1、课时分层作业(二十五)直线与圆锥曲线的位置关系(建议用时：40分钟)一、选择题1已知双曲线1的右焦点为F，过点F作一条直线与其中一条渐近线垂直，垂足为A，O为坐标原点，则SOAF()A3B3C2 DD双曲线1的右焦点为F(3,0)，F到渐近线x2y0的距离FA则AO2则SOAFFAOA22直线yx3与抛物线y24x交于A、B两点，过两点向抛物线的准线作垂线，垂足分别为P、Q，则梯形APQB的面积为()A48 B56C64 D72A由消去y得，x210x90，x1或9，或|AP|10，|BQ|2或|BQ|10，|AP|2，|PQ|8，梯形APQB的面积为48，故选A3过椭圆x22y24的左焦点F
2、作倾斜角为的弦AB，则弦AB的长为()A BC DB椭圆的方程可化为1，F(，0)又直线AB的斜率为，直线AB的方程为yx由得7x212x80设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2，x1x2，|AB|4已知抛物线C：y28x的焦点为F，准线与x轴的交点为K，点A在C上且|AK|AF|，则AFK的面积为()A4 B8C16 D32B因为抛物线C：y28x的焦点为F(2,0)，准线为x2，所以K(2,0)，设A(x0，y0)，如图所示，过点A向准线作垂线，垂足为B，则B(2，y0)因为|AK|AF|，又|AF|AB|x0(2)x02，所以由|BK|2|AK|2|AB|2，得y(x02)2
3、，即8x0(x02)2，解得x02，y04，所以SAFK的面积为|KF|y0|4485如果AB是椭圆1的任意一条与x轴不垂直的弦，O为椭圆的中心，e为椭圆的离心率，M为AB的中点，则kABkOM的值为()Ae1 B1eCe21 D1e2C设A(x1，y1)，B(x2，y2)，中点M(x0，y0)，由点差法，1，1，作差得，所以kABkOMe21二、填空题6直线ykx2与抛物线y28x有且只有一个公共点，则k 0或1当k0时，直线与抛物线有唯一交点，当k0时，联立方程消y得：k2x24(k2)x40，由题意16(k2)216k20，k17若点O和点F分别为椭圆1的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意
4、一点，则的最大值为 6由1可得F(1,0)设P(x，y)，2x2，则x2xy2x2x3x2x3(x2)22，当且仅当x2时，取得最大值68设双曲线的一个焦点为F，虚轴的一个端点为B，如果直线FB与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为 设双曲线方程为1(a0，b0)，如图所示，双曲线的一条渐近线方程为yx，而kBF1，整理得b2acc2a2ac0两边同除以a2，得e2e10，解得e或e(舍去)三、解答题9已知抛物线y2x与直线yk(x1)相交于A，B两点(1)求证：OAOB；(2)当OAB的面积等于时，求k的值解(1)如图所示，由消去x得，ky2yk0设A(x1，y1)，B(x2，y
5、2)，由根与系数的关系得y1y21，y1y2A，B在抛物线y2x上，yx1，yx2，yyx1x2kOAkOB1，OAOB(2)设直线与x轴交于点N，显然k0令y0，得x1，即N(1,0)SOABSOANSOBN|ON|y1|ON|y2|ON|y1y2|，SOAB1SOAB，解得k10已知椭圆C：1(ab0)，离心率是，原点与C和直线x1的交点围成的三角形面积是若直线l过点，且与椭圆C相交于A，B两点(A，B不是顶点)，D是椭圆C的右顶点，求证ADB是定值证明由题意可知：e，所以a2b2，由直线x1与椭圆相交，交点P(1，y)(y0)，由题意可知：12y，解得y，将P代入椭圆方程：1，解得b23
6、，a24，所以椭圆方程为1，即4y23x2120所以D点坐标为(2,0)，当直线l的斜率不存在时，A，B，0，ADB当直线l的斜率存在时，设直线l：xmy，由得(196147m2)y284my5760，l与C有两个交点A(x1，y1)，B(x2，y2)，0，且y1y2，y1y2，x1x2，x1x2，(x12，y1)，(x22，y2)，x1x22(x1x2)y1y24，0，ADB综上，ADB11(多选题)已知抛物线x22py(p0)的焦点为F，过点F的直线l交抛物线于A，B两点，以线段AB为直径的圆交x轴于M，N两点，设线段AB的中点为Q若抛物线C上存在一点E(t,2)到焦点F的距离等于3则下列
7、说法正确的是()A抛物线的方程是x22yB抛物线的准线是y1CsinQMN的最小值是D线段AB的最小值是6BC抛物线C：x22py(p0)的焦点为F，得抛物线的准线方程为y，点E(t,2)到焦点F的距离等于3，可得23，解得p2，则抛物线C的方程为x24y，所以A不正确；抛物线的准线方程：y1，所以B正确；由题知直线l的斜率存在，F(0,1)，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线l的方程为ykx1，由消去y得x24kx40，所以x1x24k，x1x24，所以y1y2k(x1x2)24k22，所以AB的中点Q的坐标为(2k,2k21)，|AB|y1y2p4k2224k24，所以圆Q的半径为
8、r2k22，在等腰QMN中，sinQMN11，当且仅当k0时取等号所以sinQMN的最小值为所以C正确；线段AB的最小值是：y1y224k244所以D不正确12点P为抛物线y22px上任一点，F为焦点，则以PF为直径的圆与y轴()A相交B相切C相离 D位置由F确定B如图，抛物线的焦点为F，M为PF的中点，准线是l：x作PHl于H，交y轴于Q，那么|PF|PH|，且|QH|OF|，作MNy轴于N，则MN是梯形PQOF的中位线，即|MN|(|OF|PQ|)|PH|PF|，故以PF为直径的圆与y轴相切13(一题两空)椭圆1(ab0)第一象限上一点与中心、右焦点构成一个正三角形，则此椭圆的离心率e ，
9、当此三角形的面积是4，则b2 18如图，由OPF为正三角形，可得P，代入椭圆方程，可得1，又b2a2c2，得(a2c2)c23a2c24a2(a2c2)，解得e1，若SOPFcc4，则c4，a2168，则b2a2c2814已知F为抛物线C：y24x的焦点，过F作两条互相垂直的直线l1，l2，直线l1与C交于A，B两点，直线l2与C交于D，E两点，则|AB|DE|的最小值为 16因为F为y24x的焦点，所以F(1,0)由题意直线l1，l2的斜率均存在，且不为0，设l1的斜率为k，则l2的斜率为，故直线l1，l2的方程分别为yk(x1)，y(x1)由得k2x2(2k24)xk20设A(x1，y1)
10、，B(x2，y2)，则x1x2，x1x21，所以|AB|x1x2|同理可得|DE|4(1k2)所以|AB|DE|4(1k2)48484216，当且仅当k2，即k1时，取得等号15已知抛物线C：y23x的焦点为F，斜率为的直线l与C的交点为A，B，与x轴的交点为P(1)若|AF|BF|4，求l的方程；(2)若3，求|AB|解(1)设直线l：yxt，A(x1，y1)，B(x2，y2)由题设得F，故|AF|BF|x1x2，由题设可得x1x2由可得9x212(t1)x4t20，则x1x2从而，得t所以l的方程为yx(2)由3可得y13y2由可得y22y2t0所以y1y22从而3y2y22，故y21，y13代入C的方程得x13，x2故|AB|
