1、第11章核心考点精准研析考点一离散型随机变量及其分布列 1.某电话亭内的一部电话1小时内使用的次数记为X;某人射击2次,击中目标的环数之和记为X;测量一批电阻,在950 1 200 之间的阻值记为X;一个在数轴上随机运动的质点,它在数轴上的位置记为X.其中是离散型随机变量的是()A.B.C.D.2.若随机变量X的概率分布列为Xx1x2Pp1p2且p1=p2,则p1等于 ()A.B.C.D.3.某学习小组共12人,其中有五名是“三好学生”,现从该小组中任选5人参加竞赛,用表示这5人中“三好学生”的人数,则下列概率中等于的是 ()A.P(=1) B. P(1)C.P(1)D. P(2)4.已知随机
2、变量X的概率分布为P(X=i)= (i=1,2,3,4),则P(2X4)=_.【解析】1.选A,的变量所有取值可以一一列举,是离散型的,中的变量取值不可以一一列举,为区间内的连续型的变量.2.选B.由p1+p2=1且p2=2p1,可解得p1=.3.选B.因为P=,P=,所以P=P+P.4.因为由分布列的性质得+=1,所以a=5,所以P=P+P=+=.答案: 1.判断离散型随机变量的方法判断一个随机变量是否是离散型随机变量的关键是判断随机变量的所有取值是否可以一一列出,具体方法如下:(1)明确随机试验的所有可能结果.(2)将随机试验的结果数量化.(3)确定试验结果所对应的实数是否可以一一列出,如
3、能一一列出,则该随机变量是离散型随机变量,否则不是.2.离散型随机变量分布列的性质的应用(1)利用“所有概率之和为1”可以求相关参数的取值范围或值;(2)利用“离散型随机变量在一范围内的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和”求某些特定事件的概率;(3)可以根据性质判断所得分布列结果是否正确.考点二两点分布、超几何分布【典例】1.某学校调查高三年级学生的体育达标情况,随机抽取了一班10人,二班15人,三班12人,四班13人,四个班的达标人数分别为9,14,11,12,以这四个班的平均达标率为高三年级的达标率,若达标记1分,不达标记0分,求高三年级的一个学生的得分X的分布列.2.在心理学研究中,
4、常采用对比试验的方法评价不同心理暗示对人的影响,具体方法如下:将参加试验的志愿者随机分成两组,一组接受甲种心理暗示,另一组接受乙种心理暗示,通过对比这两组志愿者接受心理暗示后的结果来评价两种心理暗示的作用.现有6名男志愿者A1,A2,A3,A4,A5,A6和4名女志愿者B1,B2,B3,B4,从中随机抽取5人接受甲种心理暗示,另5人接受乙种心理暗示.(1)求接受甲种心理暗示的志愿者中包含A1但不包含B1的概率;(2)用X表示接受乙种心理暗示的女志愿者人数,求X的分布列.【解题导思】1.(1)先求出这四个班的平均达标率,作为高三学生的达标率.(2)因为X的取值为1,0,联想到两点分布.2.序号题
5、目拆解(1)接受甲种心理暗示的志愿者求从6男4女中取5人的方法数包含A1但不包含B1的概率求从除了A1与B1外的8人中取4人的方法数(2)用X表示接受乙种心理暗示的女志愿者人数先写出X的所有取值0,1,2,3,4求X的分布列用古典概型概率公式求X取每个值时的概率【解析】1.由题意可得这四个班的平均达标率为=0.92,所以依此估计一个高三学生的达标率为0.92,不达标率为1-0.92=0.08,所以高三年级的一个学生的得分X的分布列为X10P0.920.082.(1)记接受甲种心理暗示的志愿者中包含A1但不包含B1的事件为M,则P(M)=.(2)由题意知X可取的值为0,1,2,3,4,则P(X=
6、0)=,P(X=1)=,P(X=2)=,P(X=3)=,P(X=4)=.因此X的分布列为X01234P求超几何分布的分布列的步骤1.设袋中有80个红球,20个白球,若从袋中任取10个球,则其中恰有6个红球的概率为()A.B.C.D.【解析】选D.若随机变量X表示任取10个球中红球的个数,则X服从参数为N=100,M=80,n=10的超几何分布.取到的10个球中恰有6个红球,即X=6,P(X=6)= (注意袋中球的个数为80+20=100).2.根据以往数据测得一个学生投篮一次,投中的概率为0.44,设他投篮一次,投中记1分,否则记0分,求他的得分X的分布列.【解析】因为P(X=1)=0.44,
