1、长沙市一中、雅礼中学高三联考试卷理科数学一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分；在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1设U为全集，M、P是U的两个非空子集，且等于（ ）AMBPCD2A =“xA”是“xB”的（ ）A充分非必要条件 B必要非充分条件C充分必要条件 D既非充分也非必要条件3如图是将二进制数11111（2）化为十进制数的一个程序框图，判断框内应填入的条件是（ ） Ai5Bi4Ci5Di4 甲 乙408441258542365956621323495414如图表示甲、乙两名篮球运动员每场比赛得分情况的茎叶图，则甲和乙得分的中位数的和是（ ） A56分B57分
2、C58分D59分 5如左图，在平面内两两等距离的一簇平行直线，任意相邻两平行直线间的距离为d (d0)，向平面内任意抛掷一枚长为l (ld)的小针，已知小针与平行线相交的概率P等于右图中阴影部分面积与矩形的面积之比，则P的值为（ ）ABCD6若函数的值域为1，9，则a2 + b2 2a的取值范围是（ ）A8，12BC4，12 D2，27已知m，n，s，tR+，m + n = 2，其中m、n是常数，当s + t取最小值时，m、n对应的点(m，n)是双曲线一条弦的中点，则此弦所在的直线方程为（ ） ABCD 8在ABC中，若I是ABC的内心，AI的延长线交BC于D，则AB : AC = BD :
3、DC，称为三角形的角平分线定理，已知AC = 2，BC = 3，AB = 4且，利用三角形的角平分线定理可求得x + y的值为（ ） ABCD二、填空题（本大题共7小题；每小题5分，共35分，将每小题的答案填在题中的横线上）9直线l过点及圆的圆心，则直线l的倾斜角大小为 10若i，且则a2等于 11下图是一个物体的三视图，已知俯视图中的圆与三角形内切，根据图中尺寸（单位：cm），可求得a的值为 cm，该物体的体积为 cm312如图，AC为O的直径，BDAC于P，PC = 2，PA = 8，则CD的长为 ，cosACB = （用数字表示）13已知点A (1，0)，P是曲线上任一点，设P到直线l：
4、的距离为d，则|PA| + d的最小值是 14已知函数的定义域为，为奇函数，当时，则当时，的递减区间是 15下面的数组均由三个数组成，它们是：(1，2，3)，(2，4，6)，(3，8，11)，(4，16，20)，(5，32，37)，(an，bn，cn) （1）请写出cn的一个表达式，cn = ；（2）若数列cn的前n项和为Mn，则M10 = （用数字作答） 三、解答题（本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）16（本小题满分12分）在ABC中，角A、B、C的对边分别为a，b，c，已知向量 （1）求角B的大小； （2）若b =，求ABC面积的最大值17（本小题满分12分
5、）如图，边长为2的等边PCD所在的平面垂直于矩形ABCD所在的平面，BC =，M为BC的中点 （1）证明AMPM；并求二面角PAMD的大小； （2）求点D到平面AMP的距离 18（本小题满分12分）一只口袋中装有标号为1、2、3、4的大小与重量相同的4个小球，从该口袋中每次取出1球，记下标号后再放回口袋，连续取三次 （1）求三次取出的小球的标号之和为5的概率； （2）设三次取出的小球的标号中最大的数字为X，求随机变量X的布分列和数学期望 19（本小题满分13分）某市电信宽带网用户收费标准如下表：（假定每月初均可以和电信部门约定上网方案）方案类别基本费用超时费用甲包月制70元乙有限包月制（限60
6、小时）50元来源:学|科|网0.05元/分钟（无上限）丙有限包月制（限30小时）30元0.05元/分钟（无上限）（1）若某用户某月上网时间为T小时，当T在什么范围内时，选择甲方案最合算？请说明理由 （2）王先生因工作需要需在家上网，他一年内每月的上网时间T（小时）与月份n的函数关系为T = f (n) =若公司能报销王先生全年的上网费用，问公司最少为此花费多少元？20（本小题满分13分）如图，设椭圆的左、右焦点分别为F1、F2，上顶点为A，过点A且与AF1垂直的直线分别交椭圆和x轴正半轴于P、Q两点，满足 （1）求椭圆的离心率； （2）若过A、Q、F1三点的圆恰好与直线l：相切，求椭圆方程（3
7、）在（2）的条件下，过F2的直线l与椭圆相交于异于椭圆左、右顶点的M，N两点，B为椭圆的左顶点，求的取值范围21（本小题满分13分）已知函数f (x) = ln (2 + 3x) （1）求f (x)在0，1上的最大值；（2）若对恒成立，求实数a的取值范围；（3）若关于x的方程f (x) = 2x + b在0，1上恰有两个不同的实根，求实数b的取值范围长沙市一中、雅礼中学高三联考试卷理科数学答案一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分；在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1设U为全集，M、P是U的两个非空子集，且等于（ ）AMBPCD【解析】D 由故选D2A =“xA”是
