1、第2课时不等式证明的基本方法1. 已知x1，y1，求证：x2yxy21x2y2xy.证明：左边右边(yy2)x2(y21)xy1(1y)yx2(1y)x1(1y)(xy1)(x1)， x1，y1， 1y0，xy10，x10.从而左边右边0， x2yxy21x2y2xy.2. 已知a，b，x，y都是正数，且ab1，求证：(axby)(bxay)xy.证明：因为a，b，x，y都是正数，所以(axby)(bxay)ab(x2y2)xy(a2b2)ab2xyxy(a2b2)(ab)2xy.又ab1，所以(axby)(bxay)xy.当且仅当xy时等号成立3. 已知x，y，zR，且x2y3z80.求证：
2、(x1)2(y2)2(z3)214.证明：因为(x1)2(y2)2(z3)2(122232)(x1)2(y2)3(z3)2(x2y3z6)2142，当且仅当，即xz0，y4时，取等号，所以(x1)2(y2)2(z3)214.4. 已知函数f(x)|2x1|x1|，函数g(x)f(x)|x1|的值域为M.(1) 求不等式f(x)3的解集；(2) 若tM，求证：t213t.(1) 解：依题意，得f(x)于是得f(x)3或或解得1x1.即不等式f(x)3的解集为x|1x1(2) 证明：g(x)f(x)|x1|2x1|2x2|2x12x2|3，当且仅当(2x1)(2x2)0时，取等号，M3，)原不等式
3、等价于t23t1.tM，t30，t210.0.t213t.5.已知a，b，c为正实数，求证：abc.证明： a，b，c为正实数， a2b，b2c，c2a，将上面三个式子相加得abc2a2b2c， abc.6. 设a1，a2，a3均为正数，且a1a2a31，求证：9.证明：因为a1，a2，a3均为正数，且a1a2a31，所以(a1a2a3)3(a1a2a3)39(当且仅当a1a2a3时等号成立)，所以9.7. 已知正数x，y，z满足x2y3z1，求的最小值 解：(x2y3z)1491422236，当且仅当xyz时等号成立， 的最小值为36.8. 已知x0，y0，z0且xyz1，求证：x3y3z3
4、xyyzzx.证明： x0，y0，z0， x3y3z33xyz.同理x3y313xy，y3z313yz，x3z313xz.将以上各式相加，得3x33y33z333xyz3xy3yz3zx. xyz1， x3y3z3xyyzzx.9. 已知a，b，c均为正数，且a2b4c3.求的最小值，并指出取得最小值时a，b，c的值解： a2b4c3， (a1)2(b1)4(c1)10. a，b，c为正数， 由柯西不等式得(a1)2(b1)4(c1)(12)2.当且仅当(a1)22(b1)24(c1)2时，等式成立， 2(c1)2(c1)4(c1)10， c，b，a.10. 已知abc1，a，b，c0.求证：(1) abc；(2) a2b2c2.证明：(1) abc3，而abc1abc，当且仅当abc时取等号(2) 由柯西不等式得a2b2c2(abc)2，由(1)知， a2b2c2，当且仅当abc时取等号11. 已知函数f(x)，g(x).若存在实数x使f(x)g(x)a成立，求实数a的取值范围解：存在实数x使f(x)g(x)a成立，等价于f(x)g(x)的最大值大于a. f(x)g(x)1，由柯西不等式得，(1)2(31)(x214x)64， f(x)g(x)8，当且仅当x10时取等号故实数a的取值范围是(，8)
