1、21数列的概念与简单表示法(二) 学习目标1.理解数列的几种表示方法，能从函数的观点研究数列.2.理解递推公式的含义，能根据递推公式求出数列的前几项知识链接1数列中的项与数集中的元素进行对比，数列中的项具有怎样的性质有_答案(1)确定性；(2)可重复性；(3)有序性；(4)数列中的每一项都是数2数列的项与对应的序号能否构成函数关系？类比函数的表示方法，想一想数列有哪些表示方法？答数列的一般形式可以写成：a1，a2，a3，an，.除了列举法外，数列还可以用公式法、列表法、图象法来表示预习导引1数列的函数性质(1)数列可以看成以正整数集N*(或它的有限子集1,2，n)为定义域的函数anf(n)，即
2、当自变量按照从小到大的顺序依次取值时，所对应的一列函数值(2)在数列an中，若an1an，则an是递增数列；若an10，即an1an.数列an是递增数列规律方法单调性是数列的一个重要性质判断数列的单调性，通常是运用作差或作商的方法判断an1与an(nN*)的大小，若an1an恒成立，则an为递增数列；若an10，ann.(2)证明作商比较，0，an1an，故数列an是递减数列要点二求数列的最大(小)项例2已知数列an的通项公式为ann25n4.(1)数列中有多少项是负数？(2)n为何值时，an有最小值？并求出最小值解(1)由n25n40，解得1n4.nN*，n2,3.数列中有两项是负数(2)法
3、一ann25n4(n)2，可知对称轴方程为n2.5.又nN*，故n2或3时，an有最小值，且a2a3，其最小值为225242.法二设第n项最小，由得解这个不等式组，得2n3，n2,3.a2a3且最小a2a3225242.规律方法求数列an的最大项和最小项，一种方法是利用函数的最值法；另一种是不等式法，求最小项可由来确定n，求最大项可由来确定n.若数列是单调的，也可由单调性来确定最大或最小项跟踪演练2已知数列an的通项公式an(n1)n(nN*)，试问数列an有没有最大项？若有，求最大项和最大项的项数；若没有，说明理由解假设数列an中存在最大项an1an(n2)n1(n1)nn，当n0，即an1
4、an；当n9时，an1an0，即an1an；当n9时，an1an0，即an1an，故a1a2a3a11a12，所以数列中有最大项，最大项为第9,10项，且a9a10.要点三由递推关系式求数列的通项公式例3已知数列an满足下列条件，写出它的前5项，并归纳出数列的一个通项公式(1)a10，an1an(2n1)；(2)a11，an1.解(1)a10，an1an(2n1)，a2a1(211)011；a3a2(221)134；a4a3(231)459；a5a4(241)9716.故该数列的一个通项公式是an(n1)2.(2)a11，an1，a2，a3，a4，a5，它的前5项依次是1，.它的前5项又可写成
5、，故它的一个通项公式为an.规律方法已知数列递推公式求数列某一项时，依次将项数n的值代入即可跟踪演练3已知数列an中，a11，a22，an2an1an，试写出a3，a4，a5，a6，a7，a8，你发现数列an具有怎样的规律？你能否求出该数列中的第2 014项是多少？解a11，a22，a31，a41，a52，a61，a71，a82，.发现：an6an，数列an具有周期性，周期T6，证明如下：an2an1an，an3an2an1(an1an)an1an.an6an3(an)an.数列an是周期数列，且T6.a2 014a33564a41.1已知an1an30，则数列an是()A递增数列 B递减数列
6、 C常数项 D不能确定答案A2数列1,3,6,10,15，的递推公式是()Aan1ann，nN*Banan1n，nN*，n2Can1an(n1)，nN*，n2Danan1(n1)，nN*，n2答案B解析由于a2a12，a3a23，a4a34, a5a45，anan1n，所以选B.3一个数列an中，a13，a26，an2an1an，那么这个数列的第5项为()A6 B3C12 D6答案D解析由递推关系式可求得a3a2a1633，a4a3a2363，a5a4a3336.4用火柴棒按下图的方法搭三角形：按图示的规律搭下去，则所用火柴棒数an与所搭三角形的个数n之间的关系式可以是_答案an2n1解析a1
7、3，a2325，a33227，a432229，an2n1.5已知：数列an中，a11，an1an(1)写出数列的前5项；(2)猜想数列的通项公式解(1)a11，a21，a3，a4，a5.(2)猜想：an.1.an与an是不同的两种表示，an表示数列a1，a2，an，是数列的一种简记形式而an只表示数列an的第n项，an与an是“个体”与“整体”的从属关系2数列的表示方法：图象法；列表法；通项公式法；递推公式法3通项公式和递推公式的区别：通项公式直接反映an 和n之间的关系，即an是n的函数，知道任意一个具体的n值，就可以求出该项的值an；而递推公式则是间接反映数列的式子，它是数列任意两个(或多
8、个)相邻项之间的推导关系，不能由n直接得出an.一、基础达标1在递减数列an中，ankn(k为常数)，则实数k的取值范围是()AR B(0，)C(，0) D(，0答案C解析an是递减数列，an1ank(n1)knk0.2已知数列an的首项为a11，且满足an1an，则此数列的第4项是()A1 B. C. D.答案B3数列an中，a11，对所有的n2，都有a1a2a3ann2，则a3a5等于()A. B. C. D.答案C解析a1a2a332，a1a222，a1a2a3a4a552，a1a2a3a442，则a3，a5.故a3a5.4由1,3,5，2n1，构成数列an，数列bn满足b12，当n2时
9、，bn，则b6的值是()A9 B17 C33 D65答案C解析bn，b2ab1a23，b3ab2a35，b4ab3a59，b5ab4a917，b6ab5a1733.5数列an的通项公式为ann26n，则它最小项的值是_答案9解析ann26n(n3)29，当n3时，an取得最小值9.6已知数列an，ananm(a0.求数列an的通项公式解f(x)x，f(an)an，f(an)2n.an2n.即a2nan10ann.an0，ann.8已知数列an的通项公式为an2n229n3，求数列an的最大项解由已知，得an2n229n322108，由于nN*，故当n取距离最近的正整数7时，an取得最大值108
10、.数列an中的最大值为a7108.二、能力提升9若a11，an1，则给出的数列an的第4项是()A. B. C. D.答案C解析a2，a3，a4.10已知数列an满足要求a11，an12an1，则a5等于()A15 B16 C31 D32答案C解析数列an满足a11，an12an1，a22113，a32317，a427115，a5215131.故选C.11已知数列an满足an1若a1，则a2 012的值为_答案解析计算得a2，a3，a4，故数列an是以3为周期的周期数列，又知2 012除以3余2，所以a2 012a2.12根据下列条件，写出数列的前四项，并归纳猜想它的通项公式(1)a10，an1an2n1(nN*)；(2)a11，an1an；(3)a12，a23，an23an12an(nN*)解(1)a10，a21，a34，a49.猜想an(n1)2.(2)a11，a2，a3，a4.猜想an.(3)a12，a23，a35，a49.猜想an2n11.三、探究与创新13数列an中，a12，an1an，求an的通项公式解an1an，.2，.把上述等式相乘，得2，即n，而a12，an2n.