8、“xB”的（ ）A充分非必要条件B必要非充分条件C充分必要条件D既非充分也非必要条件【解析】B 由已知得若“xB”则必有“xA”，反之不成立，即得“xA”是“xB”的必要不充分条件，故选B3如图是将二进制数11111（2）化为十进制数的一个程序框图，判断框内应填入的条件是（ ） Ai5Bi4Ci5Di4来源:学*科*网Z*X*X*K 【解析】D；(11111)(2) = 1 + 2 + 22 + 23 + 24，（*） 在程序框图中，当i = 1时，S = 1 + 21 = 1 + 2，当i = 2时，S = 1 + 2 (1 + 2) = 1 + 2 + 22，由(*)式知i = 4时已完成
9、计算，应填入条件i4故选D 甲 乙408441258542365956621323495414如图表示甲、乙两名篮球运动员每场比赛得分情况的茎叶图，则甲和乙得分的中位数的和是（ ） A56分B57分C58分D59分 【解析】B 由图可知甲的中位数为32，乙的中位数为25，故和为57故选B5如图，在平面内两两等距离的一簇平行直线，任意相邻两平行直线间的距离为d (d0)，向平面内任意抛掷一枚长为l (ld)的小针，已知小针与平行线相交的概率P等于阴影面积与矩形的面积之比，则P的值为（ ）ABCD【解析】A 先求阴影部分的面积， 故选A6若的值域为1，9，则a2 + b2 2a的取值范围是（ ）A
10、8，12BC4，12 D2，2【解析】C 由于的值域是1，9，由指数函数的单调性所以0|x|2，若a = 2，则b0，2从而a2 + b2 2a8，12，若b = 2，则a2，0从而a2 + b2 2a4，12因此a2 + b2 2a4，12故选C7已知m，n，s，tR+，m + n = 2，其中m、n是常数，当s + t取最小值时，m、n对应点(m，n)是双曲线一弦的中点，则此弦所在的直线方程为（ ） ABCD 【解析】A 由已知得由于s + t的最小值是因此，又m + n = 2，所以m = n = 1设以点(m，n)为中点的弦的两个端点的坐标分别是，则有又该两点在双曲线上，则有两式相减得
11、，把代入得，即所求直线的斜率是，所求直线的方程是故选A8在ABC中，若I是ABC的内心，AI的延长线交BC于D，则AB : AC = BD : DC，称为三角形的角平分线定理，已知AC = 2，BC = 3，AB = 4且，利用三角形的角平分线定理可求得x + y的值为（ ） ABCD 【解析】C 在ABC中，I为内心，联结AI并延长交BC于点D则 又BC = 3，则BD = 2，DC = 1在ABC中，故选C二、填空题（本大题共7小题；每小题5分，共35分，将每小题的答案填在题中的横线上）9直线l过点及圆的圆心，则直线l的倾斜角大小为 【解析】120 依题意得，圆的圆心为(0，1)，过点的直
12、线的斜率直线l的倾斜角大小为12010若i，且则a2等于 【解析】i 依题意4 r = 2，即r = 2，11下图是一个物体的三视图，根据图中尺寸（单位：cm），可求得实数a的值为 ，该物体的体积为 cm3a 【解析】 该物体为正三棱柱与球的组合体，可知12如图，AC为O的直径，BDAC于P，PC = 2，PA = 8，则CD的长为 ，cosACB = （用数字表示）来源:Z_xx_k.Com【解析】 由射影定理得CD2 = CPCA = 210，CD =2cosACB = sinD = 13已知点A (1，0)，P是曲线上任一点，设P到直线l：的距离为d，则|PA| + d的最小值是 【解析
13、】 其图象是一段抛物线，F是其的焦点，l是其准线，d = |PF|当A、P、F三点共线时，|PA| + d最小，其值是14已知函数的定义域为，为奇函数，当时，则当时，的递减区间是 15下面的数组均由三个数组成，它们是：(1，2，3)，(2，4，6)，(3，8，11)，(4，16，20)，(5，32，37)，(an，bn，cn) （1）请写出cn的一个表达式，cn = ；（2）若数列cn的前n项和为Mn，则M10 = （用数字作答） 【解析】cn = n + 2n；2101 由1，2，3，4，5，猜想an = n；由2，4，8，16，32，猜想bn = 2n；由每组数都是“前两个之和等于第三个”
14、猜想cn = n + 2n从而M10 = (1 + 2 + + 10) + (2 + 22 + + 210) =三、解答题（本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）16（本小题满分12分）在ABC中，角A、B、C的对边分别为a，b，c，已知向量 （1）求角B的大小； （2）若b =，求ABC面积的最大值【解析】（1），可得，由正弦定理：（3分）又B + C = A，sin(C + B) = sinA，且sinA0，故（6分）（2）由余弦定理b2 = a2 + c2 2accosB = a2 + c2 acac，又b =，从而ac12（9分）故，因此当a = c =时，
