1、四川省绵阳南山中学2020届高三数学仿真模拟试题（一）文（含解析）本试卷分为第卷（选择题）和第卷（非选择题），满分150分，考试时间为120分钟考生作答时，须将答案写在答题卡上，在本试卷、草稿纸上答题无效第卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1. 在复平面内，复数对应的点为，则（ ）A. B. 1C. 2D. 【答案】B【解析】分析】，代入计算得到答案【详解】复数对应的点为，则，.故选：B.【点睛】本题考查了复数的除法，复数的模，复数对应坐标，意在考查学生的计算能力和转化能力.2. 已知集合，则（ ）A. B
2、. C. D. 【答案】B【解析】【分析】先求集合B，再求，即可得答案.【详解】由，解得，则所以=故选：B.【点睛】本题考查集合的并集运算，考查分式不等式的解法，属基础题.3. 已知，则（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】利用指数函数与对数函数的单调性即可求解.【详解】，由在定义域内单调递增，则，又单调递减，所以，所以.故选：A【点睛】本题考查了指数函数、对数函数的单调性比较指数式、对数式的大小，需掌握指数函数、对数函数的图像与性质，属于基础题.4. 阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果是（ ）A. 3B. 11C. 38D. 123【答案】D【解析】【分析】
3、通过框图的要求；将第一次循环的结果写出，通过判断框；再将第二次循环的结果写出，通过判断框；再将第三次循环的结果写出，输出结果【详解】解；经过第一次循环得到，经过第二次循环得到，经过第三次循环得到，不满足判断框的条件，执行输出123.故选:D【点睛】本题考查程序框图中的循环结构，考查输出结果问题，属于基础题5. 若，则P，Q的大小关系是（ ）A. B. C. D. 由m的取值确定【答案】C【解析】【分析】平方作差即可比较出大小关系【详解】解：，所以，即，又，故选：【点睛】本题考查了数的大小比较方法、平方作差法、根式的运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题6. 函数的部分图象大致为（ ）A
4、. B. C D. 【答案】D【解析】【分析】计算函数在的值域即可判断结果.【详解】当时，所以，则所以，故函数在的值域为故D正确故选：D【点睛】本题考查根据函数的解析式判断大致图像，对这种题型一般从定义域、奇偶性、单调性、特殊值、值域入手，属基础题.7. 甲、乙等3名同学打算参加社会公益活动，现有“环境保护”和“知识传播”两项公益活动，每个同学只参加一项活动，每项公益活动至少有一名同学参加，则甲、乙两人参加同一项公益活动的概率为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】利用捆绑法计算概率得到答案.【详解】根据捆绑法：一共有种排法，甲、乙两人参加同一项公益活动有种排法，故.故选：A
5、.【点睛】本题考查了概率的计算，意在考查学生的计算能力和应用能力.8. 如图所示，在正方体中，点E为线段的中点，点F在线段上移动，异面直线与所成角最小时，其余弦值为（ ）A. 0B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线与的夹角的余弦值，根据夹角最小即可求得结果【详解】以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，在正方体中, 点E为线段的中点，设正方体棱长为2，则，,设，设异面直线与的夹角为，则,异面直线与所成角最小时，则最大，即时，.故选：C.【点睛】本题考查异面直线及其所成的角的余弦值，解题方法是建立空间直角坐标
6、系，用空间向量法表示距离、求角，属于中档题.9. 已知，且，则（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】化简式子，可得，由平方关系求出，最后利用二倍角的余弦公式，可得结果.【详解】由因为，则，所以所以，又所以则化简可得：，所以故选：C【点睛】本题考查同角三角函数的基本关系以及二倍角公式的应用，本题关键在于根式里使用平方关系以及二倍角的正弦公式化简，考查计算能力，属中档题.10. 过抛物线的焦点F的直线交抛物线于A，B两点，交y轴于点C，则（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】如图所示：根据相似得到，得到比例关系.【详解】如图所示：，故，易知，即，即，解得，故，.
