1、四川省绵阳中学2021届高三数学7月第一次周测试题 理（平行班，含解析）第卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1已知集合，则（ ）ABCD2复数满足，则的最大值等于（ ）ABC3D3已知向量满足，且，则向量在方向上的投影为（ ）ABCD4命题，则为（ ）A，B，C，D，5过点的直线与抛物线交于两点，则面积的最小值为（ ）ABCD26将函数的图象向左平移个单位长度，得到的函数为偶函数，则实数的值为（ ）A2BCD7改编自中国神话故事的动画电影哪吒之魔童降世自7月26日首映，在不到一个月的时间，票房收入就超过了38亿元，创造了中国动画电影的
2、神话小明和同学相约去电影院观看哪吒之魔童降世，影院的三个放映厅分别在7：30，8：00，8：30开始放映，小明和同学大约在7：40至8：30之间到达影院，且他们到达影院的时间是随机的，那么他们到达后等待的时间不超过10分钟的概率是（ ）ABCD8设的展开式中各项的二项式系数之和为，的展开式中各项的二项式系数之和为，若，则的展开式中各项系数之和为（ ）A16B32C81D2439已知一个几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积为（ ）ABCD10已知实数，则的大小关系是（ ）ABCD11如图所示，在三棱锥中，点在平面内的投影恰好落在上，且，则三棱锥外接球的表面积为（ ）ABCD12若函数在上有两
3、个零点，且，则实数的最大值为（ ）ABCD第卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分13在人类与大自然的较量中，经常面对影响人类生存、反复无常的天气变化人类对天气变化经历了漫长的认识过程，积累了丰富的气象经验三国时期，孙刘联军运用气象观测经验，预报出会有一场大雾出现，并在大雾的掩护下，演出了一场“草船借箭”的好戏，令世人惊叹小明计划8月份去上海游览，受台风“利马奇”的影响，上海市8月份一天中发生雷雨天气的概率上升为08，那么小明在上海游览的3天中，只有1天不发生雷雨天气的概率约为_14已知数列、都是等差数列，其前项和分别为和，若对任意的都有，则_15是幂函数图象上的点，将的图象向右平移2个单位
4、长度，再向上平移个单位长度，得到函数的图象，若点（，且）在的图象上，则_16已知为双曲线的左右焦点，为双曲线右支上异于顶点的任意一点，若内切圆的圆心为，则圆心到圆上任意一点的距离的最小值为_三、解答题：本大题共6个大题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17（12分）在中，角所对的边分别是，（1）若，求；（2）若边上的高之比为，求面积的最大值18（12分）如图，在平行四边形中，为中点将沿折起使平面平面，得到如图所示的四棱锥（1）求证：平面平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值19（12分）足球比赛中，一队在本方罚球区内犯规，会被判罚点球，点球是进攻方非常有效的得分手段研究机构对某位
5、足球队员的1000次点球训练进行了统计分析，以帮助球员提高点球的命中率如图，将球门框内的区域分成9个区域（区域代码为19，球门框外的区域记做区域0），统计球员射点球时射中10个区域次数和进球次数（即使射中球门框内，也可能被守门员扑出），得到如下的两个频率分布条形图：（其中射中率，得分率）（1）根据上述频率分布条形图，求射中球门框内时，各区域进球数的平均数（结果保留两位小数）和中位数；（2）以该队员这1000次点球练习的进球频率作为他在比赛中射点球时进球的概率，设他在三次射点球时进球数为，求的分布列和期望20（12分）在平面直角坐标系中，的顶点，且、成等差数列（1）求的顶点的轨迹方程；（2）直线
6、与顶点的轨迹交于两点，当线段的中点落在直线上时，试问：线段的垂直平分线是否恒过定点？若过定点，求出定点的坐标；若不过定点，请说明理由21（12分）设函数（1）若函数有两个极值点，求实数的取值范围；（2）设，若当时，函数的两个极值点满足，求证：请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分22（10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】在平面直角坐标系中，曲线与曲线的参数方程分别为（为参数）和（为参数）（1）当时，求曲线与曲线的普通方程；（2）设，若曲线与曲线交于两点，求使成为定值的点的坐标23（10分）【选修4-5：不等式选讲】已知函数（1）若时，恒成立，求实数的取值范围；
