1、陕西省汉中市 2021 届高三年级下学期 3 月第一次模拟理科数学本试卷共 23 小题，共 150 分，共 4 页。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.注意事项：1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内.2.选择题必须使用 2B 铅笔填涂；非选择题必须使用 0.5 毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚.3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效.4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑.5.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀.第卷
2、（选择题共 60 分）一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合2|20,1,0,2Ax xxB，则()RC AB（）A.2B.1,0C.0,2D.1,0,22.设复数543zii，则复数 z 在复平面内对应的点位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3.设 x是函数()3cossinf xxx的一个极值点，则 tan （）A.3B.31C.31D.34.埃及同中国一样，也是世界上著名的文明古国.古埃及人的分数运算特别奇葩而且复杂，采用的思路可以说是世界上独一无二的.古埃及人在进行分数运算时，
3、只使用分子是 1 的分数，因此这种分数叫做埃及分数，或者叫单分子分数.埃及分数求和是一个古老而饶有兴趣的数学问题，下面的几个埃及分数求和不正确的是（）A.6463641321161814121B.515015011611411212222C.1211614121D.514950321132112115.已知直线 12:(2)10,:20()laxaylxayaR，则“eea1”是“21/ll”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件6.过三点)4,2(),1,7(),1,3(CBA的圆交 y 轴于NM,两点，则MN（）A.8B.10C.4 6D.2 217.五声音
4、阶是中国古乐的基本音阶，故有成语“五音不全”，中国古乐中的五声音阶依次为：宫、商、角、徵、羽.如果从这五个音阶中任取两个音阶，排成一个两个音阶的音序，则这个音序中宫和羽至少有一个的概率为（）A21B107C209D20118.设ml,是两条不同的直线，是一个平面，则下列说法正确的是（）A.若mml,，则lB.若mll,，则/mC.若mll/,，则mD.若/,/ml，则ml/9.设1F、2F 分别为双曲线)0,0(12222babyax的左、右焦点，若在双曲线右支上存在点 P，满足212FFPF且2F 到直线1PF 的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的离心率为（）A.371 B.371 C.4
5、5D.3510.三棱柱111CBAABC 中，ABCAA平面1，2,3,1,901 AABCABABC，则三棱柱111CBAABC 的外接球的表面积为（）A.32B.16C.12D.811.若)1,1(ln1ln1lnlnyxyxyx，则（）A.1xyeB.1xyeC.11 xyeD.11 xye12.已知向量),(zyxaaaa，),(zyxbbbb，kji,是空间中的一个单位正交基底.规定向量积的行列式计算：,yxyxzxzxzyzyzyxzyxxyyxzxxzyzzybbaabbaabbaabbbaaakjikbabajbabaibababa其中行列式计算表示为bcaddcba，若向量)
6、,2,1,3(),4,1,2(ACAB则 ACAB（）A.)1,8,4(B.)8,4,1(C.)1,8,2(D.)8,4,1(第卷（非选择题共 90 分）二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.13.已知dxxm 10，向量),(23ma,6ba 与b 的夹角为3，则ba.14.设等比数列 na的第四项是4)12(xx 的展开式中的常数项，且首项31 a，则 na通项公式为na.15.为了弘扬张骞开拓进取精神，传承中华优秀传统文化，第四届中国古筝日“盛世国乐，筝韵天下”汉中片区大型公益活动在久负盛名的张骞纪念馆盛大举行。其中有百人齐奏、二重奏、独奏、小合唱、伴唱和茶艺六个
7、表演节目，如果百人齐奏必须排第一个，小合唱和伴唱不能连续出场，那么出场顺序的排法种数为.（用数字作答）16.已知函数()yf x是 R 上的偶函数，对任意的 xR都有(8)()(4)f xf xf，当4,0,21xx且21xx 时，都有.0)()()(2121xfxfxx给出下列命题：(4)0f；函数()yf x在8,12上是递增的；函数)(xfy 的图像关于直线8x 对称；函数()yf x在12,12上有四个零点.其中所有真命题的序号是.三、解答题：共 70 分.解答题写出文字说明、证明过程和演算步骤.第 1721 题是必考题，每个考生都必须作答.第 22、23 题是选考题，考生根据要求作答
8、.（一）必考题：共 60 分.17.（本小题满分 12 分）ABC的 内 角CBA,的 对 边 分 别 为cba,，满 足Abaccos22.（1）求角 B；（2）若 ABC的面积为3，13b，求 ABC的周长.18.（本小题满分 12 分）为了响应政府“节能减排”的号召，某知名品牌汽车厂家决定生产一款纯电动汽车.生产前，厂家进行了人们对纯电动汽车接受程度的调查.在 2060 岁的人群中随机抽取了 100 人，调查数据的频率分布直方图和接受纯电动汽车的人数与年龄的统计结果如图所示：（1）由 以 上 统 计 数 据 填22列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过 0.05 的前提下，认为以 44
