1、 高三数学考前讲座 2016.5（概率统计、立体几何、解析几何）一、概率统计1、下列说法正确的是（ D ） 湖北省2016届高三下学期5月模拟考试 数学（理）A若样本数据的均值，则样本数据的均值为10 B相关系数，则对应回归直线方程中 C采用系统抽样法从某班按学号抽取5名同学参加活动，学号为的同学均被选出，则该班学生人数可能为60 D在某项测量中，测量结果X服从正态分布，若X在内取值范围概率为，则X在内取值的概率为2、下列说法错误的是 ( B ) 河南省六市2016届高三第二次联考数学（理）试题A自变量取值一定时，因变量的取值带有一定随机性的两个变量之间的关系叫做相关关系B在线性回归分析中，相
2、关系数r的值越大，变量间的相关性越强 C在残差图中，残差点分布的带状区域的宽度越狭窄，其模型拟合的精度越高D在回归分析中，R2为0.98的模型比R2为0.80的模型拟合得效果好3、已知某工程在很大程度上受当地年降水量的影响，施工期间的年降水量X（单位：mm）对工期延误天数Y的影响及相应的概率如下表所示：福建省福州市2016届5月高三综合质量检测数学理试题降水量X工期延误天数Y051530概率P在降水量至少是的条件下，工期延误不超过天的概率为（ D ）A.B.C.D.广东省揭阳市2016届高三第二次高考模拟数学理试题4、已知命题，命题，则下列判断正确的是(D )A.命题是假命题 B.命题是真命题
3、C.命题是假命题 D.命题是真命题解析：画出函数与的图象可知，当x1时，有，当x0且x1时，有，故命题p是真命题；当时，故q是假命题，从而有是真命题。5、将3本相同的小说，2本相同的诗集全部分给4名同学，每名同学至少1本，则不同的分法有（ B ）种A.24 B.28 C.32 D.366、在高校自主招生中，某学校获得5个推荐名额，其中清华大学2名，北京大学2名，复旦大学1名，并且北京大学和清华大学都要求必须有男生参加，学校通过选拔定下3男2女共5个推荐对象，则不同的推荐方法共有（ ）种 A.20 B. 22 C. 24 D.36广东省深圳市2016届高三第二次调研考试数学（理）试题7、位男生和
4、位女生共位同学站成一排，则位女生中有且只有两位女生相邻的概率是（ B ）A B C D 解析】 8、已知平面区域，的概率 广东省江门市2016届高三4月高考模拟数学理试题【解析】，重庆市2016届高三2月调研测试理科数学试卷 解析9、已知实数满足,在区间内任取两数,则目标函数的最小值大于的概率为( D ) A. B. C. D. 【解析】本题主要考查线性规划问题,几何概型.由题意得,画出可行域(如图所示),当过点时,取得最小值,若,画出可行域(如图正方形所示),直线如图所示,所对应的区域如图五边形形所示,而,所求概率=.故选D. 上海市嘉定区2016届高考数学一模试卷（理科） W解析10已知，
5、若，则n=5【解答】解：nN*，若，则2+22+23+2n1+2n=1212， 即（1+2）n1=242，n=5，福建省厦门市2016届高三第二次（5月）质量检测数学（理）试题答案：D 福建省宁德市2016届普通高中毕业班5月质量检查理科数学试卷现有两个箱子，箱装有红球和白球共6个，箱装有红球4个、白球1个、黄球1个现甲从箱中任取2个球，乙从箱中任取1个球若取出的3个球恰有两球颜色相同，则甲获胜，否则乙获胜为了保证公平性，箱中的红球个数应为 D （A） （B） （C） （D）二、立体几何广东省汕头市2016届高三上学期期末教学质量监测数学（理）试题1已知，是两个不同的平面，m，n是两条不同的直
6、线，下列命题真命题的是：若m，m，则； 若mn，m，则n；若=m，nm，且n，n，则n且n若m，则m【解答】解：，是两个不同的平面，m，n是两条不同的直线，知：在中：若m，m，则由面面垂直的判定理定理得，故正确；在中：若mn，m，则n或n，故错误；在中，若=m，nm，且n，n，则由线面平行判定定理得n且n，故正确若m，则m与相交、平行或m，故错误浙江省台州市2016届高三第一学期期末质量评估试题理科数学试题2、已知三棱台的底面是锐角三角形，则存在过点的平面（ D ）A.与直线和直线都平行B.与直线和直线都垂直C.与直线平行且与直线垂直D.与直线和直线所成的角相等3、已知三棱锥的三视图如图，其中
