1、7.5正 态 分 布新版课程标准学业水平要求1.通过误差模型,了解服从正态分布的随机变量.通过具体实例、借助频率分布直方图的几何直观,了解正态分布的特征.2.了解正态分布的均值、标准差、方差及其含义.1.了解正态分布与标准正态分布的概念.(数学抽象)2.了解概率密度函数,理解正态曲线的性质.(数学抽象、直观想象)3.会利用正态曲线的性质解决简单的求概率或面积问题.(逻辑推理、数学运算)4.会求正态分布在给定区间的概率,能利用正态分布知识解决实际问题.(数学建模、数学运算)必备知识素养奠基1.正态分布(1)正态密度函数,刻画随机误差的函数f(x)=,xR,其中R,0为参数.对任意的xR,f(x)
2、0,它的图象在x轴的上方,x轴和曲线之间的区域为面积1,我们称f(x)为正态密度函数.(2)正态密度曲线:正态密度函数的图象为正态密度曲线,简称正态曲线.(3)正态分布:定义:若随机变量X的概率密度函数为f(x),则称随机变量X服从正态分布;记作:XN(,2);特例:当=0,=1时,称随机变量X服从标准正态分布.若XN(,2),怎样表示上图中阴影A,B的面积?提示:阴影A的面积P(Xx);阴影B的面积P(aXb).2.正态曲线的特点(1)曲线是单峰的,它关于直线x=对称;(2)曲线在x=处达到峰值;(3)当无限增大时,曲线无限接近于x轴.,取值不同对正态曲线有何影响?提示:当参数取固定值时,正
3、态曲线的位置由确定,且随着的变化而沿x轴平移;当取定值时,当较小时,峰值高,曲线“瘦小”,表示随机变量x的分布比较集中,当较大时,峰值低,曲线“矮胖”,表示随机变量x分布比较分散.3.XN(,2)在区间-k,+k上的概率(1)概率:P(-X+)0.682 7,P(-2X+2)0.954 5,P(-3X+3)0.997 3(2)3原则:通常认为服从正态分布N(,2)的随机变量X只取-3,+3中的值.1.思维辨析(对的打“”,错的打“”)(1)正态曲线是一条钟形曲线.()(2)正态曲线在x轴的上方,并且关于直线x=对称.()(3)=0.841 3.()提示:(1).由正态分布曲线的形状可知该说法正
4、确.(2).正态曲线关于直线x=对称.(3).=P=0.5+0.341 3+0.135 9=0.977 2.2.设XN(10,0.64),则D(X)等于()A.0.8B.0.64C.0.642D.6.4【解析】选B.因为XN(10,0.64),所以D(X)=0.64.3.已知正态总体落在区间(0.2,+)上的概率是0.5,那么相应的正态曲线f(x)在x=_时,达到最高点.【解析】由正态曲线关于直线x=对称和在区间(0.2,+)上的概率为0.5,得=0.2.答案:0.2关键能力素养形成类型一利用正态曲线求面积或概率【典例】设随机变量XN(2,9),若P(Xc+1)=P(Xc+1)=P(Xc-1)
5、,故有2-(c-1)=(c+1)-2,所以c=2.(2)根据正态曲线的对称性,所求面积为区间对应的面积的2倍,即约为0.682 7.(3)P(-4X8)=P(2-23X2+23)=P(-2X+2)0.954 5.【内化悟】利用正态曲线求概率需要弄清哪些问题?提示:(1),的取值;(2)画出正态曲线.【类题通】利用正态分布求概率的两个方法1.对称法:由于正态曲线是关于直线x=对称的,且概率的和为1,故关于直线x=对称的区间上概率相等.如:(1)P(Xa)=1-P(Xa);(2)P(X+a).2.“3”法:利用X落在区间-,+,-2,+2,-3,+3内的概率分别是0.682 7,0.954 5,0
6、.997 3求解.【习练破】1.正态曲线与x轴在区间内所围的面积为()A.0.5B.0.341 3C.0.158 65D.0.021 5【解析】选C.根据正态曲线的对称性,所求区间的面积约为=0.158 65.2.已知随机变量XN(2,2),若P(Xa)=0.32,则P(aX4-a)=_.【解析】由正态分布图像的对称性可得:P(aX4-a)=1-2P(Xa)=0.36.答案:0.36类型二实际问题中的正态分布角度1求给定区间的概率【典例】数学考试试卷满分是150分,设在一次考试中,某班学生的分数X近似服从正态分布,且均值为110,标准差为20.求这个班在这次数学考试中分数在90分以上的概率.【
