1、第1课时 利用导数研究函数的单调性授课提示：对应学生用书第289页A组基础保分练1已知函数f(x)xln x，则f(x)()A在(0，)上单调递增B在(0，)上单调递减C在上单调递增D在上单调递减解析：因为函数f(x)xln x，定义域为(0，)，所以f(x)ln x1(x0)，当f(x)0时，解得x，即函数的单调递增区间为；当f(x)0时，解得0x，即函数的单调递减区间为.答案：D2.已知定义在R上的函数f(x)，其导函数f(x)的大致图像如图所示，则下列叙述正确的是()Af(b)f(c)f(d)Bf(b)f(a)f(e)Cf(c)f(b)f(a)Df(c)f(e)f(d)解析：由题意得，当
2、x(，c)时，f(x)0，所以函数f(x)在(，c)上是增函数，因为abc，所以f(c)f(b)f(a)答案：C3(2021江西红色七校第一次联考)若函数f(x)2x33mx26x在区间(1，)上为增函数，则实数m的取值范围是()A(，1B(，1)C(，2 D(，2)解析：f(x)6x26mx6，由已知条件知x(1，)时，f(x)0恒成立设g(x)6x26mx6，则g(x)0在(1，)上恒成立当36(m24)0，即2m2时，满足g(x)0在(1，)上恒成立；当36(m24)0，即m2时，则需解得m2，所以m2.综上得m2，所以实数m的取值范围是(，2答案：C4(2021襄阳模拟)已知定义在R上
3、的可导函数f(x)的导函数yf(x)，满足f(x)f(x)，f(0)1，则不等式f(x)ex的解集为()A(0，) B.(1，)C(2，) D(4，)解析：令F(x)，则F(0)1，F(x)0，故F(x)为R上的减函数，有f(x)ex等价于F(x)1，即F(x)F(0)故不等式f(x)ex的解集为(0，)答案：A5(2021贵港模拟)若函数f(x)kx2ln x在区间(1，)上单调递增，则k的取值范围是()A(，2 B.(，1C1，) D2，)解析：因为f(x)kx2ln x，所以f(x)k.因为f(x)在区间(1，)上单调递增，所以在区间(1，)上f(x)k0恒成立，即k恒成立，当x(1，)
4、时，02，所以k2.答案：D6已知定义在区间(，)上的函数f(x)xsin xcos x，则f(x)的单调递增区间是_解析：f(x)sin xxcos xsin xxcos x，令f(x)xcos x0，则其在区间(，)上的解集为和，即f(x)的单调递增区间为和.答案：和7若函数f(x)的定义域为R，且满足f(2)2，f(x)1，则不等式f(x)x0的解集为_解析：令g(x)f(x)x，所以g(x)f(x)1.由题意知g(x)0，所以g(x)为增函数因为g(2)f(2)20，所以g(x)0的解集为(2，)答案：(2，)8求下列函数的单调区间：(1)f(x)(x5)26ln x；(2)f(x)x
5、cos xsin x1(x0)解析：(1)f(x)的定义域为(0，)f(x)x5.令f(x)0，解得x12，x23.当0x2或x3时，f(x)0，故f(x)在(0，2)，(3，)上为增函数；当2x3时，f(x)0，故f(x)在(2，3)上为减函数所以函数f(x)的单调递增区间为(0，2)，(3，)；单调递减区间为(2，3)(2)f(x)cos xxsin xcos xxsin x.令f(x)0，得xk(kN)当x(2k，(2k1)(kN)时，sin x0，此时f(x)0；当x(2k1)，(2k2)(kN)时，sin x0，此时f(x)0.故f(x)的单调递减区间为(2k，(2k1)(kN)，单
6、调递增区间为(2k1)，(2k2)(kN)9已知函数f(x)(k为常数，e是自然对数的底数)，曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线与x轴平行(1)求k的值；(2)求f(x)的单调区间解析：(1)由题意得f(x)，又因为f(1)0，故k1.(2)由(1)知，f(x)，设h(x)ln x1(x0)，则h(x)0，即h(x)在(0，)上是减函数由h(1)0知，当0x1时，h(x)0，从而f(x)0；当x1时，h(x)0，从而f(x)0.综上可知，f(x)的单调递增区间是(0，1)，单调递减区间是(1，)B组能力提升练1函数f(x)的定义域为R，f(1)2，对任意xR，f(x)2，则f(x)2x4
7、的解集为()A(1，1) B.(1，)C(，1) D(，)解析：由f(x)2x4，得f(x)2x40.设F(x)f(x)2x4，则F(x)f(x)2.因为f(x)2，所以F(x)0在R上恒成立，所以F(x)在R上单调递增，而F(1)f(1)2(1)42240，故不等式f(x)2x40等价于F(x)F(1)，所以x1.答案：B2(2021益阳模拟)定义在上的函数f(x)，f(x)是它的导函数，恒有f(x)f(x)tan x成立，则有()A.ffB.f2cos 1f(1)C2ffD.ff解析：由于f(x)f(x)tan x且x，则f(x)cos xf(x)sin x0.设g(x)f(x)cos x
