1、明目标、知重点 1.能够运用正、余弦定理等知识和方法解决一些力的合成与分解问题.2.能够运用正、余弦定理解决测量角度的实际问题.3.进一步培养学生学习数学、应用数学的意识及观察、归纳、类比、概括的能力情境导学有人说物理学科中的题实质上是数学的应用题，事实上学习物理离不开数学，数学在物理学中的应用非常广泛，本节课我们来研究正、余弦定理在物理中的力学和测量方向方面的应用探究点一 正、余弦定理在力学中的应用例 1 如图，墙上有一个三角形灯架 OAB，灯所受的重力为 10 N，且 OA、OB 都是细杆，只受沿杆方向的力试求杆 OA、OB 所受的力分析 点 O 处受到三个力的作用：灯线向下的拉力(记为
2、F)，O 到 A 方向的拉力(记为 F1)，从 B 到 O 方向的支持力(记为 F2)，这三个力是平衡的，即 FF1F20，解 如图，作OE F，将 F 沿 A 到 O，O 到 B 两个方向进行分解，即作OCED，则OD CEF1，OC F2.由题设条件可知，|OE|10，OCE50，OEC70，所以COE180507060.在OCE 中，由正弦定理，得|F|sin 50|F1|sin 60，|F|sin 50|F2|sin 70，因此，|F1|10sin 60sin 50 11.3，|F2|10sin 70sin 50 12.3.答 灯杆 AO 所受的拉力为 11.3 N，灯杆 OB 所受的
3、压力为 12.3 N.反思与感悟 在运用正弦定理、余弦定理解决力的合成与分解问题时，通常涉及平行四边形，根据题意，选择一个或几个三角形，然后通过解这些三角形，得出实际问题的解跟踪训练 1 作用于同一点的三个力 F1，F2，F3 平衡，已知|F1|30 N，|F2|50 N，F1 与F2 之间的夹角是 60，求 F3 的大小与方向(精确到 0.1).解 F3 应和 F1，F2 的合力 F 平衡，所以 F3 和 F 在同一直线上，并且大小相等，方向相反如图，在OF1F 中，由余弦定理，得|F|30250223050cos 12070(N)，再由正弦定理，得sinF1OF50sin 120705 3
4、14，所以F1OF38.2，从而F1OF3141.8.答 F3 为 70 N，F3 和 F1 间的夹角为 141.8.探究点二 测量角度问题例 2 如图，在海滨某城市附近海面有一台风，据检测，台风中心位于城市 A的南偏东 30方向，据城市 300 km 的海面 P 处，并以 20 km/h 的速度向北偏西45方向移动如果台风侵袭的范围为圆形区域，半径为 120 km，几小时后该城市开始受到台风的侵袭(精确到 0.1 h)?解 如图所示，设台风的中心 x 小时到达位置 Q 时，开始侵袭该城市，在AQP中，依题意，得 AQ120 km，AP300 km，PQ20 x，P604515，A18015Q
5、165Q，由正弦定理，得 300sin Q 120sin 1520 xsin A 120sin 15由得 sin Q300sin 151200.647 0，所以Q40.3(不合题意舍去)，Q139.7.因此A18015139.725.3，代入得 20 x120sin 25.3sin 15198.1，所以 x198.120 9.9(h)答 大约 9.9 小时后，该城市开始受到台风的侵袭反思与感悟 航海问题是解三角形应用问题中的一类很重要的问题，解决这类问题一定要搞清方位角，再就是选择好不动点，然后根据条件，画出示意图，转化为三角形问题跟踪训练 2 在海岸 A 处，发现北偏东 45方向、距离 A
6、处(31)海里的 B 处有一艘走私船；在 A 处北偏西 75方向、距离 A 处 2 海里的 C 处的缉私船奉命以 10 3海里/小时的速度追截走私船同时，走私船正以 10 海里/小时的速度从 B 处向北偏东 30方向逃窜，问缉私船沿什么方向能最快追上走私船？最少要花多少时间？解 若要最快追上走私船，则两船所用时间相等，假设在 D 处相遇，设缉私船用 t h 在 D 处追上走私船，则有 CD10 3t，BD10t.在ABC 中，因为 AB 31，AC2，BAC120，由余弦定理，得 BC2AB2AC22ABACcosBAC(31)2222(31)2cos 1206.所以 BC 6.在ABC 中，
