1、四川省绵阳南山中学2019-2020学年高二数学6月月考试题 理（含解析）第卷（选择题）一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.设复数满足（为虚数一单位），则在复平面内的点位于（ ）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】D【解析】【分析】利用复数的四则运算化简即可得出.【详解】由，可得，故在复平面内对应的点坐标为，在第四象限.故选：D【点睛】本题主要考查复数四则运算及复数的几何意义，属于基础题.2.设直线方向向量，平面的法向量，若，则（ ）A. B. 0C. 5D. 4【答案】A【解析】【分析】由可得，根据即可求解.【详解】由，则，则存在非零
2、常数，使得，即 ，解得，故选：A【点睛】本题考查了空间向量的共线定理、根据共线定理求参数值，属于基础题.3.如图，已知空间四边形，分别是，的中点，则等于（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】分析】由空间向量加法的平行四边形法则可知，再利用向量加法的三角形法则，即可得出结果.【详解】解：如图所示，分别是，的中点，连接，则，所以.故选：A.【点睛】本题考查空间向量的加法运算以及向量加法的三角形法则和平行四边形法则，属于基础题.4.已知函数，则的图象在，两点处的切线的位置关系为（ ）A. 平行B. 相交且垂直C. 重合D. 相交但不垂直【答案】B【解析】【分析】利用导数的几何意义求出两切线
3、的斜率，然后判断两直线的位置关系.【详解】解：由题意知， 当0时， ，则，所以，当时，则，所以 ，所以，所以两直线相交且垂直故选：B【点睛】此题考查导数的几何意义和两直线的位置关系，属于基础题.5.一夜之间，“地摊经济”火遍整个社交媒体，也成为了口罩、呼吸机、直播带货、头盔之后的又一个经济领域的热词，某地摊集中点在销告旺季的某天接纳顾客量超过1万人次的概率是，连续两天顾客量超过1万人次的概率是，在该地摊集中点在销售旺季的某天接纳顾客量超过1万人次的条件下，随后一天的接纳顾客量超过1万人次概率是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】设事件A：该地摊集中点在销售旺季的某天接纳顾客
4、量超过1万人次.设事件B：随后一天的接纳顾客量超过1万人次,则，由条件概率可求出答案.【详解】设事件A：该地摊集中点在销售旺季的某天接纳顾客量超过1万人次.设事件B：随后一天的接纳顾客量超过1万人次.根据条件有：所以故选：D【点睛】本题考查求条件概率，关键是要弄清楚条件概率问题，读懂题意，属于基础题.6.在二项式的展开式中，仅第四项的二项式系数最大，则展开式中常数项为（ ）A. B. C. 60D. 80【答案】C【解析】【分析】先根据仅第四项的二项式系数最大确定的值，然后结合二项式展开式的通项即可求解.【详解】由题意可知，所以二项式的展开式的通项公式为，令，得，所以展开式中常数项为 故选：C
5、【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，属于基础题.7.已知函数的图象如图所示，则等于（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】先根据零点求出参数，再根据是的两根即可求解.【详解】由图象可知，是函数的零点，所以 解得 所以，所以故故选：C【点睛】本题主要考查函数的零点及极值点，属于基础题.8.根据党中央关于“精准扶贫，脱贫攻坚”要求，我市从名大学毕业生中选人担任县长助理，则甲、乙至少有人入选，而丙没有入选的不同选法的种数为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据题意可知，丙没有入选，则只需在其余名大学毕业生中任选人的选法种数减去甲、乙两人都没有被选中的选法种数，
6、进而可求得结果.【详解】根据题意可知，丙没有入选，则只需在其余名大学毕业生中任选人的选法种数减去甲、乙两人都没有被选中的选法种数，因此，所求的选法种数为.故选：C.【点睛】本题考查人员的安排问题，利用间接法求解较为简单，考查计算能力，属于基础题.9.下列说法正确的是（ ）A. 命题，则为，B. “若，则”的逆命题为真命题C. 若“”、“ ”为真命题，则“”为假命题D. 王昌龄从军行中两句诗“黄沙百战穿金甲，不破楼兰终不还”，后一句中“攻破楼兰”是“回到家乡”的必要条件【答案】D【解析】【分析】利用全称命题的否定即可判断选项A；写出选项B的逆命题，举出反例即可；对于选项C，依次判断，的真假即可；