7、侧视图是边长为的正三角形，则该几何体的外接球的体积为（ B ） 东北三校2016.4 A. B. C. D. 福建省福州市2016届5月高三综合质量检测数学理试题4、一个三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积等于 A（A）（B）（C）（D）广东省深圳市2016届高三第二次调研考试数学（理）试题 5如图，网格纸上小正方形的边长为，粗线画出的是某几何体的三视图，则它的体积为（ D ）A B C D【解析】该几何体的直观图，如图：，河北省邯郸市2016届高三下学期二模数学（理）试题 W6、一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ A ）A B5 C D6 7、（2016郑州二模）在正三棱锥
8、内，有一半球，其底面与正三棱锥的底面重合，且与正三棱锥的三个侧面都相切，若半球的半径为，则正三棱锥的体积最小时，其高等于_8、过球表面上一点引三条长度相等的弦、，且两两夹角都为，若球半径为，求弦的长度_.由条件可抓住是正四面体，、为球上四点，则球心在正四面体中心，设，则截面与球心的距离，过点、的截面圆半径，所以得福建省厦门市2016届高三第二次（5月）质量检测数学（理）试题9.北京市西城区2015届高三二模数学理试题-810.在长方体，点M 为AB1 的中点，点P 为对角线AC1上的动点，点Q为底面ABCD上的动点（点P ，Q可以重合），则MPPQ 的最小值为（ C ）中国人民大学附属中学20
9、16届高三12月月考数学（理）试题（解析版）11、在棱长为2的正方体中，若点是棱上一点（含顶点），则满足的点的个数为（ C ）（A）6 （B）8 （C）12 （D）24【答案】C 提示：12、如图四边形，,.现将沿折起，当二面角处于过程中，直线与所成角的余弦值取值范围是（ ）A B C D 13、如图，在长方体中，点分别是棱,上的动点，直线与平面所成的角为，则的面积的最小值是（B） 台州3月 A B C D10北京市顺义区2016届高三3月第一次统练（一模）数学理试题14、如图，已知平面=，.是直线上的两点，是平面内的两点，且，.是平面上的一动点，且有，则四棱锥体积的最大值是（ A ）A. B
10、. C. D.点P的轨迹是半径为4的圆【试题解析】由题知：是直角三角形，又，所以。因为，所以PB=2PA。作于M，则。令AM=t，则所以即为四棱锥的高，又底面为直角梯形，所以故答案为：A福建省漳州市2016届普通高中毕业班5月质量检查理科数学试卷6、如图，网格的小正方形的边长是1，在其上用粗实线和粗虚线画出了某多面体的三视图，则这个多面体的体积是 BA1 B C D广东省佛山市普通高中2016届高三教学质量检测（二）数学理10.已知一个几何体的三视图如图 2 所示,则该几何体的体积为( )A B C D2【答案】B三、解析几何1、已知圆上有三个不同的点，且满足(其中),则实数的取值范围是( C
11、 )ABCD.重庆市2016届高三2月调研测试理科数学试卷 2、已知是圆内不在坐标轴上的一点,直线的方程为,直线被圆所截得的弦的中点为,则下列说法中正确的是 CA. 且与圆相交 B. 且与圆相切 C. 且与圆相离 D.且与圆相离【解析】本题主要考查两直线的位置关系,直线与圆的位置关系.因为直线被圆所截得的弦的中点为,所以直线,而,所以,而,所以.因为是圆内不在坐标轴上的一点,所以,而圆心到直线的距离,所以与圆相离.故选C.3.（14北京二模）已知平面上点其中，当，变化时，则满足条件的点在平面上所组成图形的面积是 ( C )A. B. C. D.广东省揭阳市2016届高三第二次高考模拟数学理试题