15、ABC的面积最大且最大值为3 （12分）17（本小题满分12分）如图，边长为2的等边PCD所在的平面垂直于矩形ABCD所在的平面，BC =，M为BC的中点 （1）证明AMPM；并求二面角PAMD的大小； （2）求点D到平面AMP的距离 【解析】（1）取CD的中点E，连接PE、EM、EA，PCD为正三角形，PECD，平面PCD平面ABCD，PE平面ABCDPEAM（3分） 四边形ABCD是矩形，ADE、ECM、ABM均为直角三角形，由勾股定理可求得（4分） AM平面PME，PMAM，PME是二面角PAMD的平面角，（6分） PE = PDsin60=， 二面角PAMD为45（8分） （2）设点D
16、到平面PAM的距离为d，连接DM，则VPADM = VDPAM，在RtPEM中，由勾股定理可求得，即点D到平面PAM的距离为（12分）另解（1）以D点为原点，分别以直线DA、DC为x轴、y轴，建立如图所示的这空间直角坐标系Dxyz，依题意，得D (0，0，0)，P (0，1，)，C (0，2，0)，A (2，0，0)，M(，2，0)（2分）（4分）设n = (x，y，z)，且n平面PAM，则取y = 1，（7分）取P = (0，0，1)，P平面ABCD，cos=结合图形可知，二面角PAMD为45（9分）（2）设点D到平面PAM的距离为d，由（1）可知，与平面PAM垂直，则d =（12分）18（
17、本小题满分12分）一只口袋中装有标号为1、2、3、4的大小相同的4个小球，从该口袋中每次取出1球，记下标号后再放回口袋，连续取三次 （1）求三次取出的小球的三个标号之和为5的概率； （2）设三次取出的小球的标号中最大的数字为X，求随机变量X的布分列和数学期望 【解析】由题设每次取出的小球的标号为i (i = 1、2、3、4)其概率（1分） （1）记取出的小球的标号组合为(1，1，3)和(1，2，2)为事件A，B且A、B互斥，（2分）则所求事件的概率P1 = P (A + B) = P (A) + P (B) = （4分）（2）X的可知取值为1、2、3、4（5分）（6分）（7分）（9分） （10
18、分）则X的分布列如下表X1234PEX = 1+ 2+ 3+ 4= （12分）19（本小题满分13分）某市电信宽带网用户收费标准如下表：（假定每月初均可以和电信部门约定上网方案）方案类别基本费用超时费用甲包月制70元乙有限包月制（限60小时）50元来源:金太阳新课标资源网 HTTP:/WX.JTYJY.COM/0.05元/分钟（无上限）丙有限包月制（限30小时）30元0.05元/分钟（无上限）（1）若某用户某月上网时间为T小时，当T在什么范围内时，选择甲方案最合算？并说明理由 （2）王先生因工作需要需在家上网，他一年内每月的上网时间T（小时）与月份n的函数关系为T = f (n) =若公司能报
19、销王先生全年的上网费用，问公司最少会为此花多少元？【解析】（1）当T30时，选择丙方案合算； 当T30时，由30 + 3 (T 30)50，得30T，此时选择丙方案合算；（2分）当T60时，选择乙方案合算；（4分）当T60时，由50 + 3 (T 60)70，得60T，此时选择乙方案合算；当T，选择甲方案合算（6分）综上可得，当T 时，选择甲方案合算（7分） （2）因为所以f (n)为首项f (1) = 60，公差d =的等差数列，且每月上网时间逐月递增令，可知前9个月选择乙方案，最后3个月选择甲方案上网花费最少（9分） 此时，一年的上网总费用为即一年内公司最少会为王先生花费上网费741元 （
20、13分）20（本小题满分13分）如图设椭圆的左、右焦点分别为F1、F2，上顶点为A，过点A与AF1垂直的直线分别交椭圆和x轴正半轴于P、Q两点，且 （1）求椭圆的离心率； （2）若过A、Q、F1三点的圆恰好与直线l：相切，求椭圆方程（3）过F2的直线l与椭圆相交于异于椭圆左、右顶点的M，N两点，B为椭圆的左顶点，求的取值范围【解析】（1）设点Q (x0，0)，F 1(c，0)，其中c = ，得而由知2b2 = 3ac，2c2 + 3ac 2a2 = 02e2 + 3e 2 = 0，（4分）（2）满足条件的圆心圆半径由圆与直线l：又a = 2c，c = 1，a = 2，b =椭圆方程为（8分）（
21、3）（i）当MNx轴时（ii）当MN与x轴不垂直时，设M (x1，y1)，N (x2，y2)l的方程为y = k (x 1) (k0)代入椭圆方程得= 从而（13分）21（本小题满分13分）已知函数f (x) = ln (2 + 3x) （1）求f (x)在0，1上的最大值；（2）若对恒成立，求实数a的取值范围；（3）若关于x的方程f (x) = 2x + b在0，1上恰有两个不同的实根，求实数b的取值范围【解析】（1）（1分）当单调递减（3分）为函数f (x)在0，1上的最大值（4分）（2）由（5分）设依题意知ah (x)或ag (x)在x上恒成立，（6分）g (x)与h (x)都在上递增，要使不等式成立，当且仅当（9分）（3）由上递增；（11分）而上恰有两个不同实根等价于（13分）
