1、23.1直线与平面垂直的判定学习目标1.理解直线与平面垂直的定义；2.掌握直线与平面垂直的判定定理的内容及其应用；3.应用直线与平面垂直的判定定理解决问题知识点一直线与平面垂直的定义思考1 在阳光下观察直立于地面的旗杆及它在地面上的影子，随着时间的变化，影子的位置在移动，在各个时刻旗杆所在的直线与其影子所在的直线夹角是否发生变化，为多少？答案不变，90.定义如果直线l与平面内的任意一条直线都垂直，我们就说直线l与平面互相垂直记法l有关概念直线l叫做平面的垂线，平面叫做直线l的垂面，它们唯一的公共点P叫做垂足图示画法画直线与平面垂直时，通常把直线画成与表示平面的平行四边形的一边垂直知识点二直线和
2、平面垂直的判定定理将一块三角形纸片ABC沿折痕AD折起，将翻折后的纸片竖起放置在桌面上(BD，DC与桌面接触)观察折痕AD与桌面的位置关系思考1折痕AD与桌面一定垂直吗？答案不一定思考2当折痕AD满足什么条件时，AD与桌面垂直？答案当ADBD且ADCD时，折痕AD与桌面垂直文字语言一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直符号语言la，lb，a，b，abPl图形语言知识点三直线与平面所成的角有关概念对应图形斜线与平面相交，但不和平面垂直，图中直线PA斜足斜线和平面的交点，图中点A射影过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线，过垂足和斜足的直线叫做斜线在这个平面内的射影，图中斜线P
3、A在平面上的射影为直线AO直线与平面所成的角定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，图中PAO规定：一条直线垂直于平面，它们所成的角是90；一条直线和平面平行，或在平面内，它们所成的角是0取值范围设直线与平面所成的角为，090类型一直线和平面垂直的定义例1下列命题中，正确的序号是_若直线l与平面内的无数条直线垂直，则l；若直线l与平面内的一条直线垂直，则l；若直线l不垂直于平面，则内没有与l垂直的直线；若直线l不垂直于平面，则内也可以有无数条直线与l垂直；过一点和已知平面垂直的直线有且只有一条答案解析当直线l与平面内的无数条平行直线垂直时，l与不一定垂直，所以不正确；当l与内的一条直
4、线垂直时，不能保证l与平面垂直，所以不正确；当l与不垂直时，l可能与内的无数条平行直线垂直，所以不正确，正确；过一点有且只有一条直线垂直于已知平面，所以正确故填.反思与感悟1.直线和平面垂直的定义是描述性定义，对直线的任意性要注意理解实际上，“任何一条”与“所有”表达相同的含义当直线与平面垂直时，该直线就垂直于这个平面内的任何直线由此可知，如果一条直线与一个平面内的一条直线不垂直，那么这条直线就一定不与这个平面垂直2由定义可得线面垂直线线垂直，即若a，b，则ab.跟踪训练1下面叙述中：若直线垂直于平面内的两条直线，则这条直线与平面垂直；若直线与平面内的任意一条直线都垂直，则这条直线与平面垂直；
5、若直线垂直于梯形的两腰所在的直线，则这条直线垂直于两底边所在的直线；若直线垂直于梯形的两底边所在的直线，则这条直线垂直于两腰所在的直线其中正确的有()A1个 B2个 C3个 D4个答案B解析中若两条直线为平行直线，则这条直线不一定与平面垂直，所以不正确；由定义知正确；中直线与梯形的两腰所在直线垂直，则与梯形所在平面垂直，由定义知也与两底边所在直线垂直，所以正确；中直线与梯形两底边所在直线垂直，则不一定与梯形所在平面垂直，故不一定与两腰所在直线垂直，不正确故选B.类型二线面垂直的判定例2在平面内有直角BCD，AB平面，求证CD平面ABC.解如图所示CD平面ABC.反思与感悟1.使用直线与平面垂直