7、由BCsinCABACsinCBA，得 sinCBA 22，CBA45，则 BC 为东西走向又因为CBD9030120.在BCD 中，由正弦定理，得sinBCDBDsinCBDCD10tsin 12010 3t12，所以BCD30.则 BDBC 6，即 10t 6，得 t 610.即缉私船沿北偏东 60方向能最快追上走私船，最少用 610小时探究点三 正、余弦定理在几何中的应用例 3 如图所示，已知半圆 O 的直径为 2，点 A 为直径延长线上的一点，OA2，点 B 为半圆上任意一点，以 AB 为一边作等边三角形 ABC，求B 在什么位置时，四边形 OACB 面积最大分析 四边形的面积由点B
8、的位置惟一确定而点 B 由AOB 惟一确定，因此可设AOB，再用 的三角函数来表示四边形 OACB 的面积解 设AOB，在ABO 中，由余弦定理得AB21222212cos 54cos，(0，)，SSAOBSABC12OAOBsin 34 AB22sin3 54 3.当 32，56，即AOB56 时，四边形面积最大反思与感悟 利用正弦定理和余弦定理来解题时，要学会审题及根据题意画方位图，要懂得从所给的背景资料中进行加工、抽取主要因素，进行适当的简化跟踪训练 3 已知 a，b，c 分别为ABC 三个内角 A，B，C 的对边，acos C 3asin Cbc0.(1)求 A；(2)若 a2，ABC
9、 的面积为 3，求 b，c.解(1)由 acos C 3asin Cbc0 及正弦定理得 sin Acos C 3sin Asin Csin Bsin C0.因为 BAC，所以 3sin Asin Ccos Asin Csin C0.由于 sin C0，所以 sinA6 12.又 0A，故 A3.(2)ABC 的面积 S12bcsin A 3，故 bc4.而 a2b2c22bccos A，故 b2c28.解得 bc2.1已知两座灯塔 A，B 与海洋观察站 C 的距离相等，灯塔 A 在观察站 C 的北偏东 40，灯塔B 在观察站 C 的南偏东 60，则灯塔 A 在灯塔 B 的()A北偏东 10B
10、北偏西 10C南偏东 10D南偏西 10答案 B解析 如图，因ABC 为等腰三角形，所以CBA12(18080)50，605010，故选 B.2台风中心从 A 地以 20 km/h 的速度向东北方向移动，离台风中心 30 km内的地区为危险区，城市 B 在 A 的正东 40 km 处，B 城市处于危险区内的时间为()A0.5 hB1 hC1.5 hD2 h答案 B解析 设 A 地东北方向上点 P 到 B 的距离为 30 km 时，APx，在ABP 中，PB2AP2AB22APABcos A，即 302x24022x40cos 45，化简得 x240 2x7000.设该方程的两根为 x1，x2，
11、则 P 点的位置有两处，即 P1，P2.则|x1x2|2(x1x2)24x1x2400，|x1x2|20，即 P1P220(km)，故 tP1P2v 20201(h)故选 B.3一艘海轮从 A 处出发，以 40 n mile/h 的速度沿南偏东 40方向直线航行，30 min 后到达 B处，在 C 处有一座灯塔，海轮在 A 处观察灯塔，其方向是南偏东 70，在 B 处观察灯塔，其方向是北偏东 65，那么 B，C 两点间的距离是()A10 2 n mileB10 3 n mileC20 2 n mileD20 3 n mile答案 A解析 如图所示，由已知条件可得，CAB30，ABC105，AB
12、401220(n mile)BCA45.由正弦定理可得 ABsin 45 BCsin 30.BC20122210 2(n mile)4如图，在四边形 ABCD 中，AC 平分DAB，ABC60，AC6，AD5，SADC152，则 AB_.答案 4 3解析 在ADC 中，已知 AC6，AD5，SADC152，则由 SADC12ACADsinDAC，求得 sinDAC12，即DAC30.BAC30，而ABC60，故ABC 为直角三角形AC6，ABACcos 30 6324 3.呈重点、现规律1在求解三角形中，我们可以根据正弦函数的定义得到两个解，但作为有关现实生活的应用题，必须检验上述所求的解是否
