在最高点时，杆对水平轴的作用力为1.25mg解析：球B运
15、动到最高点时，球B对杆恰好无作用力，即重力恰好提供向心力，有：mgmv22L解得：v 2gL由于A、B两球的角速度相等，而线速度之比等于半径之比，故此时A的线速度为：vAv2 2gL2；B转到最低点时，由机械能守恒定律有：mg3L12mvB212mvA2mgLmg4L12mv212mvA2vAvB2，解得：vB26gL5；故A正确，B错误；B球到最高点时，对杆无弹力，此时A球受重力和拉力的合力提供向心力，有：Fmgmv2L2L解得：F1.5mg；故杆对支点的作用力为1.5mg。故C正确；D错误。答案：AC 考点三 功能关系的应用应用类题目最大的特色是用新颖材料考查已学知识，最常见的失误原因是不
16、能透过表象提炼出问题的实质，合理应用规律解题。功能关系类题目更是如此，不能寄希望于押题训练，而是要善于总结规律，把握共性，以不变应万变一、必须理清的三种功能关系 1物体的动能增加量等于合外力做的总功，而动能的减少量等于其他形式的能量的增加。如诊断卷第9题，(多选)(2016佛山模拟)如图所示，质量为 m 的物体(可视为质点)以某一速度从 A 点冲上倾角为30的固定斜面，其减速的加速度为34g，此物体在斜面上能够上升的最大高度为 h，则在这个过程中物体()A重力势能增加了 mgh B机械能损失了mgh2C动能损失了 mghD克服摩擦力做功mgh4物体动能的减少量等于重力势能的增加量 mgh 与摩
17、擦热12mgh 之和。2物体机械能的增加量等于除重力以外的力对物体所做的功；反之，物体机械能的减少量等于物体克服除重力以外的力所做的功。如诊断卷第9题中，(多选)(2016佛山模拟)如图所示，质量为 m的物体(可视为质点)以某一速度从 A 点冲上倾角为 30的固定斜面，其减速的加速度为34g，此物体在斜面上能够上升的最大高度为 h，则在这个过程中物体()A重力势能增加了 mgh B机械能损失了mgh2C动能损失了 mghD克服摩擦力做功mgh4物体机械能的减少量等于物体克服摩擦力所做的功12mgh；诊断卷第10题中，(2016淮安模拟)“弹弓”一直是孩子们最喜爱的弹射类玩具之一，其构造如图所示
18、，橡皮筋两端点 A、B 固定在把手上，橡皮筋 ACB 恰好处于原长状态，在 C 处(AB 连线的中垂线上)放一固体弹丸，一手执把，另一手将弹丸拉至 D 点放手，弹丸就会在橡皮筋的作用下迅速发射出去，打击目标，现将弹丸竖直向上发射，已知 E 是 CD中点，则()A从 D 到 C，弹丸的机械能守恒B从 D 到 C，弹丸的动能一直在增大C从 D 到 C，弹丸的机械能先增大后减小D从 D 到 E 弹丸增加的机械能大于从 E 到 C 弹丸增加的机械能由 DE 过程橡皮筋做的功比由 EC 过程橡皮筋做的功多，因此由 DE 弹丸机械能的增加量大于由 EC弹丸机械能的增加量，D 项正确。3两物体相对滑动时，因
19、摩擦而产生的热量为QFfL相对，L相对为相对滑动的位移而不是物体对地的位移。如诊断卷第11题中，(多选)(2016黄山模拟)如图所示，质量为 M、长为 L 的木板置于光滑的水平面上，一质量为 m的滑块放置在木板左端，滑块与木板间滑动摩擦力大小为 Ff，用水平的恒定拉力 F 作用于滑块。当滑块运动到木板右端时，木板在地面上移动的距离为 s，滑块速度为 v1，木板速度为 v2，下列结论中正确的是()A上述过程中，F 做功大小为12mv1212Mv22B其他条件不变的情况下，M 越大，s 越小C其他条件不变的情况下，F 越大，滑块到达右端所用时间越长D其他条件不变的情况下，Ff 越大，滑块与木板间产
20、生的热量越多系统产生的热量QFfL，Ff越大，Q越大，D正确；诊断卷第12题中，如图所示，在光滑水平地面上放置质量 M2 kg的长木板，木板上表面与固定的竖直弧形轨道相切。一质量 m1 kg 的小滑块自 A 点沿弧面由静止滑下，A 点距离长木板上表面的高度 h0.6 m。滑块在木板上滑行 t1 s 后，和木板以共同速度 v1 m/s匀速运动，取 g10 m/s2。求：(1)滑块与木板间的摩擦力；(2)滑块沿弧面下滑过程中克服摩擦力做的功；(3)滑块自 A 点沿弧面由静止滑下到与木板共同运动，产生的内能是多少？产生的总内能包括小滑块下滑过程中克服摩擦力所做的功与滑块和木板相对滑动过程产生的热量之
