1、广西桂林市第十八中学2021届高三数学上学期第二次月考试题 理注意事项： 试卷共4页，答题卡2页。考试时间120分钟，满分150分； 正式开考前，请务必将自己的姓名、学号用黑色水性笔填写清楚填涂学号； 请将所有答案填涂或填写在答题卡相应位置，直接在试卷上做答不得分。一.选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.二.填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选作题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60分.17（本小题满分12分）18（本小题满分12分）如图，在四
2、棱锥中，是线段上的点，且，平面平面（1）证明：；（2）求直线与平面所成的角的正弦值19（本小题满分12分）张先生家住小区，他工作在科技园区，从家开车到公司上班路上有L1，L2两条路线(如图)，L1路线上有三个路口，各路口遇到红灯的概率均为；L2路线上有三个路口，各路口遇到红灯的概率依次为.(1)若L1路线，求最多遇到1次红灯的概率；(2)若走L2路线，求遇到红灯次数X的分布列和数学期望20（本小题满分12分）已知椭圆的左焦点F在直线上，且.（1）求椭圆的方程；（2）直线与椭圆交于A、C两点，线段的中点为M，射线与椭圆交于点P，点O为的重心，探求面积S是否为定值，若是，则求出这个值；若不是，则求
3、S的取值范围.21（本小题满分12分）已知函数，的图像在点处的切线为（）.（1）求函数的解析式；（2）若，且对任意恒成立，求的最大值. （二）选考题：共10分。请考生在22、23两题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分22（本小题满分10分）选修44：坐标系与参数方程以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，又在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数）。（1）求曲线的直角坐标方程和曲线的普通方程；（2）已知点在曲线上，到的最短距离为，求此时点的直角坐标23（本小题满分10分）选修45：不等式选讲已知函数.（1）不等式的解集，求（2）桂林十八中18级高三第二次月考
4、数学理科答案一、选择题：ABCAD ACDDB BC三、解答题答案 1分 2分 5分 6分7分 8分 10分 12分18证明：（1）已知可得在直角梯形 中，所以，所以又因为平面平面，平面平面所以平面，所以 2分又，所以，所以 4分故平面，又平面，所以 6分（2）如图所示建立空间直角坐标系， 7分则， 设平面的一个法向量为，由，故取 9分又 10分所以即直线与平面所成的角的正弦值为 12分19解(1)设走L1路线最多遇到1次红灯为A事件， 1分则P(A)C3C2. 3分所以走L1路线，最多遇到1次红灯的概率为. 4分(2)依题意，X的可能取值为0,1,2，3. 5分， (每对一个1分) 9分所以
5、随机变量X的分布列为X0123P11分 12分20.解析：（1）直线与x轴的交点为，1分，3分解得，椭圆的方程为 .4分（2）若直线的斜率不存在，则 .5分若直线的斜率存在，设直线的方程为， 代入椭圆方程可得 .6分设，则，.7分由题意点O为的重心，设，则，8分所以，代入椭圆，得，.9分设坐标原点O到直线的距离为d，则的面积 .11分综上可得，面积S为定值.12分21解：（1），. 1分由已知， (a,b每个得1分)3分. 4分（2）对任意恒成立， 对任意恒成立，对任意恒成立. 6分令，易知在上单调递增，又， 存在唯一的，使得，8分且当时，时，.即在单调递减，在上单调递增，又，即，. ， 10分 ， .对任意恒成立，又， . 12分22 解：（1）， 2分把， 3分得，故曲线的直角坐标方程为； 4分因为曲线的参数方程为（为参数）。消去参数得曲线的普通方程为。 5分（2）由题意，曲线的参数方程为(为参数)，可设点的直角坐标为，因为曲线是直线， 即为点到直线的距离 6分易得点到直线的距离为， 8分所以 10分23（1），1分当时，； 2分当时， 3分当时， 4分所以不等式的解集. 5分（2）由易知，当， .7分由 8分 10分