7、对于选项D，根据诗的意义结合必要条件的定义即可判断.【详解】对于A,全称命题的否定：为，故A错误；对于B, “若，则”的逆命题为“若，则”，当时，显然不成立，故为假命题；对于C，由“”、“ ”为真命题，可知为假命题，为真命题，所以“”为真命题；由诗的意义可知选项D正确.故选：D【点睛】本题主要考查四种命题的真假判断、全称命题的否定形式及逻辑联结词真假判断、必要条件的定义，属于基础题.10.函数的大致图象是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】先求出的定义域和零点，可排除选项D；再利用导数求出函数的单调区间，结合选项即可得出正确答案【详解】由题意可知，的定义域为，令，得，排除选
8、项D；又，当时，所以在区间和上单调递减；当 时，所以在区间上单调递增；结合图像可知选项A正确.故选：A.【点睛】本题考查了函数图象的判断，函数单调性的判断，属于中档题11.如图，教室里悬挂着日光灯，灯线，将灯管绕着过中点的铅垂线顺时针旋转至，且始终保持灯线绷紧，若旋转后灯管升高了，则灯管与旋转后灯管所成角为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】本题首先可以作，作的平行线且过点，连接，然后结合题意计算出以及，再然后根据异面直线所成角的性质得出即所求角，最后根据三角形是等边三角形即可得出结果.【详解】如图，作，然后作的平行线且过点，连接，因为旋转后灯管升高了，所以，所以，因为是的
9、平行线且过点，所以，灯管与旋转后灯管所成角即，因为，所以，所以，三角形是等边三角形，故选：A.【点睛】本题考查异面直线所成角的求法，可通过作平行直线来确定异面直线所成角，考查推理能力与空间想象能力，考查数形结合思想，是中档题.12.已知函数，（为自然对数的底数），使得成立，则实数的最小值为（ ）A. 1B. C. 2D. 【答案】A【解析】【分析】由可得，然后利用导数求出右边的最小值即可.【详解】因为，所以由可得令 则.令，则.故为增函数.因为，故有唯一解，设为，则有，.在上，；在上，.故，故的最小值为1.故选：A【点睛】恒成立问题或者存在性问题，首选的方法是分离变量法，通过分离变量然后转化为
10、最值问题.第卷（非选择题）二、填空题：13.设，那么的值为_【答案】【解析】【分析】先给赋值，求出的值，然后再给赋值，求的值，从而可求出的值.【详解】解：当时，当 时，得 ，所以故答案为：【点睛】此题考查了二项式展开式系数的求法，考查了赋值法，属于基础题14.若不等式成立的充分不必要条件是，则实数的取值范围是_.【答案】【解析】【分析】先求出题中不等式的解，然后利用包含关系列不等式组求解即可.【详解】解：，因为不等式成立的充分不必要条件是，则，得.故答案为：.【点睛】本题考查绝对值不等式和分式不等式的解法，考查充分不必要条件与几何包含关系的转化，是基础题.15.甲乙两人各射击一次，击中目标的概
11、率分别为和假设两人射击是否击中目标相互之间没有影响，每次射击是否击中目标相互之间也没有影响现甲乙两人各射击4次，甲恰好击中目标2次且乙恰好击中目标3次的概率为_【答案】【解析】【分析】由独立重复试验的概率公式得甲恰好击中目标2次的概率和乙恰好击中目标3次的概率，然后由独立事件的概率乘法公式得出结论【详解】由题意【点睛】本题考查独立重复试验的概率公式，掌握独立事件的概率乘法公式是解题基础16.已知函数，给出如下四个命题：的单调递增区间为；时，的极小值点为；时，在上存在唯一零点；若在（为自然对数的底数）上的最小值为3，则其中的真命题有_（填上你认为所有正确的结论序号【答案】【解析】【分析】求出函数
12、的定义域以及导函数，根据的取值范围以及函数的单调性与导数的关系可判断；根据极小值点的定义可判断；根据零点存在性定理可判断；根据函数的单调性可判断.【详解】函数的定义域为，当时，函数在上单调递增，当时，解得，函数的单调递增区间为，故错误；当时，令，解得，即函数在上单调递增， 令，解得，函数在单调递减，所以的极小值点为，故正确；当时，由，当时，函数有唯一一个零点；当时，函数的单调递增区间为，单调递减区间为，当时，即时，函数有两个零点；时，仅有一个零点；，函数无零点，故错误；当时，函数在上单调递增，则，解得，显然不成立；当时，函数的单调递增区间为，单调递减区间为，当时，即，解得，成立；当，即，解得，
