1、广东省广州、深圳市学调联盟2020届高三数学下学期第二次调研试题 文（含解析）一、选择题：本题共12个小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.已知集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】解不等式可得集合，根据并集的概念即可得结果.【详解】由，则故选B.【点睛】本题主要考查了一元二次不等式的解法，以及集合并集的运算，属于基础题.2.设复数的共轭复数是，且，又复数对应的点为，与为定点，则函数取最大值时在复平面上以，三点为顶点的图形是（ ）A. 等边三角形B. 直角三角形C. 等腰直角三角形D. 等腰三角形【答案】D【解析】分析】假设，
2、根据模长公式构造关于的函数，从而可确定当取最大值时，的取值，从而求得；利用两点间距离公式表示出所构成三角形的三边长，从而可确定三角形形状.【详解】 可设当时，取最大值即当，即时，取最大值此时，；，且该图形为等腰三角形本题正确选项：【点睛】本题考查复数模长的应用和求解、复数的几何意义.关键在于能够根据的模长将假设为，从而可利用三角函数的知识确定的最大值，根据复数几何意义可确定对应的点的坐标，进而可求得三角形的各个边长.3.已知函数的图象过两点，在内有且只有两个极值点，且极大值点小于极小值点，则（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】由在内有且只有两个极值点可得，再由，得到或，分别
3、对进行讨论即可.【详解】在内有且只有两个极值点，则，又，所以或；当时，解得，若时，在内极大值点为，极小值点为，满足题意；当时，解得，若时，在内极小值点为，极大值点为，不符合题意.故选：C【点睛】本题主要考查正弦型函数的图象与性质，考查学生的逻辑推理能力，数形结合思想，是一道中档题.4.在同一平面内，已知A为动点，B，C为定点，且BAC=，BC=1，P为BC中点过点P作PQBC交AC所在直线于Q，则在方向上投影的最大值是（）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】先建系，由三点共圆得点A的轨迹方程为，则，则，再由在方向上投影的几何意义可得解【详解】建立如图所示的平面直角坐标系，则B（-
4、，0），C（，0），P（0，0），由可知，ABC三点在一个定圆上，且弦BC所对的圆周角为，所以圆心角为.圆心在BC的中垂线即轴上，且圆心到直线BC的距离为，即圆心为，半径为.所以点A的轨迹方程为：，则 ，则 ，由在方向上投影几何意义可得：在方向上投影为|DP|=|x|，则在方向上投影的最大值是，故选C【点睛】本题考查了轨迹问题及平面向量数量积的运算，属中档题5.若深圳人民医院有 5名医护人员，其中有男性 2名，女性 3名 现要抽调两人前往湖北进行支援，则抽调的两人刚好为一男一女的概率为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】采用列举法，将从5人中抽调2人的基本事件总数求出，再找
5、到抽调的两人刚好为一男一女所包含的基本事件个数，结合古典概型的概率计算公式即可得到答案.【详解】记两名男性为，三名女性为，则从5人中抽调2人有，共10种不同结果，抽调的两人刚好为一男一女有，共6种不同结果，由古典概型的概率计算公式可得所求事件的概率为.故选：C【点睛】本题考查古典概型的概率计算问题，采用列举法，注意要做到不重不漏，是一道容易题.6.若是数列的前项和，若，则 是（ ）A. 等比数列，但不是等差数列B. 等差数列，但不是等比数列C. 等差数列，而且也是等比数列D. 既非等比数列，也非等差数列【答案】B【解析】【分析】当时，；当时，.【详解】当时，;当时， 又时，满足通项公式，所以此
6、数列为等差数列.故选B.【点睛】本题考查根据数列前n项和求数列通项，注意检验时的公式对是否适用.7.已知函数的定义域为，当时，且对任意的实数，等式成立，若数列满足，且，则下列结论成立的是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】通过赋值可求得且当时，；利用单调性的定义可判断出函数单调递减；根据可得；利用递推关系式可知数列是以为周期的周期数列，进而可得各个自变量的具体取值，根据函数单调性判断出结果.【详解】由，令，则时， 当时，令，则，即又 当时，令，则，即在上单调递减又令，；令，；令，数列是以为周期的周期数列，在上单调递减 ，本题正确选项：【点睛】本题考查抽象函数性质的应用、根据
7、递推关系式确定数列的周期问题.关键是能够通过赋值法求得特殊值，利用单调性的定义求得函数单调性并得到递推关系式，通过递推关系式得到数列的周期性，难度较大.8.执行如图所示的程序框图，输出的结果为A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量的值，利用等比数列的求和公式即可计算得解【详解】模拟程序的运行，可得该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量的值，由于故选C【点睛】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题9.已知F为双曲线的右焦点，过F做C的渐近线的垂线FD，垂足为D，且满足
