1、1.1.2弧度制和弧度制与角度制的换算明目标、知重点1.理解角度制与弧度制的概念，能对弧度和角度进行正确地转换.2.体会引入弧度制的必要性，建立角的集合与实数集一一对应关系.3.掌握并能应用弧度制下的弧长公式和扇形面积公式.1.度量角的单位制(1)角度制用度作单位来度量角的制度叫做角度制，规定1度的角等于周角的.(2)弧度制弧度制的定义长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角，用符号rad表示，读作弧度.以弧度为单位来度量角的制度叫做弧度制.任意角的弧度数与实数的对应关系正角的弧度数是一个正数；负角的弧度数是一个负数；零角的弧度数是零.角的弧度数的计算如果半径为r的圆的圆心角所对弧的长为
2、l，那么，角的弧度数的绝对值是|.2.角度制与弧度制的换算(1)角度化弧度弧度化角度3602 rad2 rad360180 rad rad1801 rad0.017 45 rad1 rad57.30(2)一些特殊角的度数与弧度数的对应关系度0130456090弧度0度120135150180270360弧度23.扇形的弧长及面积公式设扇形的半径为R，弧长为l，(02)为其圆心角，则度量单位类别为角度制为弧度制扇形的弧长llR扇形的面积SSlRR2情境导学初中几何研究过角的度量， 规定周角的作为1的角.我们把用度做单位来度量角的制度叫做角度制， 在角度制下，当两个带着度、分、秒各单位的角相加、相
3、减时，由于运算进制非十进制，总给我们带来不少困难.那么我们能否重新选择角单位，使在该单位制下两角的加减运算与十进制下的加减法运算一样呢？今天我们就来研究这种新单位制弧度制.探究点一弧度制思考11弧度的角是怎样规定的？1弧度的角和圆半径的大小有关吗？你能作出一个1弧度的角吗？答把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角.1弧度的角是一个定值，与所在圆的半径无关.如图所示，AOB就是1弧度的角.思考2如果一个半径为r的圆的圆心角所对的弧长是l，那么的弧度数与l、r之间有着怎样的关系？请你完成下表，找出某种规律.的长OB旋转的方向AOB的弧度数AOB的度数0没旋转00r顺时针方向90r逆时针方向
4、1802r顺时针方向2360逆时针方向1r逆时针方向12r顺时针方向2规律：如果一个半径为r的圆的圆心角所对的弧长为l，那么的弧度数的绝对值是，即|.小结一般地，正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0.如果半径为r的圆的圆心角所对弧的长为l，那么，角的弧度数的绝对值是|.这里，的正负由角的终边的旋转方向决定.思考3角度制与弧度制换算时，灵活运用下表中的对应关系，请补充完整.角度化弧度弧度化角度3602 rad2 rad360180 rad rad1801 rad1 rad例1(1)把6730化成弧度；(2)把化成角度.解(1)6730，6730rad67 rad.(2
5、)105.反思与感悟将角度转化为弧度时，要把带有分、秒的部分化为度之后，牢记 rad180即可求解.把弧度转化为角度时，直接用弧度数乘以即可.跟踪训练1将下列角按要求转化：(1)2230_rad；(2)_度.答案(1)(2)288探究点二弧度制下的弧长公式和扇形面积公式思考我们已经学习过角度制下的弧长公式和扇形面积公式，请根据“一周角(即360)的弧度数为2”这一事实化简上述公式.(设半径为r，圆心角弧度数为).答半径为r，圆心角为n的扇形弧长公式为l，扇形面积公式为S扇.，l|r.，S扇|r2.S扇|r2lr.例2已知一扇形的周长为40 cm，当它的半径和圆心角取什么值时，才能使扇形的面积最
6、大？最大面积是多少？解设扇形的圆心角为，半径为r，弧长为l，面积为S，则l2r40，l402r.Slr(402r)r20rr2(r10)2100.当半径r10 cm时，扇形的面积最大，最大值为100 cm2，此时rad2 rad.所以当扇形的圆心角为2 rad，半径为10 cm时，扇形的面积最大为100 cm2.反思与感悟灵活运用扇形弧长公式、面积公式列方程组求解是解决此类问题的关键，有时运用函数思想、转化思想解决扇形中的有关最值问题，将扇形面积表示为半径的函数，转化为r的二次函数的最值问题.跟踪训练2一个扇形的面积为1，周长为4，求圆心角的弧度数.解设扇形的半径为R，弧长为l，则2Rl4，l