6、的判定定理的关键是在平面内找到两条相交直线都与已知直线垂直，即把线面垂直转化为线线垂直来解决2线面垂直的定义具有双重作用：判定和性质，证题时常用它作为性质使用，即“如果一条直线垂直于一个平面，那么这条直线就垂直于平面内的任意一条直线”跟踪训练2如图，在三棱锥SABC中，ABC90，D是AC的中点，且SASBSC.(1)求证：SD平面ABC；(2)若ABBC，求证：BD平面SAC.证明(1)因为SASC，D是AC的中点，所以SDAC.在RtABC中，ADBD，由已知SASB，所以ADSBDS，所以SDBD.又ACBDD，所以SD平面ABC.(2)因为ABBC，D为AC的中点，所以BDAC.由(1
7、)知SDBD.又因为SDACD，所以BD平面SAC.类型三直线与平面所成的角例3如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，(1)求A1B与平面AA1D1D所成的角；(2)求A1B与平面BB1D1D所成的角解(1)AB平面AA1D1D，AA1B就是A1B与平面AA1D1D所成的角，在RtAA1B中，BAA190，ABAA1，AA1B45，A1B与平面AA1D1D所成的角是45.(2)连接A1C1交B1D1于点O，连接BO，A1OB1D1，BB1A1O，A1O平面BB1D1D，A1BO就是A1B与平面BB1D1D所成的角，设正方体的棱长为1，A1B，A1O.又A1OB90，sin A1BO，A1B
8、O30.A1B与平面BB1D1D所成的角是30.反思与感悟求斜线与平面所成角的步骤(1)作图：作(或找)出斜线在平面内的射影，作射影要过斜线上一点作平面的垂线，再过垂足和斜足作直线，注意斜线上点的选取以及垂足的位置要与问题中已知量有关，才能便于计算(2)证明：证明某平面角就是斜线与平面所成的角(3)计算：通常在垂线段、斜线和射影所组成的直角三角形中计算跟踪训练3如图，在三棱锥ABCA1B1C1中，BAC90，ABAC2，AA14，A1在底面ABC的射影为BC的中点，D为B1C1的中点(1)证明：A1D平面A1BC.(2)求直线A1B和平面BB1C1C所成的角的正弦值解(1)取BC的中点E，连接
9、A1E，DE，AE，由题意得A1E平面ABC，所以A1EAE，因为ABAC，所以AEBC，故AE平面A1BC，由D，E分别是B1C1，BC的中点，得DEB1B且DEB1B，所以DEA1A，所以四边形A1AED是平行四边形，故A1DAE，又因为AE平面A1BC，所以A1D平面A1BC.(2)作A1FDE，垂足为F，连接BF.因为A1E平面ABC，所以BCA1E.因为BCAE，所以BC平面AA1DE.所以BCA1F，A1F平面BB1C1C.所以A1BF为直线A1B与平面BB1C1C所成的角由ABAC2，CAB90，得EAEB.由A1EAA1EB90，得A1AA1B4，A1E.由DEBB14，DA1
10、EA，DA1E90，得A1F.所以sin A1BF.1空间中直线l和三角形的两边AC，BC同时垂直，则这条直线和三角形的第三边AB的位置关系是()A平行 B垂直C相交 D不确定答案B解析由于直线l和三角形的两边AC，BC同时垂直，而这两边相交于点C，所以直线l和三角形所在的平面垂直，又因三角形的第三边AB在这个平面内，所以lAB.2直线l平面，直线m，则l与m不可能()A平行 B相交C异面 D垂直答案A解析若lm，l，m，l，这与已知l矛盾所以直线l与m不可能平行3如图，在正方形SG1G2G3中，E、F分别是边G1G2，G2G3的中点，D是EF的中点，现沿SE、SF及EF把这个正方形折成一个如
11、图所示的几何体，使G1、G2、G3三点重合于点G，则下面结论成立的是()ASG平面EFG BSD平面EFGCGF平面SEF DGD平面SEF答案A解析在图中，SG1G1E，SG3G3F，因此在图中，SGGE，SGGF，又GEGFG，SG平面EFG.4.如图，RtBMC中，斜边BM5，它在平面ABC上的射影AB长为4，MBC60，求MC与平面CAB所成角的正弦值解由题意知，A是M在平面ABC内的射影，MA平面ABC，MC在平面CAB内的射影为AC.MCA即为直线MC与平面CAB所成的角又在RtBMC中，BM5，MBC60，MCBMsin MBC5sin 605.在RtMAB中，MA3.在RtMA
