1、第2课时 最值、范围、证明问题授课提示：对应学生用书第371页A组基础保分练1（2021河北武邑中学模拟）抛物线y24x的焦点为F，过点F的直线交抛物线于A，B两点（1）O为坐标原点，求证：3；（2）设点M在线段AB上运动，原点O关于点M的对称点为C，求四边形OACB面积的最小值解析：（1）证明：依题意得F（1，0），且直线AB的斜率不为0，设直线AB的方程为xmy1联立消去x得y24my40设A（x1，y1），B（x2，y2），则y1y24m，y1y24x1x2（my11）（my21）m2y1y2m（y1y2）11，故x1x2y1y23（2）由点C与原点O关于点M对称，得M是线段OC的中点，
2、从而点O与点C到直线AB的距离相等，所以四边形OACB的面积等于2SAOB由（1）知2SAOB2|OF|y1y2|4，所以当m0时，四边形OACB的面积最小，最小值是42（2021张家口联考）过椭圆C：1（0b3）的上顶点A作相互垂直的两条直线，分别交椭圆于不同的两点M，N（点M，N与点A不重合）（1）设椭圆的下顶点为B（0，b），当直线AM的斜率为时，若SANB2SAMB，求b的值；（2）若存在点M，N，使得|AM|AN|，且直线AM，AN的斜率的绝对值都不为1，求实数b的取值范围解析：设M（x1，y1），N（x2，y2）设直线AM的斜率为k，则由条件可知，直线AM的方程为ykxb，于是消去
3、y整理得（9k2b2）x218kbx0，x1，同理，x2（1）由SANB2SAMB，得x22x1，于是2，即2b2k218b29k2，其中k，代入得b（2）|AM|x1|，|AN| |x2| 由|AM|AN|，得 ，不妨设k0，且k1，则有b29k2b2k39k，整理得（k1）b2k2（b29）kb20则b2k2（b29）kb20有不为1的正根只需解得0b实数b的取值范围是（0，）B组能力提升练1（2021成都高三一诊）已知椭圆1的右焦点为F，设直线l：x5与x轴的交点为E，过点F且斜率为k的直线l1与椭圆交于A，B两点，M为线段EF的中点（1）若直线l1的倾斜角为，求ABM的面积S的值；（2
4、）过点B作直线BNl于点N，证明：A，M，N三点共线解析：（1）由题意，知F（1，0），E（5，0），M（3，0）设A（x1，y1），B（x2，y2）直线l1的倾斜角为，k1直线l1的方程为yx1，即xy1代入椭圆方程，可得9y28y160y1y2，y1y2SABM|FM|y1y2| （2）证明：设直线l1的方程为yk（x1）代入椭圆方程，得（45k2）x210k2x5k2200，即x1x2，x1x2直线BNl于点N，N（5，y2）kAM，kMN而y2（3x1）2（y1）k（x21）（3x1）2k（x11）kx1x23（x1x2）5k0，kAMkMN，故A，M，N三点共线2已知椭圆M：1（a0
5、）的一个焦点为F（1，0），左、右顶点分别为A，B，经过点F的直线l与椭圆M交于C，D两点（1）当直线l的倾斜角为45时，求线段CD的长；（2）记ABD与ABC的面积分别为S1和S2，求|S1S2|的最大值解析：（1）由题意，c1，b23，所以a24，所以椭圆M的方程为1，易求直线方程为yx1，联立方程，得消去y，得7x28x80，2880，设C（x1，y1），D（x2，y2），x1x2，x1x2，所以|CD|x1x2| （2）当直线l的斜率不存在时，直线方程为x1，此时ABD与ABC面积相等，|S1S2|0；当直线l的斜率存在时，设直线方程为yk（x1）（k0），联立方程，得消去y，得（34
6、k2）x28k2x4k2120，0，且x1x2，x1x2，此时|S1S2|2|y2|y1|2|y2y1|2|k（x21）k（x11）|2|k（x1x2）2k|，因为k0，上式，所以|S1S2|的最大值为C组创新应用练（2021石家庄摸底）圆O的方程为x2y29，P为圆上任意一点，过P作x轴的垂线，垂足为D，点Q在PD上，且（1）求点Q的轨迹C的方程；（2）过点F（，0）的直线与曲线C交于A，B两点，点M的坐标为（3，0），MAB的面积为S，求S的最大值，及S取得最大值时直线AB的方程解析：（1）设P（x0，y0），则D（x0，0），设Q（x，y），则（0，y0），（xx0，y），因为，所以把P（x0，y0）代入圆的方程得x2y29，所以点Q的轨迹C的方程为1（2）由题意易知直线AB的斜率不为0，设直线AB的方程为xty，A（x1，y1），B（x2，y2），由得（4t29）y28ty160，所以y1y2，y1y2S（3）|y1y2|12（3）12（3），当且仅当t时取等号，所以MAB的面积S的最大值为，当S取得最大值时，直线AB的方程为y2x2或y2x2