21、和，而滑块和木板相对滑动过程产生的热量为 FfL 相对，其中 L 相对为滑块位移与木板位移之差。二、必须掌握的两类滑块滑板模型 1滑块滑板模型的定义及拓展长木板与小滑块构成的系统，依靠两者间的滑动摩擦力或静摩擦力的相互作用，而呈现出的问题，称为滑块滑板模型(如图甲)。另外，常见的子弹射击木块(如图乙)、圆环套在直杆上滑动(如图丙)都属于滑块类问题，处理方法与滑块滑板模型类似。2滑块滑板模型的三大分析方法(1)动力学分析分别对滑块和滑板进行受力分析，根据牛顿第二定律求出各自的加速度。(2)功和能分析对滑块和滑板分别运用动能定理，或者对系统运用能量守恒定律。如图所示，要注意区分三个位移：求摩擦力对
22、滑块做功时必须用滑块对地的位移s块；求摩擦力对滑板做功必须用滑板对地的位移s板；求摩擦生热时必须用相对滑动的总路程s相对。(3)相对运动分析法滑块和滑板分别做匀变速直线运动，从相对运动的角度出发，得出相对初速度、相对加速度、相对末速度和相对位移关系 s相对v相对初v相对末2tv相对末2v相对初22a相对，用相对运动分析法来处理问题往往可简化数学运算过程。3滑块滑板模型的两大临界条件(1)相对滑动的临界条件运动学条件：两者速度或加速度不相等。动力学条件：两者间的静摩擦力达到最大静摩擦力。(2)滑块滑离滑板的临界条件滑块恰好滑到滑板的边缘时速度相同。4两类滑块滑板模型问题类型一 光滑水平面上的滑块
23、滑板模型例1 如图所示，一质量为M、长为L的长方形木板B放在光滑的水平地面上，在其右端放一质量为m的小木块A，mM。现以地面为参考系，给A和B以大小相等、方向相反的初速度(如图)，使A开始向左运动，B开始向右运动，但最后A刚好没有滑离B板，以地面为参考系。(1)若已知A和B的初速度大小为v0，求它们最后的速度大小和方向。(2)若初速度的大小未知，求小木块A向左运动到达的最远处(从地面上看)离出发点的距离。思路点拨解析 设它们最后的速度为v，经过时间为t，A、B间的滑动摩擦力为f。对A据牛顿第二定律和运动学公式有：fmaA，L2v0t12aAt2，vv0aAt；对B据牛顿第二定律和运动学公式有：
24、fMaB，L0v0t12aBt2，vv0aBt；由几何关系有：L0L2L；由以上各式可求得它们最后的速度大小为vMmMmv0，方向向右。fL2mMv02Mm。(2)对A，向左运动的最大距离为L1v022aAmM4M L。答案(1)MmMm v0 方向向右(2)mM4M L类型二 粗糙水平面上的滑块滑板模型例2 如图所示，一长木板B放在水平地面上，质量为M1 kg，长度为3.2 m，其与地面的动摩擦因数10.1；一质量为m2 kg的小铁块A放在B的左端，A、B之间的摩擦因数为20.3。刚开始A、B均处于静止状态，现使A获得6 m/s向右的初速度。(g10 m/s2)求：(1)A、B刚开始运动的加
25、速度；(2)A在B上滑动，经过多长时间达到共同速度？A最后停在B上何处？(3)B板运动的距离多大？解析(1)A向右做匀减速运动，加速度a1 2mgm3 m/s2，方向向左B向右做匀加速运动，加速度a22mg1MmgM3 m/s2，方向向右。(2)设经过时间t达到共同速度，则满足6a1ta2t t1 s共同速度va2t3 m/sA的位移x1v0v2t4.5 mB的位移x2v2t1.5 mA在B上滑过的距离xx1x23 m所以A停在距离B右端0.2 m处。(3)达到共同速度之后，A、B一起匀减速，加速度a31g1 m/s2到停下来位移x3 v22a34.5 m所以B板位移xx2x36 m。答案(1
26、)A的加速度大小为3 m/s2，方向向左，B的加速度大小为3 m/s2，方向向右(2)1 s 距B右端0.2 m处(3)6 m1(2016四川高考)韩晓鹏是我国首位在冬奥会雪上项目夺冠的运动员。他在一次自由式滑雪空中技巧比赛中沿“助滑区”保持同一姿态下滑了一段距离，重力对他做功1 900 J，他克服阻力做功100 J。韩晓鹏在此过程中()A动能增加了1 900 J B动能增加了2 000 JC重力势能减小了1 900 J D重力势能减小了2 000 J一、练高考典题每练一次都有新发现解析：根据动能定理得韩晓鹏动能的变化EWGWf1 900 J100 J1 800 J0，故其动能增加了1 800
