1、2014-2015学年上海中学高三（上）期中数学试卷一、填空题（每小题4分，总分56分）1（2014秋徐汇区校级期中）已知集合A=x|1x4，B=Z为整数集，则AB=1，2，3，4考点：交集及其运算专题：集合分析：直接由交集的运算得答案解答：解：集合A=x|1x4，B=Z为整数集，AB=x|1x4Z=1，2，3，4故答案为：1，2，3，4点评：本题考查了交集及其运算，是基础题2函数y=cos2xsin2x的最小正周期为考点：三角函数中的恒等变换应用；三角函数的周期性及其求法专题：三角函数的图像与性质分析：利用倍角公式和两角和的余弦公式化y=，其中=arctan2再利用周期性公式即可得出解答：解
2、：y=，其中=arctan2最小正周期为故答案为点评：熟练掌握倍角公式和两角和的余弦公式及周期公式即可得出3（2014秋徐汇区校级期中）函数y=x21（x1）的反函数是y=（x0）考点：反函数专题：函数的性质及应用分析：由y=x21（x1），解得，把x与y互换即可得出解答：解：由y=x21（x1），解得，把x与y互换可得y=（x0）函数y=x21（x1）的反函数是y=（x0）故答案为：y=（x0）点评：本题考查了反函数的求法，属于基础题4（2014秋徐汇区校级期中）若函数f（x）=x2+|x+2a1|+a的图象关于y轴对称，则实数a考点：函数奇偶性的性质专题：函数的性质及应用分析：根据函数f（
3、x）=x2+|x+2a1|+a的图象关于y轴对称，得出x2+|x+2a1|+a=x2+|x+2a1|+a，化简得出2a1=0即看求解解答：解：函数f（x）=x2+|x+2a1|+a的图象关于y轴对称，f（x）=f（x），即x2+|x+2a1|+a=x2+|x+2a1|+a，|x+2a1|=|x2a+1|，2a1=0a=，故答案为：点评：本题考查了函数的奇偶性的定义，属于容易题，难度不大5（2014秋徐汇区校级期中）已知logab=1，则a+2b的最小值是2考点：基本不等式在最值问题中的应用专题：计算题；不等式的解法及应用分析：由于logab=1，则b=，即有ab=1（a0，且a1），则a+2b
4、=a+，运用基本不等式，即可得到最小值解答：解：由于logab=1，则b=，即有ab=1（a0，且a1），则a+2b=a+2=2，当且仅当a=时，取得最小值2故答案为：2点评：本题考查基本不等式的运用：求最值，注意一正二定三等，同时考查对数的定义，属于基础题6（2014秋徐汇区校级期中）幂函数f（x）=（m2m+1）xm的图象与y轴没有交点，则m=0考点：幂函数的概念、解析式、定义域、值域专题：函数的性质及应用分析：根据幂函数的定义，求出m的值，再验证m是否满足题意即可解答：解：根据幂函数的定义，得；m2m+1=1，解得m=0或m=1；当m=0时，f（x）=x0，图象与y轴没有交点，满足题意；
5、当m=1时，f（x）=x，图象与y轴有交点，不满足题意；综上，m=0故答案为：0点评：本题考查了幂函数的定义及其应用的问题，解题时应根据幂函数的定义，结合函数的图象与性质进行解答，是基础题7（2014秋徐汇区校级期中）偶函数f（x）在0，+）上单调递增，且f（3）=0，若f（2x1）0，则实数x的取值范围是（1，2）考点：函数奇偶性的性质专题：计算题；函数的性质及应用分析：由偶函数f（x）在0，+）上单调递增，且f（3）=0，化f（2x1）0为32x13，从而求解解答：解：偶函数f（x）在0，+）上单调递增，且f（3）=0，f（2x1）0可化为32x13，解得1x2，故答案为：（1，2）点评：