12、 4、已知双曲线两条渐近线的夹角为，则该双曲线的离心率为 或2 . 解析：（1）双曲线两条渐近线在y轴两旁的夹角为60时，由双曲线的对称线知，两条渐近线的倾斜角分别为60、120，所以，又，解得离心率。（2）双曲线两条渐近线在x轴两旁的夹角为60时，其中一条渐近线的倾斜角为30，所以，又，解得离心率。广东省中山市2016年高三5月高考模拟考试数学（理）试题 5、己知抛物线方程为(),焦点为,是坐标原点, 是抛物线上的一点,与轴正方向的夹角为60,若的面积为,则的值为 （ C ）A2或 B C2D2或广东省广州市2016届高中毕业班综合测试（二）数学理6、已知中心在坐标原点的椭圆的右焦点为，点关
13、于直线的对称点在椭圆上，则椭圆的方程为 . 由于两个焦点为（1,0），（1,0）所以，湖北省2016届高三下学期5月模拟考试 数学（理） W7、已知满足，则的取值范围为 DA B C D 参数方程上海市嘉定区2016届高考数学一模试卷（理科） W解析8、已知圆M过定点（2，0），圆心M在抛物线y2=4x上运动，若y轴截圆M所得的弦为AB，则|AB|等于（）A4B3C2D1解答】解：如图，圆心M在抛物线y2=4x上；设，r=；圆M的方程为：；令x=0，； y=y02； |AB|=y0+2（y02）=4故选：A福建省厦门市2016届高三第二次（5月）质量检测数学（理）试题9、10、（2016厦门一
14、模）已知椭圆的右焦点为F，P是椭圆上一点，点，当的周长最大时，的面积等于（ ） A. B. C. D.河北省邯郸市2016届高三下学期二模数学（理）试题11、已知点A是抛物线M:与圆在第一象限的公共点，且点A到抛物线M焦点F的距离为，若抛物线M上一动点到准线与到点C的距离之和的最小值为，为坐标原点，则直线OA被圆C所截得的弦长为（ C ）A2 B C D 河南省八市重点高中2016届高三4月质量检测考试数学（理）试题 W12、已知分别为双曲线的左、右焦点，点在双曲线上，满足，若的内切圆半径与外接圆半径之比为，则该双曲线的离心率为（ D ）A B C D13、如图，已知双曲线的左、右焦点分别为，
15、是双曲线右支上一点，直线交轴于点，的内切圆切边于点，若，则双曲线的渐近线方程为（D）A BC D【解答】解：设内切圆与AP切于点M，与AF1切于点N，|PF1|=m，|QF1|=n，由双曲线的定义可得|PF1|PF2|=2a，即有m（n1）=2a，由切线的性质可得|AM|=|AN|，|NF1|=|QF1|=n，|MP|=|PQ|=1，|MF2|=|NF1|=n，即有m1=n，由解得a=1，由|F1F2|=4，则c=2，b=，由双曲线=1的渐近线方程为y=x，即有渐近线方程为y=x14、抛物线的焦点为，已知点为抛物线上的两个动点，且满足,过弦的中点作抛物线准线的垂线，垂足为，则的最大值为_15、
16、已知双曲线上一点为圆心的圆与轴恰相切于双曲线的一个焦点，且与轴交于两点若为锐角三角形，则该双曲线的离心率的范围是_16、如图，已知双曲线右支上非顶点的一点关于原点的对称点为，为其右焦点，且满足，设且，则双曲线离心率的取值范围是_广东省江门市2016届高三4月高考模拟数学理试题12过双曲线的一个焦点作平行于渐近线的两直线，与双曲线分别交于、两点，若，则双曲线离心率的值所在区间是（ C ）A B C D【解析】由，得，取，点在上， 令，且， 的零点，故福建省厦门市2014届高三5月适应性考试数学理15.已知圆:和圆：，动圆与圆、圆都相切，动圆圆心的轨迹为两个椭圆，这两个椭圆的离心率分别为，则的最小