13、显然不成立，故正确；故答案为：【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性、研究函数的极值点、研究函数的最值、函数的零点，综合性比较强，属于中档题.三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17.为了进一步激发同学们的学习热情，某班级建立了数学英语两个学习兴趣小组，两组的人数如下表所示：组别性别 数学英语男51女33现采用分层抽样方法(层内采用简单随机抽样)从两组中共抽取3名同学进行测试.（1）求从数学组抽取的同学中至少有1名女同学的概率；（2）记为抽取的3名同学中男同学的人数，求随机变量的分布列和数学期望.【答案】（1）.（2）分布列答案见解析，数学期望【解析】【分析】（1）两小组的总
14、人数之比为84，确定分层抽样的比值,即数学组抽取2人,英语组抽取1人.数学组至少有1名女同学的情况有：1名男同学1名女同学和2名女同学两种情况.利用古典概型的概率计算公式即可得出结果.（2）由题意可知，的所有可能取值为0，1，2，3,根据题意可知需满足数学组抽取2人,英语组抽取1人,根据男生的人数进行分类讨论即可求得对应的概率,进而得出结果.【详解】（1）两小组的总人数之比为84=21，共抽取3人，所以数学组抽取2人，英语组抽取1人.从数学组抽取的同学中至少有1名女同学的情况有：1名男同学1名女同学和2名女同学两种情况.所以所求概率. （2）由题意可知，的所有可能取值为0，1，2，3 分布列为
15、：0123 【点睛】本题考查古典概型概率的计算,考查离散型随机变量的分布列和期望,属于中档题.18.已知直线l的参数方程为为参数）， 椭圆C的参数方程为为参数）在平面直角坐标系中,以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,点A的极坐标为(2, (1)求椭圆C的直角坐标方程和点A在直角坐标系下的坐标(2)直线l与椭圆C交于P,Q两点,求APQ的面积【答案】（1），；（2）【解析】试题分析：(1)消去参数，即可得到椭圆的直角坐标方程，利用极坐标与直角坐标的互化公式，即可求解点的直角坐标；（2）将直线的参数方程代入椭圆的方程，得到,，即可求得，再求得点到直线的距离，即可求解面积.试题解析：(
16、1)由 得. 因为的极坐标为,所以，. 在直角坐标系下的坐标为 . （2）将代入，化简得,设此方程两根为,则 ,. . 因为直线的一般方程为,所以点到直线的距离. 的面积为.19.如图所示，在四棱锥中，平面平面，底面是正方形，且，.（）证明：平面平面；（）求二面角的余弦值.【答案】（）见解析（）.【解析】【详解】试题分析：()利用面面垂直的性质定理可得平面.据此有，结合可得平面.最后利用面面垂直的判定定理可得平面平面.()取中点为，的中点为，连接，以的方向分别为轴，轴，轴的正方向建立空间直角坐标系，据此可得平面的一个法向量为，平面的一个法向量为，据此计算可得二面角的余弦值为.法2：若以为原点，
17、建立空间直角坐标，则面的法向量面的法向量，计算可得为钝角，则余弦值为.试题解析：（）证明：底面为正方形，.又平面平面，平面.又平面，.，平面.平面，平面平面.（）取的中点为，的中点为，连接易得底面，以为原点，以的方向分别为轴，轴，轴的正方向建立空间直角坐标系，如图，不妨设正方形的边长为2，可得，设平面的一个法向量为而，即取得设平面的一个法向量为而，则即取得 由图知所求二面角钝角故二面角的余弦值为.法2：若以为原点，建立空间直角坐标，如图，不妨设正方形的边长为2可得面的法向量面的法向量 由图可得为钝角余弦值为.点睛：(1)求解本题要注意两点：一是两平面的法向量的夹角不一定是所求的二面角，二是利用
18、方程思想进行向量运算，要认真细心，准确计算(2)设m，n分别为平面，的法向量，则二面角与互补或相等.求解时一定要注意结合实际图形判断所求角是锐角还是钝角20.设，（）令，求的单调区间；（）若任意且，都有恒成立，求实数的取值范围【答案】（）的单调递减区间为，无单调递增区间；（）.【解析】【分析】（1）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；（2）问题转化为恒成立，令，根据函数的单调性判断的取值范围即可.【详解】解：（）由题意知，令，则，令，解得，令，解得，故在上单调递增，在上单调递减，取得极大值，也是最大值为，故，在上递减，所以的单调递减区间为，无单调递增区间（）已知可转化为时，恒成立，令，则在上为单调递增的函数，故0恒成立，即恒成立，令，则，当时，0，在上单调递减，即1，故实数的取值范围是【点睛】此题考了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及转化思想，考查函数恒成立问题，属于中档题.
