1、长春市2021届高三第一次质量监测（一模）理科数学一、选择题:本题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知集合则集合的元素个数有A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个2.函数是A.周期为的奇函数 B.周期为的偶函数C.周期为的奇函数 D.周期为的偶函数3.在中, 是的A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件4.张老师居住的一条街上,行驶着甲、乙两路公交车,这两路公交车的数目相同,并且都是每隔十分钟就到达车站一辆(即停即走).张老师每天早晨都是在6:00到6:10之间到达车站乘车到学校,
2、这两条公交线路对他是一样的,都可以到达学校,甲路公交车的到站时间是6:09,6:19，6:29,6:39，,乙路公交车的到站时间是6:00,6:10,6:20,6:30,，则张老师乘坐上甲路公交车的概率是A. 10% B. 50% C. 60% D. 90%5.长江流域内某地南北两岸平行,如图所示已知游船在静水中的河流两岸示意图航行速度的大小,水流的速度的大小,设和所成角为，若游船要从航行到正北方向上位于北岸的码头处,则等于A. B. C. D. 6.已知函数则函数在上的大致图象为 A B C D7.将长、宽分别为和的长方形沿对角线折起,得到四面体,则四面体的外接球体积为A. B. C. D.
3、 1 / 28.已知抛物线，过其焦点的直线与抛物线分别交于、两点(点在第一象限)，且则直线的倾斜角为A. B. C. D. 9.对于函数下列结论中正确的是为奇函数 在定义域上是单调递减函数的图象关于点对称 在区间上存在零点10.如图,在面积为1的正方形内做四边形使以此类推,在四边形内再做四边形，记四边形的面积为，则 11.双曲线被斜率为的直线截得的弦的中点为则双曲线的离心率为 12.已知偶函数满足当时则的值为 二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.若则 .14.若复数满足则 .15.如图,一块边长的正方形铁片上有四块阴影部分,将这些阴影部分裁下来,然后用余下的四个全等的等腰三角
4、形加工成一个正四棱锥形容器,把容器的容积(单位:)表示为(单位:)的函数为 .16.已知是数列的前项和,满足,则 ;数列的前项和 .三、解答题:共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17-21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22-23题为选考题,考生根据要求作答.(一)必考题:共60分17.(12分)如图,在四棱锥中,底面为正方形,底面,为的中点,为线段上的动点.(I)求证:平面平面;()求二面角的余弦值.18.(12分)在中,角的对边分别为,且满足.(I)求角;()若,求. 1 2 3 4 5 6 购买量/kg 0.300.250.200.150.10频率/组距19.(1
5、2分)某小区超市采取有力措施保障居民正常生活的物资供应.为做好日常生活必需的甲类物资的供应,超市对社区居民户每天对甲类物资的购买量进行了调查,得到了以下频率分布直方图(如图),现从小区超市某天购买甲类物资的居民户中任意选取5户.(I)若将频率视为概率,求至少有两户购买量在单位:)的概率;()若抽取的5户中购买量在单位:)的户数为2户,从这5户中选出3户进行生活情况调查,记3户中需求量在单位:)的户数为,求的分布列和期望.20.(12分)已知椭圆,直线分别与轴轴交于两点,与椭圆交于两点.(I)若求直线的方程;()若点的坐标为求面积的最大值.21.(12分)设函数.(I)当时,求函数的单调区间;(
6、)当时,求证:(二)选考题:共10分,请考生在22、23题中任选一题作答,如果多做则按所做的第一题计分.22.【选修4-4坐标系与参数方程(10分)已知直线的参数方程为(为参数),以坐标原点为极点,轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,圆的极坐标方程为(I)求直线的普通方程和圆的直角坐标方程;()若直线与圆相交于两点,求23.选修4-5不等式选讲(10分)已知(I)求证:;()求证:.长春市2021届高三质量监测数学(理科)试题参考答案及评分参考一,选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1. B.【解题思路】所以故选B.2.D【解想思路】故且为偶函数,故选D3C【解题思路】易知在三角形中，
7、是的充要条件,故选C4.D【解思路】张老师到达车站在6：00-6:10中是等可能的,故张老师在6:00-6:09到达车站的概率为90%,故有90%的可能乘坐甲路公交车，故选D5B【解题思路】由题意知有所以选B.6A【解题思路】由可得的图象关于直线对称,排除BC,当时排除D,数选A.7. A【解题思路】中点到A,B,C,D的距离均为1,故球的体积为,故选A.8C【解题思路】如图,过A,B作AA,BB垂直准线,垂足为A,B，过B作AA垂线,垂足为C,由抛物线定义知所以,所以直线倾斜角为,故选C.9.C【解题思路】由图象可知,图象关于点对称,因此不是奇函数,在定义域内函数为增函数,在上有零点,故选C
8、.10.B【解题思路】由图可知所以其前项和为,故选B.11.B【解题思路】设代入双曲线方程作差有,有,所以故选B.12. A【解题思路】由题意可知函数的周期为4,又当时则当时则故选A二、填空题(本大题共4小题,每小题5分，共20分)13. 【解题思路】14. 【解题思路】设有15. 【解题思路】由题意可知,正四棱锥的高为,所以容积16. ，【解题思路】,所以,故的前项和.三，简答题17.【答案】(1)因为,E为PB中点,所以因为平面ABCD,所以由所以BC平面PAB,所以又所以AE平面PAB,所以平面平面PAB.(2)法1:取中点G,连结GE,GD,由,所以故平面EDC,因为PA平面ABCD,
9、所以由所以CD平面PAD,所以所以PDG为二面角的平面角,在中所以(12分)法2:以A为原点,AB,AD,AP为x,y,z轴,建立空间直角坐标系,有设平面PCD的一个法向量为平面ECD的一个法向量为有，又，,所以即二面角 P-DC-E的余弦值为(12分)18. 【答案】(1)由正弦定理知有,所以（6分）所以，,所以(12分)19【答案】分)(2) 的可能值为0,1,2；的分布列为20【答案】(1)设联立直线方程与椭圆方程有有有，所以AB中点坐标为由中点坐标为因为所以线段MN的中点与AB的中点重合,有解得(6分)(2)由(1)可知因为所以所以当k=0时面积最大.(12分)21.【答案】时，令可化为即易知为增函数,且所以当时单调递减,当时单调递增又,所以当时单调递增,当时单调递减.(4分)(2)令可化为,当时,易知为上增函数,当时；当时；当时,而所以存在即当t时单调递减,当t时单调递增:所以.(12分)22.【答案】(1)直线的普通方程是,圆的直角坐标方程是（5分）(2)圆心(1,2)到直线的距离圆半径所以|（10分）23.【答案】(1)证明:因为, 所以,(当且仅当时取等号)(5分)(2)因为,所以所以,当且仅当时取等号(10分)