8、（O为坐标原点），则双曲线的离心率为（ ）A. B. 2C. 3D. 【答案】A【解析】【分析】根据题中条件求出双曲线基本量的比例关系，然后即可求出离心率的值.【详解】由题知，又因为焦点到双曲线渐近线的距离为，所以，整理得.故选：A.【点睛】本题主要考查了双曲线离心率的求解，属于基础题.10.如图，斜满足，其中表示a，b中较大的数（时定义）线段AC的中垂线上有一点D，过点D作于点E，满足，则点D到外接圆上一点的距离最大值为（ ）A. 4B. 3C. 2D. 1【答案】C【解析】【分析】由，知为锐角，设的中垂线交于，过作的垂线，垂足为，由得到，再由得到，所以，再利用几何意义即可得点D到外接圆上一
9、点的距离最大.【详解】由，知为锐角，设的中垂线交于，过作的垂线，垂足为，因为，所以，当且仅当，即时，等号成立，所以，又，所以，即，又易得，所以，由正弦定理可得，故点D到外接圆上一点的距离最大为.故选：C【点睛】本题考查动点到圆上一点距离的最值问题，涉及到正弦定理与三角恒等变换，考查学生逻辑推理与数学运算能力，是一道中档题.11.记不等式组 ，表示的平面区域为 .下面给出的四个命题： ； ； ； 其中真命题的是：A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】由约束条件作出可行域，利用目标函数的几何意义求解z=x+y，z12xy，z2，z3x2+y2，的范围，判断命题的真假即可【详解】实数x，
10、y满足，由约束条件作出可行域为D，如图阴影部分，A（2，0），B（0，2），C（1，3），z=x+y经过可行域的点A及直线BC时分别取得最值，可得：z2，2，所以错误；z12xy经过可行域的B、C时分别取得最值，可得：z15，2，所以正确；z2，它的几何意义是可行域内的点与（1，1）连线的斜率，可得：DA的斜率是最大值为：；BD的斜率取得最小值为：；z2，；所以错误；z3x2+y2，它的几何意义是可行域内的点与（0，0）连线的距离的平方，最小值为原点到直线y=x+2的距离的平方：（）2，最大值为OC的平方：（10）2+（30）210，z3，10所以正确；故选C【点睛】本题主要考查线性规划的应用
11、，利用z的几何意义，通过数形结合是解决本题的关键12.已知函数的导函数是偶函数，若方程在区间(其中为自然对数的底)上有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由导函数为偶函数，得出，由，得出，将问题转化为当直线与函数在区间上的图像有两个交点时，求实数的取值范围，然后作出函数在区间上的图象，利用数形结合思想求出实数的取值范围【详解】，导函数对称轴为直线，由于该函数为偶函数，则，令，即，得.问题转化为当直线与函数在区间上的图像有两个交点时，求实数的取值范围，令，得，列表如下：极大值所以，函数在处取得极大值，亦即最大值，又，显然，如下图所示：结合
12、图象可知，当时，即当时，直线与函数在区间上有两个交点，因此，实数的取值范围是故选B【点睛】本题考查利用导数研究函数的零点个数问题，本题的关键在于利用参变量分离的方法，将问题转化为直线与函数的图象的交点个数，在画函数的图象中，需要用到导数研究函数的单调性、极值以及端点值，通过这些来确定函数图象，考查数形结合思想，属于中等题二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.对于实数x，x表示不超过x的最大整数，已知正数列an满足Sn=（an），nN*，其中Sn为数列an的前n项的和，则=_【答案】20【解析】【分析】先由数列的关系求出，再利用放缩法和裂项相消求得前n项和S的值，可得答案.【详
13、解】由题可知，当时，化简可得，当所以数列是以首项和公差都是1的等差数列，即又时， 记 一方面 另一方面 所以 即 故答案为20【点睛】本题考查了新定义、数列通项与求和、不等式知识点，构造新的等差数列以及用放缩法求数列的和是解答本题的关键，注意常见的裂项相消法求和的模型，属于难题.14.方程在区间 上的解为_【答案】或.【解析】【分析】，即，原方程等价于，再解方程即可.【详解】由题意，即，原方程等价于，解得或（舍），故或.故答案为：或.【点睛】本题考查解三角函数方程，涉及到二倍角公式，考查学生的等价转化思想，注意要先求x的有意义的范围.15.已知在平面直角坐标系xOy中，椭圆的左、右顶点分别为直
14、线l：交椭圆于P，Q两点，直线和直线相交于椭圆外一点R，则点R的轨迹方程为_【答案】【解析】【分析】由已知，可得直线l恒过，由题意知，直线斜率不为0，设的方程为，联立椭圆方程，解得，再由由三点共线可得，由三点共线可得，两式相除可得，再将代入化简即可.【详解】因为，所以，由得，故直线l恒过，由题意知，直线斜率不为0，设的方程为，联立椭圆方程，得，则，由三点共线可得，由三点共线可得，两式相除可得，解得，所以点在定直线上，故点R的轨迹方程为.故答案为：【点睛】本题考查直线与椭圆位置关系中的定值问题，考查学生的逻辑推理与数学运算能力，是一道中档题.16.在棱长为4的密封正方体容器内有一个半径为1的小球
