1、黄浦区2012学年度第一学期高三年级期终考试 数学试卷(理科)（一模） 2013年1月17日考生注意：1每位考生应同时收到试卷和答题卷两份材料，解答必须在答题卷上进行，写在试卷上的解答一律无效；2答卷前，考生务必将姓名、准考证号等相关信息在答题卷上填写清楚；3本试卷共23道试题，满分150分；考试时间120分钟一、填空题(本大题满分56分)本大题共有14题，考生应在答题卷的相应编号的空格内直接填写结果，每题填对得4分，否则一律得零分1已知集合，则【答案】【KS5U解析】因为，所以。2若(为虚数单位)为纯虚数，则实数的值为 【答案】2【KS5U解析】因为为纯虚数，所以，解得。3. 若数列的通项公
2、式为，则 【答案】【KS5U解析】因为，所以，所以。4已知直线和，则的充要条件是= 【答案】3【KS5U解析】因为的斜截式方程为，斜率存在为，所以直线的斜率也存在所以，即，所以要使，则有，解得或且，所以。5的展开式中的系数是 （用数字作答）【答案】36【KS5U解析】展开式的通项为，由，得，所以，所以的系数是36.6盒中装有形状、大小完全相同的7个球，其中红色球4个，黄色球3个若从中随机取出2个球，则所取出的2个球颜色不同的概率等于【答案】【KS5U解析】从7个球中取2个有种，颜色不同的有，所以取出的2个球颜色不同的概率等于。7已知，则的值为 【答案】【KS5U解析】由得，所以。所以。8执行右
3、边的程序框图，若，则输出的S = 【答案】【KS5U解析】由程序框图可知该程序是计算.当时，由得，所以所求的。9已知函数，且函数有且仅有两个零点，则实数的取值范围是 【答案】【KS5U解析】由得，设。做出函数的图象，当时，直线与有两个交点，所以要使有且仅有两个零点，则有，即实数的取值范围是。10已知函数的最小正周期为，若将该函数的图像向左平移个单位后，所得图像关于原点对称，则的最小值为 【答案】【KS5U解析】由题意知，所以。即。函数的图像向左平移个单位后得到函数，若函数关于原点对称，则,即，所以当时，的最小值为。11已知抛物线上一点到其焦点的距离为5，该抛物线的顶点到直线MF的距离为d，则d
4、的值为 【答案】【KS5U解析】抛物线的焦点坐标，准线方程为。因为，所以解得。所以抛物线方程为，即，所以。不妨取，则直线MF的方程为，则抛物线的顶点到直线MF的距离。12已知函数(且)满足，若是的反函数，则关于x的不等式的解集是 【答案】【KS5U解析】因为，所以，解得。因为是的反函数，所以，。所以由得，即，解得，即不等式的解集是。13已知F是双曲线：的右焦点，O是双曲线的中心，直线是双曲线的一条渐近线以线段OF为边作正三角形MOF，若点在双曲线上，则的值为 【答案】【KS5U解析】直线即是双曲线C的一条渐近线，可设双曲线方程为，即，F(, 0)，则M(,)在双曲线上，故(m0)m=3+.14
5、已知命题“若，则集合”是假命题，则实数的取值范围是 【答案】【KS5U解析】题意即不等式在时有解. 令，则，又令，则的图像是直线，不等式 有解的充要条件是，或，或，或-7m0，或-1m0-7m0.二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题卷的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分15在四边形ABCD中，且0，则四边形ABCD是 （ ）A菱形 B矩形 C直角梯形 D等腰梯形【答案】A【KS5U解析】由可知四边形ABCD为平行四边形，又0，所以，即对角线垂直，所以四边形ABCD是菱形，选A.16若（，是虚数单位），则的最小值是 （
6、）A B CD 【答案】D【KS5U解析】的几何意义为圆上点到点距离的最小值。圆心到点的距离为,所以的最小值是，选D.17若是上的奇函数，且在上单调递增，则下列结论：是偶函数；对任意的都有；在上单调递增；在上单调递增其中正确结论的个数为 （ ）A1 B2 C3 D4【答案】B【KS5U解析】取f(x)=x3，x=-1，则f(-x)+|f(x)|=f(1)+|f(-1)|=20，故错，又f(-x)=-x3在(-,0上单调减，故错. 对于，设xR，则|f(-x)|=|-f(x)|=| f(x)| y=|f(x)|是偶函数，所以对；对于，设x1-x20，f(x)在0,+)上单调递增，f(-x1) f
7、(-x2)f(0)=0 f 2(-x1) f 2 (-x2) f 2(x1) f 2 (x2)，f(x1) f(-x1)=- f 2(x1)- f 2(x2)= f(x2) f(-x2) y=f(x)f(-x)在(-,0上单调递增，故对.所以选B.18若矩阵满足下列条件：每行中的四个数所构成的集合均为；四列中至少有两列的上下两数是相同的则这样的不同矩阵的个数为 （ ）A48 B72 C168 D312【答案】C【KS5U解析】一：恰有两列的上下两数相同，取这两列，有种，从1、2、3、4中取2个数排这两列，有种，排另两列，有种，共有=144种；二：恰有三列的上下两数相同，也是恰有四列上下两数相同