13、符合实际意义，从而得出实际问题的解2解三角形的应用题时，通常会遇到两种情况：(1)已知量与未知量全部集中在一个三角形中，依次利用正弦定理或余弦定理解之(2)已知量与未知量涉及两个或几个三角形，这时需要选择条件足够的三角形优先研究，再逐步在其余的三角形中求出问题的解一、基础过关1从高出海平面 h 米的小岛看正东方向有一只船俯角为 30，看正南方向有一只船俯角为 45，则此时两船间的距离为()A2h 米B.2h 米C.3h 米D2 2h 米答案 A解析 如图所示，BC 3h，ACh，AB 3h2h22h(米)2甲船在岛 B 的正南 A 处，AB10 千米，甲船以每小时 4 千米的速度向正北航行，同
14、时，乙船自 B 出发以每小时 6 千米的速度向北偏东 60的方向驶去当甲、乙两船相距最近时，它们所航行的时间是()A.1507 分钟B.157 小时C21.5 分钟D2.15 分钟答案 A解析 设行驶 x h 后甲到点 C，乙到点 D，两船相距 y km，则DBC18060120.y2(104x)2(6x)22(104x)6xcos 12028x220 x10028(x 514)2257 100，当 x 514小时1507 分钟，y2 有最小值y 最小3已知 A 船在灯塔 C 北偏东 80处，且 A 船到灯塔的距离为 2 km，B 船在灯塔 C 北偏西 40处，A，B 两船间的距离为 3 km
15、，则 B 船到灯塔的距离为_ km.答案 61解析 由题意知，ACB8040120，AC2 km，AB3 km设 B 船到灯塔的距离为 x，即 BCx.由余弦定理可知 AB2AC2BC22ACBCcos 120，即 94x222x12，整理得 x22x50，解得 x1 6(舍去)或 x1 6(km)4在平行四边形中，AC 65，BD 17，周长为 18，则平行四边形的面积是_答案 16解析 设两邻边 ADb，ABa，BAD，则 ab9，a2b22abcos 17，a2b22abcos(180)65.解得 a5，b4，cos 35，sin 45，SABCDab sin 16.5如图，海中小岛 A
16、 周围 38 海里内有暗礁，一船正在向南航行，在 B 处测得小岛 A 在船的南偏东 30，船行 30 海里后，在 C 处测得小岛在船的南偏东 45，如果此船不改变航向，继续向南航行，有无触礁的危险？解 在ABC 中，BC30，B30，C135，A15.由正弦定理知，BCsin A ACsin B，AC30sin 30sin 15 60cos 1560cos(4530)15(6 2)，于是，A 到 BC 所在直线的距离为ACsin 4515(6 2)2215(31)40.98(海里)，显然大于 38 海里，船继续向南航行没有触礁的危险6如图，某货轮在 A 处看灯塔 B 在货轮的北偏东 75，距离
17、为 12 6 nmile，在 A 处看灯塔 C 在货轮的北偏西 30，距离为 8 3 n mile，货轮由 A 处向正北航行到 D 处时，再看灯塔 B 在货轮的南偏东 60.求：(1)A 处与 D 处的距离；(2)灯塔 C 与 D 处的距离解(1)在ABD 中，ADB60，B45，由正弦定理得 AD ABsin BsinADB12 6 223224(nmile)所以 A 处与 D 处的距离为 24 n mile.(2)在ADC 中，由余弦定理得CD2AD2AC22ADACcos 30，解得 CD8 3 n mile.即灯塔 C 与 D 处的距离为 8 3 n mile.二、能力提升7.如图，一
18、货轮航行到 M 处，测得灯塔 S 在货轮的北偏东 15的方向上，与灯塔 S 相距 20 海里，随后货轮按北偏西 30的方向航行 30 分钟后到达 N 处，又测得灯塔在货轮的东北方向，则货轮的速度为_海里/小时答案 20(6 2)解析 由题意，得SMN45，SNM105，NSM30.由正弦定理得 MNsin 30MSsin 105.MNMSsin 30sin 105 106 2410(6 2)则 v 货20(6 2)(海里/小时)8如图所示，我炮兵阵地位于地面 A 处，两观察所分别位于地面点 C和 D 处，已知 CD6 000 m，ACD45，ADC75，目标出现于地面 B 处时测得BCD30，