12、C中，sinMCA.故MC与平面CAB所成角的正弦值为.5.如图，已知PA圆O所在平面，AB为圆O的直径，C是圆周上的任意一点，过A作AEPC于E.求证：AE平面PBC.证明PA平面ABC，BC平面ABC，PABC.ACBC，ACPAA，BC平面PAC.AE平面PAC，BCAE.又PCAE，BCPCC，PC平面PBC，BC平面PBC，AE平面PBC.1线线垂直和线面垂直的相互转化2证明线面垂直的方法(1)线面垂直的定义(2)线面垂直的判定定理(3)如果两条平行直线的一条直线垂直于一个平面，那么另一条直线也垂直于这个平面(4)如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，那么它也垂直于另一个平面一
13、、选择题1下列条件中，能判定直线l平面的是()Al与平面内的两条直线垂直Bl与平面内的无数条直线垂直Cl与平面内的某一条直线垂直Dl与平面内的任意一条直线垂直答案D解析根据线面垂直的定义可知，l垂直于内的所有直线时，l.2如果一条直线垂直于一个平面内的下列各种情况，能保证该直线与平面垂直的是()三角形的两边；梯形的两边；圆的两条直径；正六边形的两条边A B C D答案A解析由线面垂直的判定定理知，直线垂直于图形所在的平面而图形中的两边不一定相交，故该直线与它们所在的平面不一定垂直3空间四边形ABCD的四边相等，则它的两对角线AC、BD的关系是()A垂直且相交B相交但不一定垂直C垂直但不相交D不
14、垂直也不相交答案C解析如图，取BD中点O，连接AO，CO，则BDAO，BDCO，BD面AOC，又AC面AOC，BDAC.又BD、AC异面，不相交故选C.4.如图所示，定点A和B都在平面内，定点P，PB，C是平面内异于A和B的动点，且PCAC，则ABC为()A锐角三角形B直角三角形C钝角三角形D无法确定答案B解析易证AC面PBC，所以ACBC.5下列说法中错误的个数是()若直线m平面，直线lm，则l.若直线l和平面内的无数条直线垂直，则直线l与平面必相交过平面外一点有且只有一条直线和平面垂直过直线a外一点有且只有一个平面和直线a垂直A0 B1 C2 D3答案C解析错误若直线m平面，直线lm，则l
15、与平行、相交或l在内、l都有可能错误若直线l和平面内的无数条直线垂直，则直线l与平面平行、相交或l在内都有可能正确如图，假如l1与l2都过点P，且都与平面垂直，设垂足分别为A与B.在平面PAB内，过一点有两条直线l1，l2与已知直线垂直，这是不可能的所以l1和l2重合正确不论点A是否在直线a上(如图)，设过点A与直线a垂直的平面为.如果还有一个平面过点A与直线a垂直，且l，设过点A和直线a且不过l的平面为，且b，c.因为a，a，所以ab，ac，这样在同一平面内，过一点A就有两条直线b，c都与a垂直，这是不可能的所以，过点A和直线a垂直的平面只有一个6.如图，三棱锥VABC中，VO平面ABC，O
16、CD，VAVB，ADBD，则下列结论中不一定成立的是()AACBCBVCVDCABVCDSVCDABSABCVO答案B解析因为VAVB，所以VDAB.因为VO平面ABC，AB平面ABC，所以VOAB.又VOVDV，VO平面VCD，VD平面VCD，所以AB平面VCD，又CD平面VCD，VC平面VCD，所以ABVC，ABCD.又ADBD，所以ACBC(线段垂直平分线的性质)因为VO平面ABC，所以VVABCSABCVO.因为AB平面VCD，所以VVABCVBVCDVAVCDSVCDBDSVCDADSVCD(BDAD)SVCDAB，所以SABCVOSVCDAB，即SVCDABSABCVO.综上知，A