9、岁为分界点的不同年龄人群对纯电动汽车的接受程度有差异？年龄28,2036,2844,3652,4460,52接受的人数14615281744 岁以下44 岁及 44 岁以上总计接受不接受总计（2）若以 44 岁为分界点，从不接受“纯电动汽车”的人群中，按分层抽样的方法抽取 8 人调查不接受“纯电动汽车”的原因，现从这 8 人中随机抽取 2 人.记抽到 44 岁以下的人数为 X，求随机变量 X 的分布列及数学期望.附：)()()()(22dbcadcbabcadnK19.（本小题满分 12 分）如图，四棱锥ABCDP 的底面是正方形，PD底面 ABCD，点 E 在棱 PB 上.（1）求证：平面A
10、EC平面 PDB；（2）当ABPD2，E 为 PB 的中点时，求直线 AE 与平面 PBC 所成角的正弦值.20.（本小题满分 12 分）已知椭圆012222:babyaxC的离心率为23，椭圆的中心O 到直线02 byx的距离为25.（1）求椭圆C 的方程；（2）设过椭圆C 的右焦点 F 且倾斜角为45 的直线l 和椭圆交于BA,两点，对于椭圆C 上任意一点 M，若OBOAOM，求 的最大值.20P Kk0.1000.0500.0100.0010k2.7063.8416.63510.82821.（本小题满分 12 分）已知函数aaxxexfx2)()(Ra.（1）当0a 时，求()f x 在
11、2,2上的最值；（2）设22)(axexgx，若()()()h xf xg x有两个零点，求a 的取值范围.（二）选考题：共 10 分.考生从 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.作答时用 2B 铅笔在答题卡上将所选题目对应的题号涂黑.22.（本小题满分 10 分）选修 4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系 xOy 中，直线l 的参数方程为tytx222221(t 为参数)，以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C 的极坐标方程为)0(cos2sin 2aa，直线l 交曲线C 于BA,两点.（1）写出直线l 的极坐标方程和曲线C 的直角坐标方程；（2）
12、设点 M 的直角坐标为)2,1(，若点 M 到BA,两点的距离之积是 16，求 a 的值.23.（本小题满分 10 分）选修 4-5：不等式选讲已知函数142)(xxxf.（1）求不等式()6f x 的解集；（2）若不等式2()2f xaa对一切实数 x 恒成立，求实数 a 的取值范围.汉中市 2021 届高三年级教学质量第一次检测考试理科数学参考答案一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.题号123456789101112答案BACBADBCDDAC二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.13.314.123n15.7216.三、解答题：共 70
13、 分.第 1721 题是必考题，第 22、23题是选考题，考生根据情况作答.（一）必考题：每小题 12 分，共 60 分.17.解：（1）由正弦定理可得ABACcossin2sinsin2，1 分ABABAcossin2sin)sin(2ABAsincossin2，3 分在 ABC中，0sinA，21cosB.又),0(B,3 B.6 分（2）3sin21BacSABC.4ac.8 分由余弦定理Baccabcos2222可得accaaccab32222.4,13acb，5ca.11 分ABC的周长为135.12 分18.解：（1）由题可得22 联表如下：44 岁以下44 岁及 44 岁以上总计
14、接受354580不接受15520总计5050100841.325.642520805050)1545535(10022K.能在犯错误的概率不超过 0.05 的前提下，认为以 44 岁为分界点的不同人群对“纯电动汽车”的接受程度有差异.6 分（2）由题意可知，抽取的 8 人中 44 岁以下的有 6 人，44 岁及 44 岁以上的有 2 人，所以 X 的可能取值有 0，1，2.7 分,281)0(282206CCCXP,73)1(281612CCCXP,2815)2(2826 CCXP所以随机变量 X 的分布列为：23281527312810)(XE.12 分19.（1）证明：四边形 ABCD 是
15、正方形，.BDAC PD底面ACABCD,平面 ABCD,ACPD PDBD,平面DPDBDPDB,，.PDBAC平面AC又平面 AEC,平面AEC平面 PDB.5 分（2）解：以 D 为坐标原点，以DPDCDA,所在的直线分别为 x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系xyzO.设1AB，则2PD.)2,0,0(,)0,1,1(PB,BP的中点)22,21,21(E.7 分X012P281732815)0,1,0(,)0,0,1(CA)0,0,1(,)2,1,0(,)22,21,21(BCPCAE.设平面 PBC 的法向量为),(zyxn，00BCPCnn，002xzy,令0,2y,1xz
16、则解得)1,2,0(n设直线 AE 与平面 PBC 所成角为，10 分36,cossinnnnAEAEAE.直线 AE 与平面 PBC 所成角的正弦值为36.12 分20.解：（1）23 ace，2243 ac，222241 acab.2 分椭圆的中心O 到直线02 byx的距离为25，252|2|b，5b.1004,25222bab.4 分椭圆C 的方程为12510022 yx.5 分（2）由（1）可知)0,35(F，由题可知直线 AB 的方程为35 xy，与椭圆C的方程联立1251003522yxxy，040382xx.设),(,),(2211yxyxBA，则有40,382121xxxx.