8、，则g(x)f(x)cos xf(x)sin x0，所以g(x)在上是增函数，所以gg，即fcos fcos ，即ff.故A正确同理可得B，C，D错误答案：A3(2021长沙模拟)若函数f(x)(2x2mx4)ex在区间2，3上不是单调函数，则实数m的取值范围是()A. B.C. D.解析：因为f(x)(2x2mx4)ex，所以f(x)2x2(4m)x4mex，因为函数f(x)在区间2，3上不是单调函数，所以f(x)0在区间(2，3)上有根，即2x2(4m)x4m0在区间(2，3)上有根，所以m在区间(2，3)上有根，令tx1，则xt1，t(3，4)，所以m2(t)在t(3，4)上有根，从而求
9、得m的取值范围为.答案：B4(2021遵义模拟)已知函数f(x)x(e1)ln x，则不等式f(ex)1的解集为()A(0，1) B.(1，)C(0，e) D(e，)解析：f(x)1(e1)(x0)当x(0，e1)时，f(x)0，f(x)单调递减；当x(e1，)时，f(x)0，f(x)单调递增因为f(1)f(e)1，所以f(x)1的解集为(1，e)，即不等式1exe，解得0x1，即不等式f(ex)1的解集为(0，1)答案：A5(2021安庆模拟)若函数f(x)x3x2ax4恰在1，4上单调递减，则实数a的值为_解析：f(x)x3x2ax4，f(x)x23xa.又函数f(x)恰在1，4上单调递减
10、，1，4是f(x)0的两根，a144.答案：46(2021洛阳模拟)已知函数f(x)ln x.(1)若函数f(x)在1，)上为增函数，求正实数a的取值范围；(2)讨论函数f(x)的单调性解析：(1)f(x)ln x，f(x)(a0)函数f(x)在1，)上为增函数，f(x)0对x1，)恒成立，ax10对x1，)恒成立，即a对x1，)恒成立，a1.(2)a0，f(x)，x0，当a0时，f(x)0对x(0，)恒成立，f(x)的增区间为(0，)当a0时，f(x)0x，f(x)0x，f(x)的增区间为，减区间为.7已知函数f(x)(ax1)ex，aR.(1)讨论f(x)的单调区间；(2)当mn0时，证明
11、：mennnemm.解析：(1)f(x)的定义域为R，且f(x)(axa1)ex.当a0时，f(x)ex0，此时f(x)的单调递减区间为(，)当a0时，由f(x)0，得x；由f(x)0，得x.此时f(x)的单调递减区间为，单调递增区间为.当a0时，由f(x)0，得x；由f(x)0，得x.此时f(x)的单调递减区间为，单调递增区间为.(2)证明：当mn0时，要证mennnemm，只要证m(en1)n(em1)，即证.设g(x)，x0，则g(x)，x0.设h(x)(x1)ex1，由(1)知h(x)在0，)上单调递增，所以当x0时，h(x)h(0)0，于是g(x)0，所以g(x)在(0，)上单调递增
12、，所以当mn0时，式成立，故当mn0时，mennnemm.C组创新应用练1(2021长春模拟)已知函数f(x)是定义在R上的函数，且满足f(x)f(x)0，其中f(x)为f(x)的导数，设af(0)，b2f(ln 2)，cef(1)，则a，b，c的大小关系是()Acba B.abcCcab Dbca解析：令g(x)exf(x)，则g(x)exf(x)f(x)0，所以函数g(x)在定义域R上单调递增，从而g(0)g(ln 2)g(1)，得f(0)2f(ln 2)ef(1)，即abc.答案：A2(2021商丘模拟)设f(x)，g(x)是定义在R上的恒大于0的可导函数，且f(x)g(x)f(x)g(
13、x)0，则当axb时，有()Af(x)g(x)f(b)g(b)Bf(x)g(a)f(a)g(x)Cf(x)g(b)f(b)g(x)Df(x)g(x)f(a)g(a)解析：令F(x)，则F(x)0，所以F(x)在R上单调递减又axb，所以.又f(x)0，g(x)0，所以f(x)g(b)f(b)g(x)答案：C3已知f(x)为R上的可导函数，且任意xR，均有f(x)2f(x)，则有()Ae4 034f(2 017)f(0)，f(2 017)e4 034f(0)Be4 034f(2 017)f(0)，f(2 017)e4 034f(0)Ce4 034f(2 017)f(0)，f(2 017)e4 034f(0)De4 034f(2 017)f(0)，f(2 017)e4 034f(0)解析：构造函数g(x)，g(x)，因为f(x)2f(x)，所以g(x)0，即g(x)在R上单调递减，所以g(2 017)g(0)所以.所以e4 034f(2 017)f(0)，同理得g(2 017)g(0)，所以.所以f(2 017)e4 034f(0)答案：D