6、本题考查了函数的性质应用，属于基础题8（2014秋徐汇区校级期中）不等式恒成立，则a的取值范围是 （2，2）考点：指数函数单调性的应用专题：综合题；转化思想；演绎法分析：本题从形式上看是一个指数复合不等式，外层是指数型的函数，此类不等式的求解一般借助指数的单调性将其转化为其它不等式，再进行探究，本题可借助y=这个函数的单调性转化转化后不等式变成了一个二次不等式，再由二次函数的性质对其进行转化求解即可解答：解：由题意，考察y=，是一个减函数恒成立x2+ax2x+a2恒成立x2+（a2）xa+20恒成立=（a2）24（a+2）0 即（a2）（a2+4）0 即（a2）（a+2）0 故有2a2，即a的
7、取值范围是（2，2） 故答案为（2，2）点评：本题考点是指数函数单调性的应用，考查利用单调性解不等式，本题是一个恒成立的问题，此类问题求解的方法就是通过相关的知识进行等价、灵活地转化，变成关于参数的不等式求参数的范围，这是此类题求解的固定规律，题后应好好总结本题的解题思路及其中蕴含的知识规律与技巧规律9（2014广西）若函数f（x）=cos2x+asinx在区间（，）是减函数，则a的取值范围是（，2考点：复合三角函数的单调性专题：函数的性质及应用；三角函数的图像与性质分析：利用二倍角的余弦公式化为正弦，然后令t=sinx换元，根据给出的x的范围求出t的范围，结合二次函数的图象的开口方向及对称轴
8、的位置列式求解a的范围解答：解：由f（x）=cos2x+asinx=2sin2x+asinx+1，令t=sinx，则原函数化为y=2t2+at+1x（，）时f（x）为减函数，则y=2t2+at+1在t（，1）上为减函数，y=2t2+at+1的图象开口向下，且对称轴方程为t=，解得：a2a的取值范围是（，2故答案为：（，2点评：本题考查复合函数的单调性，考查了换元法，关键是由换元后函数为减函数求得二次函数的对称轴的位置，是中档题10（2014秋徐汇区校级期中）已知f（x）是定义在2，2上的函数，对于任意实数x1，x22，2，且x1x2时，恒有，0，则f（x）的最大值为1，则满足方程f（log2x
9、）=1的解为4考点：函数的最值及其几何意义专题：函数的性质及应用分析：根据题意得出f（x）在2，2上是单调递增数，f（2）=1，即可得出log2x=2，求解就简单多了解答：解：f（x）是定义在2，2上的函数，对于任意实数x1，x22，2，且x1x2时，恒有，0，f（x）在2，2上是单调递增数，f（x）的最大值为1，f（2）=1f（log2x）=1，log2x=2，x=4故答案为：4点评：本题考查了运用函数的单调性解方程，关键是根据数学语言判断函数的性质，属于中档题11（2014秋徐汇区校级期中）设函数f（x）=x2+loga（bx+），若f（2）=4.7，则f（2）3.3考点：函数的值专题：函
10、数的性质及应用分析：由已知得f（2）=4+loga（2b+）=4.7，解得loga（2b+）=0.7，由此能求出f（2）=4+loga（2b+）=4loga（2b+）=3.3解答：解：f（x）=x2+loga（bx+），f（2）=4.7，f（2）=4+loga（2b+）=4.7，解得loga（2b+）=0.7，f（2）=4+loga（2b+）=4loga（2b+）=40.7=3.3故答案为：3.3点评：本题考查函数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用12（2014秋徐汇区校级期中）已知AB=2，B=60，AC=b，若bM时ABC能唯一确定，则集合M=2，+）考点：余弦定