17、，C，D正确二、填空题7.如图，在空间四边形ABCD中，AB，BC，CD，DA的长和两条对角线AC，BD都相等，且E为AD的中点，F为BC的中点，则直线BE和平面ADF所成的角的正弦值为_答案解析由已知得，BDC和ABC是全等的等边三角形且F是BC的中点，所以BFFD，BFAF.又FDAFF，故BF平面AFD. 连接EF，则EF是BE所在平面AFD内的射影，BEF是BE与平面AFD所成的角设空间四边形ABCD边长为a，则在等边三角形ABD中BEa；在RtBFE中，BFBCa.故sinBEF.8.如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，M、N分别是棱AA1和AB上的点，若B1MN是直角，则
18、C1MN_.答案90解析B1C1面ABB1A1，B1C1MN.又MNB1M，MN面C1B1M，又C1M面C1B1M，MNC1M.C1MN90.9在直三棱柱ABCA1B1C1中，BCCC1，当底面A1B1C1满足条件_时，有AB1BC1.(注：填上你认为正确的一种条件即可，不必考虑所有可能的情况)答案A1C1B190解析如图所示，连接B1C，由BCCC1，可得BC1B1C，因此，要证AB1BC1，则只要证明BC1平面AB1C，即只要证ACBC1即可，由直三棱柱可知，只要证ACBC即可因为A1C1AC，B1C1BC，故只要证A1C1B1C1即可(或者能推出A1C1B1C1的条件，如A1C1B190
19、等)10.如图，四棱锥SABCD底面为正方形，SD底面ABCD，则下列结论中正确的有_个ACSB；AB平面SCD；SA与平面ABCD所成的角是SAD；AB与SC所成的角等于DC与SC所成的角答案4解析SD平面ABCD，SDAC， 四边形ABCD为正方形，BDAC，AC平面SBD，ACSB，故正确. ABCD，AB平面SDC，AB平面SCD，故正确SD平面ABCD，SA在底面上的射影为AD，SA与底面ABCD所成的角为SAD，正确ABCD，故也正确三、解答题11.如图，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为2.(1)求证：ACB1D；(2)求三棱锥CBDB1的体积(1)证明如图，ABCDA1B1
20、C1D1为正方体，BB1平面ABCD.AC平面ABCD，BB1AC.又底面ABCD为正方形，ACBD.BB1BDB，AC平面BB1D.B1D平面BDB1，ACB1D.(2)解由(1)知ACB1D，又ACBD，AC平面BDB1，设AC与BD交于点O，则CO为三棱锥CBDB1的高，CO22，三棱锥CBDB1的体积为.12如图，四棱锥PABCD中，底面ABCD为矩形，PD底面ABCD，ADPD，E，F分别为CD，PB的中点(1)求证：EF平面PAB.(2)设ABBC，求AC与平面AEF所成角的正弦值解(1)连接BE，EP.由题意知PDEBCE90，因为EDCE，PDADBC，所以RtPDERtBCE
21、，所以PEBE.因为F为PB中点，所以EFPB.因为PD底面ABCD，所以PDAB，因为DAAB，PDADD，所以AB平面PAD，所以PAAB.在RtPAB中，因为PFBF，所以PFAF.又因为PEBEEA，所以EFPEFA，所以EFFA.因为PBAFF，所以EF平面PAB.(2)不妨设BC1，则AB，AC.所以PAB为等腰直角三角形，且PB2.因为F是PB的中点，所以BF1，又AFPB，EFPB，AFEFF，PB平面AEF，连接BE交AC于G，在EF上取点H，使，连接AH，则GHBF，GH面AEF，HAG为AC与平面AEF所成的角，GHBF，AGAC，sinHAG.13.如图，PA矩形ABCD所在的平面，M、N分别是AB、PC的中点(1)求证：MN平面PAD；(2)若PD与平面ABCD所成的角为45，求证：MN平面PCD.证明(1)取PD的中点E，连接NE、AE，如图又N是PC的中点，NE綊DC.又DC綊AB，AMAB，AM綊CD，NE綊AM，四边形AMNE是平行四边形，MNAE.AE平面PAD，MN平面PAD，MN平面PAD.(2)PA平面ABCD，PDA即为PD与平面ABCD所成的角，PDA45，APAD，AEPD.又MNAE，MNPD.PA平面ABCD，PACD.又CDAD，CD平面PAD.AE平面PAD，CDAE.CDMN，又CDPDD，MN平面PCD.