17、值为（ ）A. B . C . D. 选A北京市海淀区2014届高三上学期期末考试数学文16.直线与抛物线:交于两点，点是抛物线准线上的一点，记，其中为抛物线的顶点.下列命题中，所有正确命题的序号是_.，不是等边三角形；且，使得与垂直；无论点在准线上如何运动，总成立.潍坊3月卷某学校高一年级学生某次身体素质体能测试的原始成绩采用百分制，已知所有这些学生的原始成绩均分布在内，发布成绩使用等级制.各等级划分标准见右表.规定：A、B、C三级为合格等级，D为不合格等级.为了解该校高一年级学生身体素质情况，从中抽取了n名学生的原始成绩作为样本进行统计.按照的分组作出频率分布直方图如图1所示，样本中分数在
18、80分及以上的所有数据的茎叶图如图2所示.（I）求n和频率分布直方图中的的值；（II）根据样本估计总体的思想，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，若在该校高一学生中任选3人，求至少有1人成绩是合格等级的概率；（III）在选取的样本中，从A、C两个等级的学生中随机抽取了3名学生进行调研，记表示所抽取的3名学生中为C等级的学生人数，求随机变量的分布列及数学期望.福建省三明市2016届普通高中毕业班5月质量检查理科数学试题 W微信红包是一款可以实现收发红包、查收记录和提现的手机应用某网络运营商对甲、乙两个品牌各5种型号的手机在相同环境下，对它们抢到的红包个数进行统计，得到如下数据： 型号手机品牌
19、 甲品牌（个）438612乙品牌（个）57943（）如果抢到红包个数超过5个的手机型号为“优”，否则“非优”，请据此判断是否有85%的把握认为抢到的红包个数与手机品牌有关？（）如果不考虑其它因素，要从甲品牌的5种型号中选出3种型号的手机进行大规模宣传销售求在型号被选中的条件下，型号也被选中的概率；以表示选中的手机型号中抢到的红包超过5个的型号种数，求随机变量的分布列及数学期望 下面临界值表供参考：0.150.100.050.0250.0100.0050.001k02.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828参考公式：解：（）根据题意列出列联表如下：红包个数手机品牌优
20、非优合计甲品牌（个）325乙品牌（个）235合计5510 ，所以没有85%的理由认为抢到红包个数与手机品牌有关 4分（）令事件为“型号I被选中”；事件为“型号II被选中”，则,所以 6分随机变量的所有可能取值为, 7分； 10分 故的分布列为123 12分（2016太原一模）在某娱乐节目的一期比赛中，有6位歌手（1至6号）登台演出，由现场的百家大众媒体投票选出最受欢迎的歌手，各家媒体独立地在投票器上选出3位出彩候选人，其中媒体甲是1号歌手的歌迷，他必选1号，另在2号至6号中随机的选2名；媒体乙不欣赏2号歌手，他必不选2号；媒体丙对6位歌手的演唱没有偏爱，因此在1至6号歌手中随机的选出3名（）求
21、媒体甲选中3号且媒体乙未选中3号歌手的概率；（）X表示3号歌手得到媒体甲、乙、丙的票数之和，求X的分布列及数学期望解：（）设A表示事件：“媒体甲选中3号歌手”，事件B表示“媒体乙选中3号歌手”，事件C表示“媒体丙选中3号歌手”，媒体甲选中3号且媒体乙未选中3号歌手的概率：P（A）=P（A）（1P（B）（）P（C）=，由已知得X的可能取值为0，1，2，3，（2016邯郸一模）某种机器在一个工作班的8小时内，需要工作人员操控累计2个小时才能正常运行，当机器需用操控而无人操控时，机器自动暂停运行.每台机器在某一时刻是否用人操控彼此之间互相独立.（1） 若在一个工作班内有4台相同机器，求在同一时刻需用
22、人操控的平台数.（2） 若要求一人操控的所有机器正常运行的概率控制在不低于0.9的水平，且该人待工而闲的概率小于0.6.试探讨：一人操控1台、2台、3台机器这三种工作方案中，哪种方案符合要求，并说明理由.解：（）用表示四台机器在同一时刻需用人操控的台数，则服从二项分布：，于是.4分（）设表示台机器在同一时刻需用人操控的台数.当时，服从两点分布： 01此时，一人操控1台机器，工作人员能够及时操控机器，不会出现机器等待操控的情形，但工作人员待工而闲的概率为. 6分当时，.即的分布列为：012此时，一人操控2台机器，在同一时刻需要操控2台机器的概率为，故一人操控的2台机器正常运行的概率为.工作人员待