7、所以P(X=0)=1-0.44=0.56,所以他的得分X的分布列为X10P0.440.56考点三离散型随机变量的分布列的综合问题命题精解读考什么:(1)重点考查求离散型随机变量的分布列.(2)与数列、函数等知识交汇考查分布列问题怎么考:以统计、古典概型等实际问题为背景考查求离散型随机变量的分布列,常常以解答题形式考查,两点分布多数是以选择题或填空题形式考查,超几何分布以解答题的形式考查新趋势:结合新背景,与数列、函数等知识交汇考查分布列问题学霸好方法1.解答有关分布列问题时的注意点(1)明确随机变量的取值,掌握分布列的性质(2)求分布列时逐一求出随机变量的各个取值对应的概率,并把所有概率相加所
8、得和是1加以验证.2.交汇问题 解决分布列与统计、数列、函数等知识交汇问题,注意拆分到各个知识块中,各个击破.以统计知识为背景考查分布列【典例】某校暑假开展“名师云课”活动,获得广大家长和学生的高度赞誉,其中数学学科推出36节云课,为了更好地将课程内容呈现给学生,现对某一时段云课的点击量进行统计:点击量(单位:千)0,1(1,3(3,+)节数61812(1)现从36节云课中按照点击量采用分层抽样的方式选出6节,求选出的点击量超过3千的节数;(2)为了更好地搭建云课平台,现将云课进行剪辑,若点击量在区间0,1内,则需要花费40分钟进行剪辑,若点击量在区间(1,3内,则需要花费20分钟进行剪辑,点
9、击量超过3千,则不需要剪辑,现从(1)中选出的6节课中随机取出2节课进行剪辑,求剪辑时间X的分布列.【解析】(1)根据分层抽样可知,选出的6节课中点击量超过3 千的节数为6=2.(2)由分层抽样可知,(1)中选出的6节课中点击量在区间0,1内的有1节,点击量在区间(1,3 内的有3节,点击量在(3,+)内的有2节,故X的可能取值为0,20,40,60.P(X=0)=,P(X=20)=,P(X=40)=,P(X=60)=,则X的分布列为X0204060P求分布列的关键和关注点是什么?提示:求离散型随机变量的分布列的关键和关注点(1)关键:求随机变量取值所对应的概率,在求解时,常用随机变量取值的频
10、率来估计概率. (2)关注点:求出分布列后,注意运用分布列的两条性质检验所求的分布列是否正确. 以古典概型为背景考查分布列【典例】为振兴旅游业,四川省2019年面向国内发行总量为2 000万张的熊猫优惠卡,向省外人士发行的是熊猫金卡(简称金卡),向省内人士发行的是熊猫银卡(简称银卡).某旅游公司组织了一个有36名游客的旅游团到四川名胜旅游,其中是省外游客,其余是省内游客.在省外游客中有持金卡,在省内游客中有持银卡.(1)在该团中随机采访3名游客,求恰有1人持金卡且持银卡者少于2人的概率;(2)在该团的省内游客中随机采访3名游客,设其中持银卡人数为随机变量,求的分布列.世纪金榜导学号【解析】(1
11、)由题意得,省外游客有27人,其中9人持金卡;省内游客有9人,其中6人持银卡.设事件B为“采访该团3人中,恰有1人持金卡且持银卡者少于2人”,事件A1为“采访该团3人中,1人持金卡,0人持银卡”,事件A2为“采访该团3人中,1人持金卡,1人持银卡”. P(B)=P(A1)+P(A2)=+=+=,所以在该团中随机采访3人,恰有1人持金卡且持银卡者少于2人的概率是.(2)的可能取值为0,1,2,3,P(=0)=,P(=1)=,P(=2)=,P(=3)=,所以的分布列为0123P分布列与函数、数列等知识的交汇问题【典例】(1)由离散型随机变量X的分布列得知P=p3，则当p= _时，P取到最大值.(2
12、)随机变量X的分布列为X1234nPpn求pn；若P0，f是增函数，当p时，f0，f是减函数，所以当p=时，f取到最大值f，P取到最大值f.答案：(2)因为p1=，p2=，p3=，p4=，所以归纳得pn=.因为pn=-，所以由已知得p1+p2+p3+pn，即-+-+-+-，所以1-，解得n2 019，因为n是正整数，所以n的最大值为2 018.1. 某中学号召学生在今年春节期间至少参加一次社会公益活动(以下简称活动).该校合唱团共有100名学生,他们参加活动的次数统计如图所示.(1)求合唱团学生参加活动的人均次数;(2)从合唱团中任意选两名学生,求他们参加活动次数恰好相等的概率.(3)从合唱团