11、理的应用专题：计算题；解三角形分析：利用正弦定理列出关系式，将各自的值代入表示出b，根据C的范围求出sinC的范围，即可确定出b的范围解答：解：ABC中，ABC=60，AC=b，AB=2，由正弦定理=，得：=，即b=，0C120，0sinC1，且b2，则b的取值范围为M=2，+）故答案为：2，+）点评：此题考查了正弦定理，以及正弦函数的定义域与值域，熟练掌握正弦定理是解本题的关键13（2014徐州三模）已知P1（x1，x2），P2（x2，y2）是以原点O为圆心的单位圆上的两点，P1OP2=（为钝角）若sin（）=，则的x1x2+y1y2值为考点：简单曲线的极坐标方程专题：坐标系和参数方程分析：
12、由条件求得cos（）的值，可得cos 的值，再利用两个向量的数量积的定义、两个向量的数量积公式求得x1x2+y1y2的值解答：解：由题意可得，sin（）=0，还是钝角，cos（）=，cos=x1x2+y1y2=|cos=11（）=，故答案为：点评：本题主要考查同角三角函数的基本关系，两个向量的数量积的定义、两个向量的数量积公式，属于基础题14（2014秋徐汇区校级期中）若定义在R上的函数f（x）是奇函数，f（x2）是偶函数，且当0x2时，f（x）=，则方程f（x）=f（3）在区间（0，16）上的所有实数根之和是24考点：奇偶性与单调性的综合专题：函数的性质及应用分析：根据题意可得f（x+8）=
13、f（x），f（2x）=f（2+x），可得周期为8，x=2为对称轴，根据周期，与对称性求出方程f（x）=f（3）在区间（0，16）上的所有实数根即可解答：解：定义在R上的函数f（x）是奇函数，f（x）=f（x），f（x2）是偶函数，f（x2）=f（x2），f（2x）=f（2+x），即f（x）=f（4x），f（x+4）=f（x），f（x+8）=f（x），可得周期为8，x=2为对称轴，f（x）=f（3），x1=1，x2=3，x3=9，x4=11，x5=17，x6=19，在区间（0，16）上的所有实数根之和，x1+x2+x3+x4=1+3+9+11=24，故答案为：24点评：本题考查了函数的性质，运用
14、性质求解方程的根，属于中档题二、选择题（每小题5分，总分20分）15（2014秋徐汇区校级期中）已知函数，则下列结论正确的是（）Af（x）是偶函数Bf（x）是（，+）上的增函数Cf（x）是周期函数Df（x）的值域为1，+）考点：函数奇偶性的判断专题：函数的性质及应用分析：本题根据函数的奇偶性、单调性、周期性去判断函数是否具有奇偶性、单调性、周期性，再研究函数的值域情况不，从而得到本题结论解答：解：选项A，函数，f（1）=14+12=2，f（1）=cos（1）=cos12f（x）=f（x）f（x）不是偶函数；选项B，当x=2时，f（2）=cos（2）=1，当x=时，f（）=cos（）=1，2，f
15、（2f（），f（x）在（，+）上不是增函数；选项C，f（x）在（0，+）是增函数；f（x）不是周期函数；选项D，当x0时，y=x4+x20，当x0时，y=cosx1，1，f（x）的值域为1，+）故选D点评：本题考查了奇偶性、单调性、周期性，本题难度不大，属于基础题16已知a，b都是实数，那么“a2b2”是“ab”的（）A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断专题：常规题型分析：首先由于“a2b2”不能推出“ab”；反之，由“ab”也不能推出“a2b2”故“a2b2”是“ab”的既不充分也不必要条件解答：解：“a2b2”既不
16、能推出“ab”；反之，由“ab”也不能推出“a2b2”“a2b2”是“ab”的既不充分也不必要条件故选D点评：本小题主要考查充要条件相关知识17（2014秋徐汇区校级期中）若M=（x，y）|tany|+sin2x=0，N=（x，y）|x2+y22，则MN的元素个数是（）A4B5C8D9考点：交集及其运算专题：计算题分析：由题设知集合M=（x，y）|tany|+sin2x=0是整数点的集合，N=（x，y）|x2+y22表示圆心为（0，0），半径为的圆，由此能求出MN的元素个数解答：解：M=（x，y）|tany|+sin2x=0，集合M是整数点的集合，N=（x，y）|x2+y22表示圆心为（0，0