8、，有=24种(只要排其中一行即可).故一共有144+24=168种.选C.三、解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题卷相应的编号规定区域内写出必要的步骤19（本题满分12分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分如图所示，在棱长为2的正方体中，,分别为线段,的中点（1）求异面直线与所成的角；（2）求三棱锥的体积20（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分8分，第2小题满分6分在ABC中，角A, B, C的对边分别为a, b, c，且A, B, C成等差数列（1）若且，求的值；（2）若，求的取值范围21（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满
9、分8分，第2小题满分6分如图所示，是一个矩形花坛，其中AB= 6米，AD = 4米现将矩形花坛扩建成一个更大的矩形花园，要求：B在上，D在上，对角线过C点， 且矩形的面积小于150平方米 （1）设长为米，矩形的面积为平方米，试用解析式将表示成的函数，并写出该函数的定义域；（2）当的长度是多少时，矩形的面积最小?并求最小面积22（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分给定椭圆C：，称圆心在原点O、半径是的圆为椭圆C的“准圆”已知椭圆C的一个焦点为，其短轴的一个端点到点的距离为（1）求椭圆C和其“准圆”的方程；（2）若点是椭圆C的“准圆”与轴正半轴的
10、交点，是椭圆C上的两相异点，且轴，求的取值范围；（3）在椭圆C的“准圆”上任取一点，过点作直线，使得与椭圆C都只有一个交点，试判断是否垂直？并说明理由23（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分7分，第3小题满分8分对于函数与常数，若恒成立，则称为函数的一个“P数对”；若恒成立，则称为函数的一个“类P数对”设函数的定义域为，且（1）若是的一个“P数对”，求；（2）若是的一个“P数对”，且当时，求在区间上的最大值与最小值；（3）若是增函数，且是的一个“类P数对”，试比较下列各组中两个式子的大小，并说明理由与+2；与 黄浦区2012学年度第一学期高三年级期终考试数学试卷（
11、理科）参考答案一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14小题，考生应在答题卷相应编号的空格内直接填写结果，每题填对得4分，否则一律得零分1；22；3； 43；536；6； 7； 8；9； 10；11； 12； 13；14二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题卷的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分15A 16D 17B 18 C三、解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题卷相应的编号规定区域内写出必要的步骤19（本题满分12分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分解：（1）连，由、
12、分别为线段、的中点，可得，故即为异面直线与所成的角 2分在正方体中，平面， 平面，在中， 所以异面直线EF与BC所成的角为 6分（2）在正方体中，由平面，平面，可知，是中点，又与相交，平面， 9分又， 故，所以三棱锥的体积为 12分20（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分8分，第2小题满分6分解：（1）A、B、C成等差数列，又,， 2分 由得， 4分又由余弦定理得， 6分由、得， 8分（2）由（1）得，即，故= 10分=， 12分由且，可得， 即，的取值范围为 14分21（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分8分，第2小题满分6分解：（1）由NDCNAM，可得，即，3分故
13、， 5分由且，可得，解得，故所求函数的解析式为，定义域为 8分（2）令，则由，可得，故 10分， 12分当且仅当，即时又，故当时，取最小值96故当的长为时，矩形的面积最小，最小面积为平方米 14分22（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分解：（1）由题意知，且，可得，故椭圆C的方程为，其“准圆”方程为 4分（2）由题意，可设，则有，又A点坐标为，故，故, 8分又，故， 所以的取值范围是 10分（3）设，则当时，则其中之一斜率不存在，另一斜率为0，显然有当时，设过且与椭圆有一个公共点的直线的斜率为，则的方程为，代入椭圆方程可得，即，由， 13分可
14、得，其中， 设的斜率分别为，则是上述方程的两个根，故，即综上可知，对于椭圆上的任意点，都有 16分23（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分7分，第3小题满分8分解：（1）由题意知恒成立，令，可得，是公差为1的等差数列，故，又，故 3分（2）当时，令，可得，解得，即时， 4分 故在上的取值范围是 又是的一个“P数对”，故恒成立， 当时， 6分 故为奇数时，在上的取值范围是； 当为偶数时，在上的取值范围是 8分所以当时，在上的最大值为，最小值为3；当为不小于3的奇数时，在上的最大值为，最小值为；当为不小于2的偶数时，在上的最大值为，最小值为10分（3）由是的一个“类P数对”，可知恒成立，即恒成立，令，可得，即对一切恒成立，所以，故 14分若，则必存在，使得， 由是增函数，故，又，故有18分