13、中任选两名学生,用表示这两人参加活动次数之差的绝对值,求随机变量的分布列.【解析】(1)由图可知,参加活动1次、2次和3次的学生人数分别为10、50和40.该合唱团学生参加活动的人均次数为=2.3.(2)从合唱团中任选两名学生,他们参加活动次数恰好相等的概率为P0= =.(3)从合唱团中任选两名学生,记“这两人中一人参加1次活动,另一人参加2次活动”为事件A,“这两人中一人参加2次活动,另一人参加3次活动”为事件B,“这两人中一人参加1次活动,另一人参加3次活动”为事件C.易知P(=1)=P(A)+P(B)= +=;P(=2)=P(C) =;所以的分布列为012P2.某花店每天以每枝5元的价格
14、从农场购进若干枝玫瑰花,然后以每枝10元的价格出售,如果当天卖不完,剩下的玫瑰花作垃圾处理.(1)若花店一天购进17枝玫瑰花,求当天的利润y(单位:元)关于当天需求量n(单位:枝,nN*)的函数解析式.(2)花店记录了100天玫瑰花的日需求量(单位:枝),整理得下表: 日需求量n14151617181920频数10201616151310以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率.若花店一天购进17枝玫瑰花,X表示当天的利润(单位:元),求X的分布列.【解析】(1)当日需求量n17时,利润y=(10-5)17=85; 当日需求量n17时,利润y=10n-85,所以y关于n的解析式为y
15、=(nN*).(2)X可取55,65,75,85,P(X=55)=0.1,P(X=65)=0.2, P(X=75)=0.16,P(X=85)=0.54.X的分布列为X55657585P0.10.20.160.541.某班级50名学生的考试分数x分布在区间50,100)内,设考试分数x的分布频率是f(x)且f(x)=考试成绩采用“5分制”,规定:考试分数在50,60)内的成绩记为1分,考试分数在60,70)内的成绩记为2分,考试分数在70,80)内的成绩记为3分,考试分数在80,90)内的成绩记为4分,考试分数在90,100)内的成绩记为5分.在50名学生中用分层抽样的方法,从成绩为1分、2分及
16、3分的学生中随机抽出6人,再从这6人中随机抽出3人,记这3人的成绩之和为(将频率视为概率).(1)求b的值,并估计该班的考试平均分数.(2)求P(=7).(3)求随机变量的分布列.【解析】(1)因为f(x)=所以-0.4+-0.4+-0.4+-+b+-+b=1,所以b=1.9.估计该班的考试平均分数为-0.455+-0.465+-0.475+-+1.985+-+1.995=76.(2)由题意可知,考试成绩记为1分,2分,3分,4分,5分的频率分别是0.1,0.2,0.3,0.3,0.1,按分层抽样的方法分别从考试成绩记为1分,2分,3分的学生中抽出1人,2人,3人,再从这6人中抽出3人,所以P
17、(=7)= =.(3)由题意,的可能取值为5,6,7,8,9,P(=5)=,P(=6)= =,P(=7)=,P(=8)=,P(=9)=.所以的分布列为:56789P 2.某校在高二年级实行选课走班教学,学校为学生提供了多种课程,其中数学学科提供5种不同层次的课程,分别称为数学1、数学2、数学3、数学4、数学5,每个学生只能从5种数学课程中选择一种学习,该校高二年级1800名学生的数学选课人数统计如表:课程数学1数学2数学3数学4数学5合计选课人数1805405403601801800为了了解数学成绩与学生选课情况之间的关系,用分层抽样的方法从这1800名学生中抽取10人进行分析.(1)从选出的
18、10名学生中随机抽取3人,求这3人中至少有2人选择数学2的概率.(2)从选出的10名学生中随机抽取3人,记这3人中选择数学2的人数为X,选择数学1的人数为Y,设随机变量=X-Y,求随机变量的分布列.【解析】抽取的10人中选修数学1的人数应为10=1人,选修数学2的人数应为10=3人,选修数学3的人数应为10=3人,选修数学4的人数应为10=2人,选修数学5的人数应为10=1人.(1)从10人中选3人共有=120种选法,并且这120种选法出现的可能性是相同的,有2人选择数学2的选法共有=21种,有3人选择数学2的选法有=1种,所以至少有2人选择数学2的概率为=.(2)X的可能取值为0,1,2,3,Y的可能取值为0,1,的可能取值为-1,0,1,2,3.P(=-1)=P(X=0,Y=1)=;P(=0)=P(X=0,Y=0)+P(X=1,Y=1)=+=+=;P(=1)=P(X=1,Y=0)+P(X=2,Y=1)=+=+=;P(=2)=P(X=2,Y=0)=;P(=3)=P(X=3,Y=0)=,所以的分布列为:-10123P- 13 -
