1、长春市十一高中2020-2021学年度高二下学期第一学程考试数 学 (理科) 试 题 第卷（共 60 分）一、选择题：本题共12小题，每小题5分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.1设，则在复平面内z对应的点位于（ ）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限2“干支纪年法”是我国历法的一种传统纪年法，甲乙丙丁戊己庚辛壬癸被称为“十天干”；子丑寅卯辰巳午未申酉戌亥叫做“十二地支”“天干”以“甲”字开始，“地支”以“子”字开始，两者按干支顺序相配，组成了干支纪年法，其相配顺序为甲子乙丑丙寅癸酉；甲戌乙亥丙子癸未；甲申乙酉丙戌癸巳；，共得到60个组合，称六十甲子，周而复始，无穷
2、无尽2021年是“干支纪年法”中的辛丑年，那么2121年是“干支纪年法”中的（ ）A庚午年B辛未年C庚辰年D辛巳年3已知函数的导函数为，且满足，则曲线在点处的切线的斜率等于（ ）ABCD4我国古代数学名著九章算术的论割圆术中有：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周盒体而无所失矣.”它体现了一种无限与有限的转化过程.比如在表达式中“”即代表无限次重复，但原式却是个定值，它可以通过方程求得，类似上述过程及方法.则的值为（ ）ABC7D5 A B C D6已知函数的部分图象如图所示，则的解析式可能为（ ）A BC D7已知函数，若过点可作曲线的三条切线，则的取值范围是（ ）ABCD
3、8如果对定义在上的偶函数，满足对于任意两个不相等的正实数，都有，则称函数为“函数”，下列函数为“函数”的是ABCD9已知函数的图象过点，若关于的方程有3个不同的实数根，则的取值范围是（ ）ABCD10已知三棱锥中，平面，则三棱锥体积最大时，其外接球的体积为（ ）ABCD11已知且，且，且，则（ ） A. B C D. 12已知函数，若的解集中恰有一个整数，则的取值范围为（ ）ABCD第卷（共 90 分）二、填空题：本题共4小题,每小题5分,共20分.13若复数z对应的点在直线y2x上，且|z|，则复数z_14由定积分的性质和几何意义，的值是_15过抛物线的焦点的直线交该抛物线于、两点，若，为坐
4、标原点，则_16已知函数，对任意的，都有成立，则实数的取值范围是_.三、解答题：本题共6小题,共70分.17(10分)已知函数.（1）若是函数的一个极值点，求的值；（2）当时，恒成立，求的取值范围.18(12分)已知函数（1）讨论函数的单调性；（2）设，若函数在上有零点，求的取值范围19(12分)如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，底面.（1）求证：平面平面；（2）在棱上是否存在一点，使得二面角的平面角的余弦值为？若存在，求出的值？若不存在，说明理由.20(12分)已知函数.（1）求在处的切线方程（2）当时，设函数，若是在上的一个极值点，求证：.是函数在上的唯一极小值点，且.21(12分)已知
5、椭圆的一个焦点与短轴的两端点组成一个正三角形的三个顶点，且椭圆经过点.（1）求椭圆M的标准方程；（2）直线l：与椭圆M相交于A，B两点，且以线段AB为直径的圆过椭圆的右顶点C，求面积的最大值.22(12分)已知函数（1）若单调递增，求实数的取值范围；（2）若函数有两个极值点，且，求证：答案一、选择题1. B 2. D 3. B 4. B 5.A 6.A7. D 8 .C 9. C 10 .D 11.D 12.A二、13、12i或12i14、 15、 6 16、 三、17、解：（1）由函数解析式知：，由题意，得，故.经检验，满足题意.（2）由已知，当时，只需，.1.当时，在单增，在单减，在单增.
6、由于，所以只需，即，所以.2.当时，在单增，所以，满足题意.3.当时，在单增，在单减，在单增.由于，所以只需，即，所以.综上，知：.18、 解：（1）由题意知，当时，则在上单调递减；当时，令，得，令，得，则在上单调递增，在上单调递减综上可知，当时，函数在上单调递减；当时，函数在上单调递增，在单调递减（2）因为，所以因为，且，所以，当，即时，则在上单调递增，因为函数在上有零点，且，所以，解得；当，即时，令，解得，令，解得，所以在上单调递减，在上单调递增，因为在上有零点，且，所以，又，则综上，的取值范围是19、试题解析：(1)在DACD中,AC=a,CD=a, AD=a 由勾股定理得:CDACPA
7、底面ABCD PACDAC面PAC, PA面PAC,PAAC=ACD面PAC又CD面PCD平面PCD平面PAC. (2)由(1)知:ABAC, 又PA底面ABCD以A为原点AB,AC,AP所在直线分别为x轴,y轴,z轴建立如图所示坐标系则A(0,0,0),B(a,0,0),C(0,a,0),D(-a,a,0),P(0,0,a)假设点E存在,且=,则= (xE,yE-a,zE)=(0,-a,a)xE=0,yE=(1-)a,zE=a=(a,0,0) =(0,(1-)a,a), =(-a,a,0)设平面BAE的法向量为=(x1,y1,z1), 平面DAE的法向量为=(x2,y2,z2),则 =(0,
8、-1) =(,-1) cos=由题意:|cos|= 即: =3(22-2+1) =2(32-2+1) =棱PC上存在一点E,使得二面角B-AE-D的平面角的余弦值为-,且此时=.20、【详解】（1）由已知得，而，故在处的切线方程为，即（2）当时，由题意得，则，所以在上单调递增，使时，即在上单调递减时，即在上单调递增在上有唯一极小值点且设，时则在上单调递增综上：.21、【详解】（1）设椭圆的上下顶点为，左焦点为，则是正三角形，所以，则椭圆方程为.将代入椭圆方程，可得，解得，故椭圆的方程为.（2）由题意，设直线l的方程为，联立，消去x得.设，则有，因为以线段AB为直径的圆过椭圆的右顶点，所以，由，则，将，代入上式，并整理得，则，化简得，解得或，因为直线不过点，所以，故.所以直线恒过点.故，设，则在上单调递增，当时，所以面积的最大值为.22、解：（1）由题知对任意的恒成立，即对任意的，恒成立易知函数在上单调递减，因此，所以（2），由题知，是的两个根，即，是方程的两个根，则得，且，则要证，只需证，即证，因为，所以，从而令，则，设函数，则，设，则，易知存在，使得，且当时，当时，因此函数在上单调递减，在上单调递增，所以，因此在上单调递减，从而，即，原命题得证