15、，晃动此正方体，则小球可以经过的空间的体积为_【答案】【解析】依题意所求体积为三、解答题：共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答第22、23题为选考题，考生根据要求作答（一）必考题：共60分17.已知是等差数列，是各项均为正数的等比数列，且，.（）求数列，的通项公式；（）设，求数列的前项和.【答案】（），;（）.【解析】试题分析：（1）根据条件列出关于公差与公比的方程组,解方程组可得，再代入等差与等比数列通项公式,（2）利用错位相减法求和,注意相减时项的符号变化，中间部分利用等比数列求和时注意项数，最后要除以试题解析：（）设数列的公差为，的公
16、比为，依题意得解得，所以，（）由（）知，则 -得： 所以.点睛：用错位相减法求和应注意的问题(1)要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形；(2)在写出“”与“”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“”的表达式；(3)在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比等于1和不等于1两种情况求解.18.如图，在多面体中，四边形和四边形是两个全等的等腰梯形.（1）求证：四边形为矩形；（2）若平面平面，求多面体的体积.【答案】（1）证明见解析；（2）【解析】【分析】（1）根据全等的等腰梯形和已知条件得到且，由此证得四边形为平行四边形. 分别取，的中点，连接，通过
17、证明四点共面，且，且相交，由此证得平面，从而证得,由此证得四边形为矩形.（2）连结，作，垂足为，则.先证明平面，然后证明平面，由此求得点到平面的距离、点到平面的距离，分别求得和的体积，由此求得多面体的体积.【详解】（1）四边形和四边形是两个全等的等腰梯形，且，四边形为平行四边形.分别取，的中点，.，为的中点，同理，.为的中点，为的中点，且.，四点共面，且四边形是以，为底的梯形.，且，是平面内的相交线，平面.平面，又，.四边形为矩形.（2）连结，作，垂足为，则.，.在中，.，平面，平面，平面.平面平面，平面平面，平面，平面，点到平面距离为2，同理，点到平面的距离为2，则，；，.故多面体的体积为.
18、【点睛】本小题主要考查证明一个四边形为矩形的方法，考查四点共面的证明，考查线面平行的证明，考查面面垂直的性质定理，考查分割法求几何体的体积，考查空间想象能力和逻辑推理能力，综合性较强，属于中档题.19.某省的一个气象站观测点在连续4天里记录的AQI指数M与当天的空气水平可见度y（单位：cm）的情况如下表：M900700300100y0.53.56.59.5该省某市2019年12月份AQI指数M的频数分布表如下：M频数361263（1）设，若x与y之间具有线性关系，试根据上述数据求出y关于x的线性回归方程；（2）王先生在该市开了一家洗车店，洗车店每天的平均收入与AQI指数的相关关系如下表：M日均
19、收入（元）-2000-1000200060008000估计王先生的洗车店2019年12月份每天的平均收入附参考公式：，其中【答案】（1）；（2）2400元【解析】【分析】（1）分别计算出，再利用公式计算即可；（2）由平均数的计算公式计算即可得到答案.【详解】（1），所以，所以；（2）由题可知该月30天中有3天每天亏损2000元，有6天每天亏损1000元，有12天每天收入2000元，有6天每天收入6000元，有3天每天收入8000元，故估计王先生的洗车店2019年12月份每天的平均收入为元.【点睛】本题考查线性回归方程的应用，涉及到估算平均数，考查学生的数学运算能力，是一道容易题.20.已知直线
20、过椭圆的右焦点，且交椭圆于A，B两点，线段AB的中点是，（1）求椭圆的方程；（2）过原点的直线l与线段AB相交（不含端点）且交椭圆于C，D两点，求四边形面积的最大值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由直线可得椭圆右焦点的坐标为,由中点可得,且由斜率公式可得,由点在椭圆上,则,二者作差,进而代入整理可得,即可求解；（2）设直线,点到直线的距离为,则四边形的面积为,将代入椭圆方程,再利用弦长公式求得,利用点到直线距离求得,根据直线l与线段AB（不含端点）相交,可得,即,进而整理换元,由二次函数性质求解最值即可.【详解】（1）直线与x轴交于点,所以椭圆右焦点的坐标为,故,因为线段AB的中点
21、是,设,则,且,又,作差可得,则,得又,所以,因此椭圆的方程为.（2）由（1）联立,解得或,不妨令,易知直线l的斜率存在,设直线,代入,得,解得或,设,则,则,因为到直线的距离分别是,由于直线l与线段AB（不含端点）相交,所以,即,所以,四边形的面积,令,则,所以,当,即时,，因此四边形面积的最大值为.【点睛】本题考查求椭圆的标准方程,考查椭圆中的四边形面积问题,考查直线与椭圆的位置关系的应用,考查运算能力.21.已知函数.（1）讨论函数的单调性；（2）若对，求实数的取值范围.【答案】（1）见解析（2）【解析】【分析】（1）先求得函数的定义域，然后对函数求导，对分成四种情况，讨论函数的单调性.