7、故选：A.【点睛】本题考查了抛物线中线段的比例关系，意在考查学生的计算能力和转化能力.11. 若均为单位向量，且，则的取值范围为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】由得，根据向量数量积的运算性质可得，再结合即可得结果.【详解】均为单位向量，即，且，的取值范围为，故选：C.【点睛】本题主要考查了向量数量积的运算，熟练掌握运算性质是解题的关键，属于中档题.12. 函数，当时，恒成立，则a的取值范围为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】先令可得.又原不等式等价于在上恒成立. 令，利用导数可得恒成立，再利用三角函数的性质结合放缩法可证明当时是恒成立的.【详解】取
8、，则有，故.又时，恒成立等价于在上恒成立.令，当时，时，所以在上减函数，在为增函数，所以，故当时，有，综上，.故选：B.【点睛】本题考查含参数的不等式的恒成立，可通过赋值法缩小参数的范围，再将复杂不等式等价转化为简单不等式，利用导数或函数的性质证明不等式恒成立，本题属于难题.第卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13. 定义：以双曲线的实轴为虚轴，虚轴为实轴的双曲线与原双曲线互为共轭双曲线已知双曲线，则其共轭双曲线离心率为_【答案】【解析】【分析】本题首先可以求出双曲线的实轴长以及虚轴长，然后结合题意求出其共轭双曲线的实轴长以及虚轴长，最后根据离心率即可得出
9、结果.【详解】因为双曲线的解析式为，所以，双曲线的实轴长为，双曲线的虚轴长为，因为以双曲线的实轴为虚轴、虚轴为实轴的双曲线与原双曲线互为共轭双曲线，所以双曲线的共轭双曲线实轴长为，虚轴长为，此时，故，离心率，故答案为：.【点睛】本题考查共轭双曲线的离心率的求法，能否结合题意得出共轭双曲线的实轴长以及虚轴长是解决本题的关键，考查推理能力，是简单题.14. 已知圆被直线截得的线段长为，则圆A与圆的位置关系是_【答案】相交【解析】【分析】根据弦长公式计算得到，再计算圆心距得到答案.【详解】圆，即，圆心到直线的距离为，解得或（舍去），圆，即，故两圆相交.故答案为：相交.【点睛】本题考查了直线和圆，圆和
10、圆的位置关系，意在考查学生的计算能力和转化能力.15. 2020年5月27日中国珠穆朗玛峰测高工程队顺利登顶，将在峰顶竖立觇标，安装GNSS（全球卫星导航系统），将对这座世界最高峰的高度进行最新测量，如在水平面上的A处测得峰顶H的仰角是45，然后在另一点B处测得峰顶H的仰角是60，若H在水平面的射影为O（如图），且，则珠穆朗玛峰的最新高度_【答案】【解析】【分析】假设，依据题意可得，然后使用余弦定理，简单计算即可得结果.【详解】设由题可知：，则，在中，有又，所以则故答案为：【点睛】本题主要考查余弦定理解三角形，熟记公式，细心计算，属基础题.16. 如图，在三棱锥，平面，点E、F（E与A、D不重
11、合）分别在棱、上，且则下列结论中：正确结论的序号是_/平面；/；直线与的距离等于直线与的距离【答案】【解析】【分析】采用逐一验证法，根据线面平行，线面垂直的判定定理，以及线面距，简单判断可得结果.【详解】由，所以/，由平面，平面所以/平面，故正确平面，平面，所以又，平面平面，所以，故正确若/，则/平面，又与平面相交，故错由/平面，且平面所以直线与的距离等于直线与的距离，即为与平面的距离，故正确故答案为：【点睛】本题考查线线、线面之间的位置关系，掌握线线、线面、面面的位置关系以及平行、垂直的判定定理和性质定理，审清题意，属基础题.三、解答题：本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或
12、演算步骤17. 设数列前n项和为，已知（1）证明为等比数列；（2）设，求数列的前n项和【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】【分析】（1）由得，两式做差，可得，当时，代回原式，解得，所以，满足，即可得证；（2）根据错位相减法求数列的前n项和即可.【详解】解：（1）由得，则，即，即， 当时，解得， 故， 所以数列是以1为首项，2为公比的等比数列 （2）由（1）得，则， 设数列的前n项和为，则 -： 故【点睛】本题考查利用定义证明等比数列，错位相减求和法，解题时，需根据题干所给关系，对n进行合理赋值，再运用等比数列的定义即可得证，考查计算化简的能力，属中档题.18. 2020年新型冠状病毒肺炎
13、（简称“新冠肺炎”）成为威胁全球的公共卫生问题，中医药在本次新冠肺炎的治疗中发挥了重要作用研究人员对66例普通型新冠肺炎恢复期患者进行了中医临床特征分析，发现主要证型有气阴两虚证与肺脾气虚证，同时可能兼夹湿证为研究这两种主要证型在兼夹湿证的难易上是否有差异，研究人员将湿证症状分级量化，将所有肺脾气虚证患者的量化分作成茎叶图（1）若量化分不低于16分，即可诊断为兼夹湿证，请参考茎叶图，完成下面列联表夹湿证非夹湿证合计气阴两虚20肺脾气虚合计66（2）根据此资料，能否有99%的把握认为两种主要证型在兼夹湿证的难易上有差异？附：00500.0100.0013.8416.63510.828【答案】（1