7、思维引】将P(X90)转化为P(X-),然后利用对称性及概率和为1,得到2P(X-)+0.682 7=1,进而求出P(X90)的值.【解析】由题意可知,分数XN(110,202),=110,=20,P(X90)=P(X110-20)=P(X-),因为P(X-)+P(-X+)+P(X+)=2P(X-)+0.682 7=1,所以P(X-)=0.158 65,所以P(X90)=1-P(X-)=1-0.158 65=0.841 35.【素养探】本例考查实际问题中利用正态分布求概率,同时考查直观想象与数学运算的核心素养.本例条件不变,若这个班的学生共54人,求这个班在这次数学考试中130分以上的人数.【
8、解析】因为P(X130)=P(X110+20)=P(X+),所以P(X-)+P(-X+)+P(X+)=0.682 7+2P(X+)=1,所以P(X+)=0.158 65,即P(X130)=0.158 65.所以540.158 659(人),即130分以上的人数约为9人.角度2实际应用问题【典例】某设备在正常运行时,产品的质量服从正态分布,其参数为=1 000 g,2=1,为了检验设备运行是否正常,质量检验员需要随机地抽取产品,测量其质量.当检验员随机地抽取一个产品,测得其质量为1 007 g时,他立即要求停止生产,检查设备.他的决定是否有道理呢?【思维引】求出概率,通过概率值说明原因.【解析】
9、如果设备正常运行,产品质量服从正态分布N(,2),根据3原则可知,产品质量在-3=1 000-3=997 g和+3=1 000+3=1 003 g之间的概率为0.997 3,而质量超出这个范围的概率只有0.003,这是一个几乎不可能出现的事件.但是检验员随机抽取的产品为1 007 g,这说明设备的运行有可能不正常,因此检验员的决定是有道理的.【类题通】解答正态分布的实际应用题的关注点(1)方法:转化法,把普通的区间转化为3区间,由特殊区间的概率值求出.(2)理论基础:正态曲线的对称性;曲线与x轴之间的面积为1;P(-X+),P(-2X+2),P(-3X+3)的概率值.【习练破】1.红外线自动测
10、温门能有效避免测温者与被测温者的近距离接触,降低潜在的病毒感染风险,为防控新冠肺炎,某厂生产的红外线自动测温门,其测量体温误差服从正态分布N(0.1,0.32),从已经生产出的测温门中随机取出一件,则其测量体温误差在区间(0.4,0.7内的概率为()(附:若随机变量服从正态分布N(,).则P(-+)=0.682 7,P(-2+2)=0.954 5)A.0.317 4B.0.271 8C.0.135 9D.0.045 6【解析】选C.由红外线自动测温门测量体温误差服从正态分布N(0.1,0.32),得=0.1,=0.3.所以测量体温误差在区间(0.4,0.7内的概率为:P(0.40.7)=P(+
11、2)=P(-2+2)-P(-+)=0.135 9.2.某人从某城市的南郊乘公交车前往北区火车站,由于交通拥挤,所需时间X(单位:分)近似服从正态分布XN(50,102),求他在(30,60分内赶到火车站的概率.【解析】因为XN(50,102),所以=50,=10.所以P(30X60)=P(30X50)+P(50X60)=P(-2X+2)+P(-0)和N(2,)(20)的概率密度函数图像如图所示,则有()A.12,12B.12C.12,12,12【解析】选A.根据正态分布的性质:对称轴方程x=,表示正态曲线的形状.由题图可得选项A正确.2.已知随机变量服从正态分布N(3,2),则P(3)等于()
12、A.B.C.D.【解析】选D.因为N(3,2),所以=3为正态分布的对称轴,所以P(3)=.3.若随机变量服从正态分布N(0,1),已知P(-1.9)=0.028,则P(1.9)=()A.0.028B.0.056C.0.944D.0.972【解析】选D.由随机变量服从正态分布N(0,1),可得P(-1.9)=,P(1.9)=,又+=1,所以P(1.9)=1-P=1-0.028=0.972.4.已知随机变量X服从正态分布N(2,2),且P(X4)=0.84,则P(X0)=_.【解析】由XN(2,2),可知其正态曲线如图所示,对称轴为x=2,则P(X0)=P(X4)=1-P(X4)=1-0.84=0.16.答案:0.16关闭Word文档返回原板块