27、 J，选项A、B错误；根据重力做功与重力势能变化的关系WGEp，所以EpWG1 900 J0，故韩晓鹏的重力势能减小了1 900 J，选项C正确，选项D错误。答案：C 2(2014全国卷)取水平地面为重力势能零点。一物块从某一高度水平抛出，在抛出点其动能与重力势能恰好相等。不计空气阻力。该物块落地时的速度方向与水平方向的夹角为()A.6 B.4C.3D.512解析：设物块水平抛出的初速度为v0，高度为h，由机械能守恒定律得 12 mv02mgh，即v02gh。物块在竖直方向上的运动是自由落体运动，故落地时的竖直分速度vy 2ghvxv0，则该物块落地时的速度方向与水平方向的夹角4，故选项B正确
28、，选项A、C、D错误。答案：B 3(多选)(2015全国卷)如图，滑块a、b的质量均为m，a套在固定竖直杆上，与光滑水平地面相距h，b放在地面上。a、b通过铰链用刚性轻杆连接，由静止开始运动。不计摩擦，a、b可视为质点，重力加速度大小为g。则()Aa落地前，轻杆对b一直做正功Ba落地时速度大小为 2ghCa下落过程中，其加速度大小始终不大于gDa落地前，当a的机械能最小时，b对地面的压力大小为mg解析：由题意知，系统机械能守恒。设某时刻a、b的速度分别为va、vb。此时刚性轻杆与竖直杆的夹角为，分别将va、vb分解，如图所示。因为刚性杆不可伸长，所以沿杆的分速度v与v是相等的，即vacos v
29、bsin。当a滑至地面时90，此时vb0，由系统机械能守恒得mgh 12 mva2，解得va2gh，选项B正确。同时由于b初、末速度均为零，运动过程中其动能先增大后减小，即杆对b先做正功后做负功，选项A错误。杆对b的作用先是推力后是拉力，对a则先是阻力后是动力，即a的加答案：BD 速度在受到杆的向下的拉力作用时大于g，选项C错误。b的动能最大时，杆对a、b的作用力为零，此时a的机械能最小，b只受重力和支持力，所以b对地面的压力大小为mg，选项D正确。4(多选)(2013山东高考)如图所示，楔形木块abc固定在水平面上，粗糙斜面ab和光滑斜面bc与水平面的夹角相同，顶角b处安装一定滑轮。质量分别
30、为M、m(Mm)的滑块，通过不可伸长的轻绳跨过定滑轮连接，轻绳与斜面平行。两滑块由静止释放后，沿斜面做匀加速运动。若不计滑轮的质量和摩擦，在两滑块沿斜面运动的过程中()A两滑块组成系统的机械能守恒B重力对M做的功等于M动能的增加C轻绳对m做的功等于m机械能的增加D两滑块组成系统的机械能损失等于M克服摩擦力做的功解析：本题考查多物体组成系统的功能关系及机械能守恒问题，意在考查考生分析综合能力。由于M与ab面之间存在滑动摩擦力，故两滑块组成系统的机械能不守恒，A项错；合外力对M做的功等于M动能的增加，B项错；除了m的重力对其做功外，只有轻绳对其做功，故轻绳对m做的功等于m机械能的增加，C项正确；对
31、于两滑块组成的系统，其在运动过程中克服摩擦阻力做功，系统的机械能转化为内能，故该系统机械能的损失等于M克服摩擦力做的功，D项正确。答案：CD 5(多选)(2016全国甲卷)如图，小球套在光滑的竖直杆上，轻弹簧一端固定于O点，另一端与小球相连。现将小球从M点由静止释放，它在下降的过程中经过了N点。已知在M、N两点处，弹簧对小球的弹力大小相等，且ONMOMN2(mM)g故P、Q相对滑动，且Q减速、P加速。设加速度大小分别为a2和a3，Q从B滑到AB上到P、Q共速所用的时间为t0，对Q有：1mgma2对P有：1mg2(mM)gMa3共速时v1a2t0a3t0分别求解得a21.5 m/s2，a30.1 m/s2，t06 s，故在t8 s时，P、Q的速度大小恰相同，vPvQa3t00.16 m/s0.6 m/s。(3)02 s内，据图像“面积”的含义，Q在BC上发生的位移x11229.6 m9.6 m28 s内，Q发生的位移x212(v1vQ)t030.6 m，P发生的位移x312vPt01.8 m08 s内，Q与木板P之间因摩擦而产生的热量Q1mgx1cos 371mg(x2x3)代入数据解得Q54.72 J。答案：(1)0.03(2)0.6 m/s(3)54.72 J