7、42R，根据扇形面积公式SlR，得1(42R)R，R1，l2，2，即扇形的圆心角为2 rad.探究点三利用弧度制表示终边相同的角思考1在弧度制下，与终边相同的角连同在内可以表示为2k(kZ)，其中的单位必须是弧度.利用弧度制表示出终边落在坐标轴上的角的集合.终边所在的位置角的集合x轴|k，kZy轴|k，kZ坐标轴|，kZ思考2利用弧度制表示出终边落在各个象限的角的集合.终边所在的象限角的集合|2k2k，kZ|2k2k，kZ|2k2k，kZ|2k2k2，kZ例3把下列各角化成2k (02，kZ)的形式，并指出是第几象限角：(1)1 500；(2)；(3)4.解(1)1 5001 80030053
8、60300.1 500可化成10，是第四象限角.(2)2，与终边相同，是第四象限角.(3)42(24)，24.4与24终边相同，是第二象限角.反思与感悟在同一问题中，单位制度要统一，角度制与弧度制不能混用.跟踪训练3(1)把1 480写成2k(kZ)的形式，其中02；(2)若4，0，且与(1)中的终边相同，求.解(1)1 48010，又0，则解得，.4.把表示成2k(kZ)的形式，使|最小的值是_.答案解析22(1).呈重点、现规律1.角的概念推广后，在弧度制下，角的集合与实数集R之间建立起一一对应的关系：每一个角都有唯一的一个实数(即这个角的弧度数)与它对应；反过来，每一个实数也都有唯一的一
9、个角(即弧度数等于这个实数的角)与它对应.2.解答角度与弧度的互化问题的关键在于充分利用“180 rad”这一关系式.角的度数与弧度数换算关系：度数 rad弧度数，弧度数度数.3.在弧度制下，扇形的弧长公式及面积公式都得到了简化，具体应用时，要注意角的单位取弧度.一、基础过关1.300化为弧度是()A. B.C. D.答案B2.集合A与集合B|2k，kZ的关系是()A.AB B.ABC.BA D.以上都不对答案A3.已知2弧度的圆心角所对的弦长为2，那么这个圆心角所对的弧长是()A.2 B.sin 2C. D.2sin 1答案C解析r，l|r.4.下列表示中不正确的是()A.终边在x轴上的角的
10、集合是|k，kZB.终边在y轴上的角的集合是|k，kZC.终边在坐标轴上的角的集合是|k，kZD.终边在直线yx上的角的集合是|2k，kZ答案D解析终边在直线yx上的角的集合应是|k，kZ.5.设角、满足180180，则的范围是_.答案(360，0)解析，0，又180180，180180，360360，综上可知的范围是3600.6.如果一扇形的弧长变为原来的倍，半径变为原来的一半，则该扇形的面积为原扇形面积的_.答案解析由于SlR，若ll，RR，则SlRlRS.7.用弧度制表示顶点在原点，始边重合于x轴的非负半轴，终边落在阴影部分内的角的集合(包括边界，如图所示).解(1).(2).二、能力提
11、升8.扇形圆心角为，则扇形内切圆的圆面积与扇形面积之比为()A.13 B.23C.43 D.49答案B解析设扇形的半径为R，扇形内切圆半径为r，则Rrr2r3r.S内切r2.S扇形R2R29r2r2.S内切S扇形23.9.圆的半径是6 cm，则圆心角为15的扇形面积是()A. cm2 B. cm2C. cm2 D.3 cm2答案B解析15，l6(cm)，Slr6(cm2).10.已知集合Ax|2kx2k，kZ，集合Bx|4x4，则AB_.答案4，0，解析如图所示，AB4，0，.11.用30 cm长的铁丝围成一个扇形，应怎样设计才能使扇形的面积最大？最大面积是多少？解设扇形的圆心角为，半径为r，
12、面积为S，弧长为l，则有l2r30，l302r，从而Slr(302r)rr215r2.当半径r cm时，l30215 cm，扇形面积的最大值是 cm2，这时2 rad.当扇形的圆心角为2 rad，半径为 cm时，面积最大，为 cm2.12.如图所示，半径为1的圆的圆心位于坐标原点，点P从点A(1,0)出发，依逆时针方向等速沿单位圆周旋转，已知P点在1 s内转过的角度为 (0)，经过2 s达到第三象限，经过14 s后又回到了出发点A处，求.解因为0，且2k22k(kZ)，则必有k0，于是，又142n(nZ)，所以，nZ，从而，即n0)，当为多少弧度时，该扇形有最大面积？解(1)设弧长为l，弓形面积为S弓，60，R10，lR (cm).S弓S扇S10210sin 10cos 50 (cm2).(2)扇形周长c2Rl2RR，S扇R2R2(c2R)RR2cR2.当且仅当R，即2时，扇形面积最大，且最大面积是.