7、（2）当时，求函数在上的最大值一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1【答案】C【解析】由，解得或，由，解得或，故选C2【答案】C【解析】设，由，可得，又，又在上是单调减函数，故故的最大值等于3，故选C3【答案】B【解析】因为，故可得，故，则向量在方向上的投影为，故选B4【答案】D【解析】因为全称命题的否定是特称命题，且，故，故选D5【答案】A【解析】设直线方程为，由，得，当且仅当时，即直线方程为时，取得最小值，面积的最小值为，故选A6【答案】B【解析】因为，故，故，故选B7【答案】C【解析】由题意可知，满足条件的时间段为7：508：00，
8、8：208：30，共20分钟，7：40至8：30之间共计50分钟，由几何概型知所求概率为，故选C8【答案】C【解析】由，得，解得，令，故可得的展开式中各项系数之和为，故选C9【答案】B【解析】由三视图知，该几何体为一个圆柱挖去半个球和一个圆锥，故选B10【答案】D【解析】因为，且，同理，故选D11【答案】D【解析】由已知可知平面，平面平面，又因为，平面，可构造直三棱柱，直三棱柱的外接球就是三棱锥的外接球，且球心为直三棱柱上下底面三角形外接圆圆心连线的中点在中，由正弦定理可求得外接圆半径为，外接球半径为，三棱锥外接球的表面积为，故选D12【答案】B【解析】由，可得设，则，设，设，则，为减函数，故
9、，即，由，不妨设，则，为增函数，实数的最大值为，故选B第卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分13【答案】【解析】根据题意，容易知满足题意的概率，故答案为14【答案】【解析】根据等差数列前项和的性质，可设（，且），则，故答案为15【答案】30【解析】由，得，因为点在函数上，即，故答案为16【答案】1【解析】由双曲线，则，设内切圆与的三边的切点分别为，根据圆的切线性质，可得，又因为，即，内切圆圆心在直线上，又因为圆的圆心为，半径，圆心到圆上任意一点的距离的最小值为，故答案为1三、解答题：本大题共6个大题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17【答案】（1）；（2）【解析】（1），解
10、得，或（舍），（2）设边上的高分别为、，则，由余弦定理可得，则，则由三角形两边之和大于第三边可得，解得，设，则，又，其对称轴为，且开口向下，故，当且仅当，即时，取得最大值，故三角形面积的最大值为18【答案】（1）证明见解析；（2）【解析】（1）证明：在图中连接，因为，为中点，故可得为等边三角形，故可得，在中，由余弦定理可得，解得又，故可得，在图中，平面平面，且平面平面，平面，又平面，平面平面（2）以为坐标原点，为轴，为轴，过点垂直于平面的直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，故可得，设平面的一个法向量，由，令，可得，设直线与平面所成角的正弦值为，则，直线与平面所成角的正弦值为19【答案】
11、（1）平均数为，中位数为81；（2）分布列见解析，【解析】（1）由频率分布直方图可知，射中门框内的区域1时，进球数为，同理可求得区域2-9的进球数分别为：63，91，91，81，81，81，70，70各区域进球数的平均数，容易知中位数为81（2）由（1）可知该队员这1000次点球练习的进球数：，他在比赛中射点球时进球的概率进球数为一个随机变量，可能取值为0，1，2，3，且，随机变量的分布列为：0123002701890441034320【答案】（1）；（2）恒过定点，定点【解析】（1）在中，根据正弦定理，可得，且，由椭圆定义，可知顶点的轨迹为中心在原点，以为焦点的椭圆（不包括与轴交点），轨迹方
12、程为（2）设，由，得，点落在直线上，线段的垂直平分线方程为，即，线段的垂直平分线恒过定点21【答案】（1）；（2）证明见解析【解析】（1）由已知，可知函数的定义域为，在上有两个零点，设，当时，为增函数，不存在两个零点；当时，得，时，为增函数；时，为减函数，且此时当趋近于时，趋近于负无穷；当趋近于正无穷时，趋近于负无穷故要满足题意，只需，实数的取值范围是（2）证明：，由的两根为，故可得，又，解得，设，则，当时，为增函数；当时，为减函数，令，则，在时单调递减，成立22【答案】（1），；（2）点的坐标为【解析】（1）消去参数，得到曲线的普通方程为，曲线的普通方程为（2）将的参数方程代入，可得，设，两点对应的参数分别为，当时，为定值，与曲线的倾斜角无关，点的坐标为23【答案】（1）；（2）【解析】（1），由恒成立，得，恒成立设，则，的取值范围是（2）当时，当且仅当，即时取“”号又，当时，函数在上的最大值为18