14、）列联表见解析；（2）有99%的把握认为两种主要证型在兼夹湿证的难易上有差异.【解析】【分析】（1）根据茎叶图可得肺脾气虚证患者为兼夹湿证为，从而可完善列联表.（2）根据列联表计算观测值即可判断.【详解】解：（1）由茎叶图可得肺脾气虚证患者为兼夹湿证为，列联表如下： 夹湿证非夹湿证合计气阴两虚203454肺脾气虚10212合计303666（2）因为， 所以有99%的把握认为两种主要证型在兼夹湿证的难易上有差异【点睛】本题考查了完善列联表、独立性检验的基本思想，考查了考生的数据处理能力、分析能力，属于基础题.19. 如图，在直三棱柱中，E在棱上，且，F是边的中点，G在线段上（1）求证：；（2）求
15、点F到平面的距离【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】【分析】（1）由已知条件可证得平面，即可得由，即可证得结论；（2）借助等体积转化，由已知求得，计算求得，进而可求得点F到平面的距离【详解】解：（1）如图，因为为直三棱柱，所以，又因为，F是边的中点，所以，又，所以平面，平面，所以， （2）连接，在三棱锥中，因为，所以三角形为直角三角形，则三棱锥的高， 又在三角形中，由余弦定理，所以， 设点F到平面的距离为h，则由得：得，故点F到平面的距离为.【点睛】本题考查线面垂直的判定和性质定理，考查等体积法求点到面的距离，考查逻辑推理能力和计算能力，难度一般.20. 已知函数（1）若直线是函数与的公
16、切线，求a，b的值：（2）函数，且函数只有一个零点，求实数a的取值范围【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）假设公切线与两函数的切点，然后利用函数在某点处的几何意义，可得切点，简单计算即可得a，b（2）计算，依据题意可得在时无解，然后构造函数，计算或 ,可得结果.【详解】（1）设公切线与函数的切点分别是，由，所以，代入切线方程得； 又由，代入切线方程得 （2）因为，所以，由己知只有一个零点，则只有一解，所以在时无解； 当时，得，不符合题意，故设，则或 所以或， 故实数a的取值范围为：【点睛】本题考查导数的应用，熟悉曲线“在”，“过”某点处的切线方程的求法，以及等价转化思想的灵活应用，考
17、验分析能力以及计算能力，属中档题.21. 定义：过椭圆上的一点（不与长轴的端点重合）与椭圆的两个焦点确定的三角形称为椭圆的焦点三角形；已知过椭圆上一点P（不与长轴的端点重合）的焦点三角形，且（1）求证：焦点三角形的面积为定值；（2）已知椭圆的一个焦点三角形为，；若，求点的横坐标的范围；若，过点的直线与轴交于点，且，记，求的值【答案】（1）证明见解析；（2）或；或【解析】【分析】（1）根据椭圆定义、余弦定理及三角形面积公式推理运算即可；（2）先设出点坐标，根据焦半径公式表示出，根据余弦定理用点的横坐标表示出来，再利用的范围求出点的横坐标范围；利用（1）的结论及条件先求出点坐标，然后在中利用面积公
18、式求出即可.【详解】解：（1）证明：设，由椭圆定义有，在三角形中，由余弦定理得：，即，所以 .（2）设，由已知得：，.在三角形中，由焦半径公式得：，由余弦定理得：，代入并化简得：，故或 .由（1）可知，可得，或.（）当时，设，在三角形中，由余弦定理得：得.则，所以，所以，所以 .（）当时，同理可得综上所述，或【点睛】本题考查椭圆定义、焦半径公式、余弦定理和三角形面积公式，重点考查椭圆与三角形知识的综合应用，属于压轴题.请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分作答时请写清题号22. 在直角坐标系中，曲线C的参数方程是（为参数）以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐
19、标系（1）求曲线C的极坐标方程；（2）点A，B在曲线C上，且，求的值【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）先计算出曲线的普通方程，然后根据代入化简即可（2）根据（1）的条件，假设,依据，可得，然后计算，简单计算，可得结果.【详解】（1）由题可知：曲线C的参数方程是（为参数）则曲线C的普通方程为：又所以，则即（2）设,由，可得由（1）可知：则【点睛】本题考查参数方程、普通方程、极坐标方程相互转化，牢记，审清题意，细心计算，属中档题.23. 已知函数（1）在直角坐标系中，画出函数的图像；（2）设的最小值为m，若实数，且，求证：【答案】（1）图象见解析；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）利用分类讨论的方法去掉绝对值，可得函数的解析式，然后分段画出函数图象即可（2）根据图象可知函数的最小值，然后计算并使用基本不等式，可得结果.【详解】（1）， 作出的图像如下（2）由（1）可得，当且仅当时取等【点睛】本题考查含有多个绝对值函数图象的画法依据基本不等式的应用，熟练使用分类讨论的方法，同时掌握绝对值三角不等式，属中档题.- 24 -