17、7 分设),(yxM，由OBOAOM得),(),(),(),(21212211yyxxyxyxyx，2121yyyxxx又点 M 在椭圆上，100422yx，100)(4)(221221yyxx，100)4(2)4()4(21212222221212yyxxyxyx.点BA,在椭圆上，1004,100422222121yxyx.2030032053535)()(21212121212144xxxxxxxxyyxx.10 分将代入可得15222，5125225222，125，当且仅当 时取“”.的最大值为125.12 分21.解：（1）当0a时，xxexf)(.)1()(xexfx.1 分当1x
18、时，0)(xf；当1x时，0)(xf.)(xf在)1,(上递减，在),1(上递增.3 分efefef1)1(,2)2(,2)2(22，2maxmin21)(,)(eexfxf.5 分（2）2)1()2()()()(xaexxgxfxhx，)2)(1()(aexxhx.当0a时，xexxh)2()(，此时)(xh只有一个零点.6 分当0a时，)(xh在)1,(上单调递减，在),1(上单调递增.0)2(0)1(aheh，当2a时，02)0(ah；当20 a时，02ln3)2(ln22)12(ln)22(ln2)2(ln,02ln22aaaaaaaaha.)(xh有两个不同的零点.8 分当0a时，令
19、0)(xh，得)2ln(1axx 或.当2ea时，)(1()(eexxhx，0)(xh恒成立，)(xh在 R 上单调递增.当2ea时，即1)2ln(a.若1)2ln(xax或，则0)(xh；若1)2ln(xa，则0)(xh.)(xh在),1()2ln(,(和a上单调递增，在)1),2(ln(a上单调递减.当2ea时，即1)2ln(a.若)2ln(1axx 或，则0)(xh.若)2ln(1ax时，则0)(xh.)(xh在),2(ln()1,(a和上单调递增，在)2ln(,1(a上单调递减.当0a时，0)1(eh，01)2)2(ln(1)2ln(2)2ln()2()2(ln(22aaaaaaah.
20、)(xh仅有一个零点，不合题意.11 分综上，)()()(xgxfxh有两个零点，a 的取值范围是),0(.12 分（二）选考题：共 10 分.考生从 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.22.解：（1）直线l 的直角坐标方程为1 yx，直线l 的极坐标方程为1sincos.2 分由cos2sin 2a，得cos2sin 22a.曲线C 的直角坐标方程为)0(22aaxy.5 分（2）将直线l 的参数坐标方程)(222221为参数ttytx代入)0(22aaxy中，得084)2224(2atat.设BA,对应的参数分别为21,tt，则8421att.8 分168421att，62aa或0a又，2a10 分23.解：（1）2,3321,51,33)(xxxxxxxf，不等式6)(xf等价于63326521-6331xxxxxx或或得31xx或不等式的解集为,31,.5 分（2）由（1）知：当1x时，6)(xf；当21x时，6)(3xf；当2x时，3)(xf.故函数为)(xf的值域),3 ，即)(xf的最小值是 3.不等式aaxf2)(2 对一切实数 x 恒成立，322 aa，解得：13a故实数 a 的取值范围是1,3.10 分