22、（2）根据（1）中所求函数的单调区间，对四种情况分别研究函数的函数值，结合来求得的取值范围.【详解】解：（1）由题意知，的定义域为，由，得.当时，令，可得，得，故函数的增区间为，减区间为；当时，令，可得，得或，故的增区间为，减区间为、；当时，故函数的减区间为；当时，令，可得，得，或，故的增区间为，减区间为，.综上所述：当时，在上为减函数，在上为增函数；当时，在，上为减函数，在上为增函数；当时，在为减函数；当时，在，上为减函数，在上为增函数.（2）由（1）可知：当时，此时；当时，当时，有，可得，不符合题意；当时，由函数的单调性可知，当时，不符合题意；当时，由函数的单调性可知，当时，不符合题意.综
23、上可知，所求实数的取值范围为.【点睛】本小题主要考查利用导数求函数单调区间，考查利用导数研究函数值恒大于零的问题，考查分类讨论的数学思想方法，综合性较强，属于难题.（二）选考题：共10分请考生在第22、23两题中任选一题作答注意：只能做所选定的题目如果多做，则按所做的第一题计分22.在极坐标系中，直线l的极坐标方程为cos4，曲线C的极坐标方程为2cos+2sin，以极点为坐标原点O，极轴为x轴的正半轴建立直角坐标系，射线l：ykx（x0，0k1）与曲线C交于O，M两点（）写出直线l的直角坐标方程以及曲线C的参数方程；（）若射线l与直线l交于点N，求的取值范围【答案】（）直线l的直角坐标方程，
24、曲线C的参数方程.【解析】【分析】（）由直线l的极坐标方程能求出直线l的直角坐标方程；由曲线C的极坐标方程，求出曲线C的直角坐标方程，由此能求出曲线C的参数方程（）用极径表示线段的长度，从而把比值问题转化为极坐标中极径的比值问题，再转化为以极角为变量的三角函数求范围问题.根据角的范围求即可.【详解】解：（）直线l的极坐标方程为cos4，直线l的直角坐标方程为x4，曲线C的极坐标方程为2cos+2sin，曲线C的直角坐标方程为x2+y22x2y0，即（x1）2+（y1）22曲线C的参数方程为，（为参数）（）设M（1，），N（2，），则12cos+2sin，+，的取值范围是（【点睛】本题考查直线的
25、直角坐标方程、曲线的参数方程、两线段的比值的求法，考查极坐标方程、直角坐标方程、参数方程的互化等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想23.已知，函数F（x）=min2|x1|，x22ax+4a2，其中minp，q=（）求使得等式F（x）=x22ax+4a2成立的x的取值范围；（）（）求F（x）的最小值m（a）；（）求F（x）在区间0,6上的最大值M（a）.【答案】（）（）（）（）【解析】试题分析：（）分别对和两种情况讨论，进而可得使得等式成立的的取值范围；（）（）先求函数，的最小值，再根据的定义可得的最小值；（）分别对和两种情况讨论的最大值，进而可得在区间上的最大值试题解析：（）由于，故当时，当时，所以，使得等式成立的的取值范围为（）（）设函数，则，所以，由的定义知，即（）当时，当时，所以，【考点】函数的单调性与最值，分段函数，不等式【思路点睛】（）根据的取值范围化简，即可得使得等式成立的的取值范围；（）（）先求函数和的最小值，再根据的定义可得；（）根据的取值范围求出的最大值，进而可得