23、工而闲的概率为. .8分当时，.即的分布列为：0123此时，一人操控3台机器，出现机器等待工作人员操控而不能正常运行的概率为，故一人操控的3台机器正常运行的概率为.工作人员待工而闲的概率为.10分综上所述，一个工作人员操控2台机器符合要求. .12分浙江省温州市2015届高三第二次适应性测试数学理5.如图所示，在三棱锥中，平面平面， （I）求证：平面；（II）求直线与平面所成角的正弦值【解析】（I）法1：过做于 平面平面，平面平面平面 又 平面（II）解法1：过做交延长线于点，连结由（I）可知平面 又平面 过做于 又 平面 连结,则为直线与平面所成的角, 又 （I）解法2：取中点，连结，过在平
24、面上作，平面平面 平面，又 分别以为轴建立空间直角坐标系则有，设， 得 又， 平面（II）解法2：，设平面的法向量为 由，得： 取 又 解法3：过在平面中作，过作平面，如图，分别以直线为轴建立空间直角坐标系，则有：由（I）可知平面， 设平面的法向量为，由，得 取 又 广东省中山市2016年高三5月高考模拟考试数学（理）试题 W如图，直角梯形中，点分别是的中点，点在上，沿将梯形翻折，使平面平面.（1）当最小时，求证：；（2）当时，求二面角平面角的余弦值.解：（1）证明：点E、F分别是AB、CD的中点，EFBC，又ABC= AEEF， 平面AEFD平面EBCF， AE平面EBCF，AEEF，AEB
25、E，又BEEF，如图建立空间坐标系翻折前，连接AC交EF于点G，此时点G使得AG+GC最小EG=BC=2，又EA=EB=2则 ,，.（2）设，AD平面EFCB，点D到平面EFCB的距离为即为点A到平面EFCB的距离, 又, 即EG=1.设平面DBG的法向量为，则 ，即 ，取，则，.平面BCG的一个法向量为，则，所求二面角的平面角为锐角，此二面角平面角的余弦值为.福建省福州市2016届高三5月综合质量检测数学理试题如图所示，四棱锥的底面是梯形，且,平面，是中点，（）求证：平面；（）若，求直线与平面所成角的大小（）证明：取的中点，连结，如图所示因为，所以因为平面，平面，所以又因为，所以平面 因为点
26、是中点，所以，且 又因为，且，所以，且，所以四边形为平行四边形，所以，所以平面6分（）解：设点O，G分别为AD，BC的中点，连结，则，因为平面，平面，所以，所以因为，由（）知，又因为，所以，所以所以为正三角形，所以，因为平面，平面，所以又因为，所以平面故两两垂直，可以点O为原点，分别以的方向为轴的正方向，建立空间直角坐标系，如图所示，所以， 设平面的法向量，则 所以取，则，设与平面所成的角为，则， 因为，所以，所以与平面所成角的大小为12分西城2016.4如图，四边形为梯形，四边形为矩形，已知，.（）求证：平面； （）若，求平面与平面所成的锐二面角的余弦值；（）设为线段上的一个动点（端点除外）
27、，判断直线与直线能否垂直？并说明理由.福建省厦门市2016届高三第二次（5月）质量检测数学（理）试题 扫广东省中山市2016年高三5月高考模拟考试数学（理）试题已知椭圆的两个焦点，且椭圆过点， ，且是椭圆上位于第一象限的点，且的面积（1）求点的坐标；（2）过点的直线与椭圆相交与点，直线与轴相交与两点，点，则是否为定值，如果是定值，求出这个定值，如果不是请说明理由.解：因为椭圆椭圆 过点， ，计算的得出，椭圆的方程为： 的面积， ，代入椭圆方程. ，计算得出，（2）解法一：设直线的方程为：，直线的方程为：，可得：即直线 的方程为：，可得：即联立消去整理的：.由，可得； 故为定值，且.解法二、设，