17、），半径为的圆面，MN=（0，0），（0，1），（0，1），（1，0），（1，0），（1，1），（1，1），（1，1），（1，1），MN的元素个数是9个故选D点评：本题考查集合的交集及其运算，是基础题解题时要认真审题，仔细解答18（2014秋徐汇区校级期中）已知f（x）=3x2x+4，fg（x）=3x4+18x3+50x2+69x+48，那么整系数多项式函数g（x）的各项系数和为（）A8B9C10D11考点：函数解析式的求解及常用方法专题：函数的性质及应用分析：先设出g（x）的表达式，将g（x）代入f（x），利用系数相等，求出g（x）的系数，从而得到答案解答：解：由题意得g（x）的表达式是二次
18、式，设g（x）=ax2+bx+c，fg（x）=3（ax2+bx+c）2（ax2+bx+c）+4=3a2x4+6abx3+（3b2+6aca2）x2+（6bcb）x+3c2c+4=3x4+18x3+50x2+69x+48，解得：，a+b+c=8，故选：A点评：本题考查了求函数的解析式问题，待定系数法是常用的方法之一，必要属于基础题三、解答题（总分74分）19（2014秋徐汇区校级期中）设函数sgn（x）=，求函数f（x）=sgn（lnx）ln2x的零点考点：函数零点的判定定理专题：计算题；函数的性质及应用分析：函数f（x）=sgn（lnx）ln2x的零点即方程f（x）=sgn（lnx）ln2x=
19、0的根，讨论求根即可解答：解：当lnx0，即x1时，f（x）=sgn（lnx）ln2x=0可化为：1ln2x=0，解得，x=e；当lnx=0，即x=1时，f（x）=sgn（lnx）ln2x=0可化为0ln21=0，显然成立；当lnx0，即0x1时，f（x）=sgn（lnx）ln2x=0可化为：1ln2x=0，无解；综上所述，x=e或x=1点评：本题考查了函数的零点与方程的根之间的关系，同时考查了分类讨论的思想，属于中档题20（2014秋徐汇区校级期中）解下列不等式：（1）|x1|+|x2|2； （2）0x1考点：其他不等式的解法专题：不等式的解法及应用分析：（1）利用数轴上0.5与2.5到1与
20、2的距离均为2，即可求得|x1|+|x2|2的解集；（2）将不等式0x1转化为不等式组分别解得的解，取其交集即可解答：解：（1）数轴上0.5与2.5到1与2的距离均为2，由|x1|+|x2|2，得x，原不等式的解集为x|x（2）0x1，解得：1x0或x1；解得：x或0x；综合得，1x或1x点评：本题考查绝对值不等式与分式不等式的解法，着重考查绝对值不等式的几何意义与解不等式组的能力，考查转化思想21（14分）（2014秋徐汇区校级期中）定义：若对任意x1、x2（a，b）恒有f（）成立，则称函数f（x）在（a，b）上为凹函数已知凹函数具有如下性质：对任意的xi（a，b）（i=1，2，n），必有f
21、（）成立，其中等号当且仅当x1=x2=xn时成立（1）试判断y=x2是否为R上的凹函数，并说明理由；（2）若x、y、zR，且x+y+2z=8，试求x2+y2+2z2的最小值并指出取得最小值时x、y、z的值考点：进行简单的合情推理专题：计算题；推理和证明分析：（1）利用凹函数的定义，即可得出结论；（2）利用题中条件：“x+y+2z=8”构造柯西不等式：（x2+y2+2z2）（12+12+2）（x+y+2z）2=64这个条件进行计算即可解答：解：（1）f（）=（）2，=（）2，对任意x1、x2（a，b）恒有f（）成立，y=x2是R上的凹函数；（2）（x2+y2+2z2）（12+12+2）（x+y+