19、BDC15，则炮兵阵地到目标的距离是_(结果保留根号)答案 1 000 42 m解析 由已知得CAD60，CBD135，ADB90，在ACD 中，由正弦定理 ADsin 45 CDsin 60，AD6 00022322 000 6.在CBD 中，由正弦定理 BDsin 30CDsin 135，BD6 00012223 000 2，AB2AD2BD2(2 000 6)2(3 000 2)2421 0002，AB1 000 42(m)9某渔船在航行中不幸遇险，发出呼叫信号，我海军舰艇在 A 处获悉后，立即测出该渔船在方位角为 45，距离为 10 海里的 C 处，并测得渔船正沿方位角为 105的方向
20、，以 10 海里/小时的速度向小岛 B 靠拢，我海军舰艇立即以 10 3海里/小时的速度前去营救，求舰艇的航向和靠近渔船所需的时间解 如图所示，设所需时间为 t 小时，则 AB10 3t，CB10t，在ABC中，根据余弦定理，则有AB2AC2BC22ACBCcos 120，可得(10 3t)2102(10t)221010tcos 120，整理得 2t2t10，解得 t1 或 t12(舍去)即舰艇需 1 小时靠近渔船，此时 AB10 3，BC10，在ABC 中，由正弦定理得BCsinCABABsin 120，所以 sinCABBCsin 120AB10 3210 3 12，所以CAB30，所以舰
21、艇航行的方位角为 75.10为保障高考的公平性，高考时每个考点都要安装手机屏蔽仪，要求在考点周围 1 千米处不能收到手机信号，检查员抽查青岛市一考点，在考点正西约 1.732 千米有一条北偏东 60方向的公路，在此处检查员用手机接通电话，以每小时 12 千米的速度沿公路行驶，问最长需要多少分钟检查员开始收不到信号，并至少持续多长时间该考点才算合格？解 如图所示，考点为 A，检查开始处为 B，设公路上 C，D 两点到考点的距离为 1 千米在ABC 中，AB 31.732(千米)，AC1(千米)，ABC 30，由正弦定理 sinACBsin 30AC AB 32，ACB120(ACB60不合题意)
22、，BAC30，BCAC1(千米)，在ACD 中，ACAD，ACD60，ACD 为等边三角形，CD1(千米)BC12605，在 BC 上需 5 分钟，CD 上需 5 分钟所以最长需要 5 分钟检查员开始收不到信号，并持续至少 5 分钟才算合格11某工厂生产产品后，留下大量中心角为 60，半径为 R 的扇形边角料，现要利用边角料，从中剪裁出矩形毛坯，要求矩形面积尽可能大，请问如何裁剪？解 如图所示，矩形有两个顶点在半径 OA 上，设AOP，则 PMRsin，扇形中心角为 60，PQO120.在OPQ 中，由正弦定理，得OPsin 120PQsin60，即 PQ 23Rsin(60)矩形 MPQR
23、的面积为S1PMPQ 23R2sin sin(60)sin sin(60)sin(32 cos 12sin)32 sin cos 12sin2 34 sin 21cos 24 34sin 214cos 21412sin(230)14当 sin(230)1 时，取得最大值14，即 30时，sin sin(60)14此时 S1 23R2sin sin(60)36R2，故 30时，S1 取最大值 36 R2，由 30确定 P 点，通过作平行线不难确定出另三点三、探究与拓展12如图所示，a 是海面上一条南北方向的海防警戒线，在 a 上点 A 处有一个水声监测点，另两个监测点 B，C 分别在 A 的正东
24、方 20 km 处和54 km 处，某时刻，检测点 B 收到发自静止目标 P 的一个声波，8 s 后监测点 A,20 s 后监测点C 相继收到这一信号，在当时的气象条件下，声波在水中的传播速度是 1.5 km/s，(1)设 A 到 P 的距离为 x km，用 x 表示 B，C 到 P 的距离并求 x 的值；(2)求静止目标 P 到海防警戒线 a 的距离(结果精确到 0.01 km)解(1)依题意知PAPB1.5812(km)，PCPB1.52030(km)，因此 PB(x12)(km)，PC(18x)(km)，在PAB 中，AB20，cosPABPA2AB2PB22PAABx2202x1222x203x325x.同理，在PAC 中 cosPAC72x3x，由于 cosPABcosPAC，即3x325x72x3x 解得 x1327(km)(2)作 PDa，垂足为 D，在 RtPDA 中，PDPAcosAPDPAcosPABx3x325x31327 32517.71.