28、直线、的斜率分别为，由得，可得：， 由， 令，得，即同理的，即，则 故为定值，该定值为北京市西城区2016届高三二模考试数学理试题19、已知椭圆的两个焦点和短轴的两个顶点构成的四边形是一个正方形，且其周长为.（）求椭圆的方程；（）设过点的直线与椭圆相交于两点，点关于原点的对称点为，若点总在以线段为直径的圆内，求的取值范围.（）解：由题意，得： 2分 又因为 解得， 4分 所以椭圆C的方程为. 5分（）解：（方法一） 当直线的斜率不存在时，由题意知的方程为， 此时E，F为椭圆的上下顶点，且， 因为点总在以线段为直径的圆内，且， 所以. 故点B在椭圆内. 6分 当直线的斜率存在时，设的方程为. 由
29、方程组 得， 8分 因为点B在椭圆内， 所以直线与椭圆C有两个公共点，即. 设，则，. 9分 因为点D总在以线段EF为直径的圆内， 所以. 11分 因为， 所以 ， 整理，得. 13分而（当且仅当时等号成立）. 所以， 由，得. 综上，m的取值范围是. 14分 （方法二） 则，. 9分设的中点， 则，所以. 10分 所以， . 11分 因为点D总在以线段EF为直径的圆内， 所以对于恒成立. 所以 . 化简，得， 整理，得， 13分 （以下与方法一相同，略）北京市海淀区2016届高三下学期期末考试（二模）数学理解：（）因为，所以代入，得到， 1分又，所以，所以， 2分代入，得到， 3分所以. 5
30、分（）法一：设直线的方程为. 则 7分由, 得,所以 9分又, 11分又注意到，所以，所以， 12分因为，所以, 所以. 13分法二：设直线的方程为 .由, 得,所以 7分, 8分点到直线的距离为, 所以9分又, 11分又注意到，所以，所以， 12分因为，所以,所以. 13分法三：直线的方程为 , 6分所以点到直线的距离为 7分又, 8分所以又 9分所以 10分因为, 所以 11分代入得到， 12分因为, 当且仅当时取等号，所以. 13分广东省广州市2016届高中毕业班综合测试（二）数学理已知点，点是直线上的动点，过作直线，线段的垂直平分线与交于点.()求点的轨迹的方程；()若点是直线上两个不
31、同的点, 且的内切圆方程为，直 线的斜率为，求的取值范围.解析： ()解:依题意,点到点的距离等于它到直线的距离, 1分 点的轨迹是以点为焦点，直线为准线的抛物线. 2分 曲线的方程为. 3分()解法1：设点，点，点， 直线方程为：， 4分 化简得，. 的内切圆方程为， 圆心到直线的距离为，即. 5分 故. 易知，上式化简得，.6分 同理，有. 7分 是关于的方程的两根. ， . 8分 .9分 ， . 直线的斜率，则. . 10分 函数在上单调递增， . . . 11分 . 的取值范围为. 12分解法4：设点，如图，设直线，与圆相切的切点分别为， 依据平面几何性质，得， 4分 由， 5分 得，
32、 得. 6分得.7分故. 8分 依题意,. . 9分 直线的斜率，则. . 10分 函数在上单调递增， . . . 11分 . 的取值范围为. 12分浙江省杭州市2016届第二次高考科目教学质量检测数学理试题设直线与抛物线交于两点，与椭圆交于，两点，直线（为坐标原点）的斜率分别为，若.（1）是否存在实数，满足，并说明理由；（2）求面积的最大值.解：设直线方程为，.联立和，得，则，.由，所以，得.联立和，得，所以，.由，得.（1）因为，所以.（2）根据弦长公式，得：，根据点到直线的距离公式，得，所以，设，则，所以当，即时，有最大值.(第19题图)（浙江省台州市2016年高三3月第一次调考数学（理）如图,已知椭圆：的上顶点为,离心率为. （）求椭圆的方程；（）若过点作圆的两条切线分别与椭圆相交于点(不同于点).当变化时,试问直线是否过某个定点？若是，求出该定点；若不是，请说明理由.解：（） 由已知可得, ,所求椭圆的方程为 -5分（）设切线方程为，则，即，设两切线的斜率为，则是上述方程的两根，所以 ； -8分 由得：， 所以， 同理可得：，-12分 所以， 于是直线方程为， 令，得， 故直线过定点. -15分