22、2z）2=64，x2+y2+2z216，当且仅当x=y=z时取等号，x+y+2z=8，x=y=4（+1），z=4+2x2+y2+2z2的最小值为16，此时x=y=4（+1），z=4+2点评：本题考查用综合法证明不等式，关键是利用：（x2+y2+2z2）（12+12+2）（x+y+2z）2=6422（2014秋徐汇区校级期中）已知二次函数f（x）=ax2+bx+1和函数g（x）=，且a0（1）若g（x）是奇函数，试求f（x）在R上的值域；（2）若方程g（x）=x有两个不相等的实根，当b0时，判断f（x）在（1，1）上的单调性；（3）若方程g（x）=x的两实根为x1，x2f（x）=0的两根为x3，
23、x4，求使x3x1x2x4成立的a的取值范围考点：函数奇偶性的性质；二次函数的性质专题：分类讨论；函数的性质及应用；不等式的解法及应用分析：（1）根据函数g（x）为奇函数可得b=0，得到f（x）=ax2+1，结合二次函数的性质可得答案；（2）由方程g（x）=x有两个不相等的实根，可得=b24a20，即1或1，再结合二次函数的性质即可判断函数f（x）的单调性；（3）由题意可得，设为x1与x2中的一个数，则有，即有再分a0与a0两种情况讨论，进而结合等式与不等式得到关于a的不等式，进而求出a的范围得到答案解答：解：（1）因为g（x）为奇函数，所以g（x）=g（x），又函数g（x）=，则=，化简可得
24、b=0，所以f（x）=ax2+1，定义域为R，所以函数f（x）的值域为1，+）；（2）由方程g（x）=x整理可得a2x2+bx+1=0，因为方程g（x）=x有两个不相等的实根，所以=b24a20，即|1，即1或1，又因为函数f（x）=ax2+bx+1的对称轴为x=，并且a0，所以当1时，f（x）在（1，1）上是增函数；当1时，f（x）在（1，1）上是减函数（3）由可得，设为x1与x2中的一个数，则有，因为x3+x4=，x3x4=，所以有当a0时有，所以结合两式可得（aa2）20，解得：a1或a0（舍去）当a0时有，所以所以结合两式可得（aa2）20，解得：0a1（舍去）综上可得a的取值范围为（
25、1，+）点评：本题主要考查函数的奇偶性与函数的单调性，以及一元二次方程的根的分布与系数的关系，此题综合性比较强，考查了数学上一个重要的思想方法即分类讨论的思想方法，此题属于难题23（2014秋徐汇区校级期中）在ABC中，设角A、B、C的对边分别为a、b、c，且abc，（1）若b2=ac，求角B的取值范围；（2）求证：以为长的线段能构成锐角三角形；（3）当0x1时，以ax、bx、cx为长的线段是否一定能构成三角形？写出你的结论，并说明理由考点：余弦定理专题：解三角形分析：（1）由条件利用余弦定理求得cosB，可得B的范围（2）由abc，得到，即所对的角最大，设为，由余弦定理求得cos0，即为锐角
26、，可得以为长的线段能构成锐角三角形（3）当0x1时，由abc，可得ax bx cx，利用指数函数的单调性求得 ax+bxcxcx（+1）0，可得较小的两边之和大于较大的一边，故以ax、bx、cx为长的线段一定能构成三角形解答：解：（1）在ABC中，b2=ac，由余弦定理得：cosB=，则B的范围为（0，60（2）由abc，得到，即所对的角最大，设为，由余弦定理得：cos=，a，b，c为ABC的三边，a+bc，即a+bc0，20，cos0，即为锐角，则以为长的线段能构成锐角三角形（3）当0x1时，由abc，可得ax bx cx，ax+bxcx=cx+1cx（+1）=cx0，故较小的两边之和大于较大的一边，故以ax、bx、cx为长的线段一定能构成三角形点评：本题主要考查余弦定理、基本不等式、指数函数的单调性，属于基础题
