1、第6练基本不等式与线性规划1. 【解析】由题知当目标函数z=x+2y过点时取得最大值,最大值为.2. 4【解析】由4x=且x=1,得a=4.3. 18【解析】平均销售量y=t+1018.4. -3【解析】因为x2-2x8,所以-2x1,所以t0.所以y=t+22+2=4,当且仅当t=1,即x=2时,取得最小值4.7. (-,7【解析】设等差数列an的首项和公差分别为a1,d,由a815,a913,可得因为a12=a1+11d,画出可行域.由得交点为(29,-2),所以a12的取值范围是(-,7.8. -8,6【解析】24-(a+b)=a2+b22()2,令t=a+b,则24-t,即t2+2t-
2、480,所以-8t6,故a+b的取值范围是-8,6.9. (1) 因为x0,y0,且2x+y=1,所以+=+=3+3+2.当且仅当=时取等号.故+的最小值为3+2.(2) 因为x0,所以f(x)=1,当且仅当x=,即x=1时取等号.10. 作出不等式组表示的平面区域,如图所示.(第10题)解方程组得C(,).设x+2y=t,作出一组平行直线x+2y=t,当经过C(,)时,t有最大值,但此时点C不是整点.通过调整得直线过(2,3)时,t有最大值,最大值为2+23=8.11. 由题意可得,造价y=3+5800=900+5800(0x5),则y=900+58009002+5800=13000(元),
3、当且仅当x=,即x=4时取等号.故当侧面的长度为4m时,总造价最低.第7练直线与圆1. 【解析】斜率k=-,故k-1,0),由正切函数图象知倾斜角.2. -2【解析】因为直线l的斜率为-1,则l1的斜率为1,kAB=1,a=0.由l1l2,-=1,b=-2,所以a+b=-2.3. 2 【解析】因为所求直线过点P(2,2) 且与直线ax-y+1=0垂直,所以可设其方程为x+ay-2a-2=0,再由=,解得a=2.4. (x-2)2+(y+)2=【解析】因为圆C经过坐标原点和点(4,0),所以圆心C在直线x=2上,可设圆心坐标为C(2,b),则由1-b=,解得b=-.所以半径r=,所以圆C的方程是
4、(x-2)2+(y+)2=.5. (x-2)2+(y+2)2=1【解析】圆心(-1,1)关于直线x-y-1=0的对称点为(2,-2),所以圆C2的方程为(x-2)2+(y+2)2=1.6. 【解析】设直线l的斜率为k,因为MN=2=22,所以d21,所以1,解得0k.所以直线l的斜率k的取值范围是.7. -1,1【解析】如图,作OAMN,垂足为A,在RtOMA中,因为OMN=45,所以OA=OMsin45=OM1,解得OM,因为点M(x0,1),所以OM=,解得-1x01,故x0的取值范围是-1,1.(第7题)8. (0,)【解析】设C(a,),所以圆C:(x-a)2+(y-)2=1.因为圆O
5、:x2+y2=4,因为圆C上总有两个点到原点的距离为2,所以圆C与圆O相交,所以存在a使得13,即存在a使得-a4+a2k2-a4+9a2,所以0k2,所以0k0;当k=0时,直线为y=1,符合题意,故实数k的取值范围是0,+).(3)由l的方程,得A(-,0),B(0,1+2k).依题意得解得k0.因为S=OAOB=|1+2k|=(4k+4)(22+4)=4,“=”成立的条件是k0且4k=,即k=,所以Smin=4,此时l:x-2y+4=0.10. (1) 配方得:(x-3m)2+y-(m-1)2=25,l:x-3y-3=0,则圆心恒在直线l:x-3y-3=0上.(2)设与l平行的直线是x-
6、3y+b=0,当-5-3b5-3时,直线与圆相交;当b=5-3时,直线与圆相切;当b5-3时,直线与圆相离.(3) 对于任一条平行于l且与圆相交的直线l1:x-3y+b=0,由于圆心到直线l1的距离d=(与m无关),弦长=2且r和d均为常量,所以任何一条平行于l且与圆相交的直线被各圆截得的弦长都相等.11. (1) 设圆A的半径为R,因为圆A与直线l1:x+2y+7=0相切,所以R=2.所以圆A的方程为(x+1)2+(y-2)2=20.(2) 当直线l与x轴垂直时,易知x=-2符合题意;当直线l与x轴不垂直时,设直线l的方程为y=k(x+2),连接AQ,则AQMN.因为MN=2,所以AQ=1,
7、由AQ=1,得k=.所以直线l的方程为3x-4y+6=0,所以所求直线l的方程为x=-2或3x-4y+6=0.(3) 因为AQBP,所以=0,所以=(+)=+=.当直线l与x轴垂直时,得P,则=,又=(1,2),所以=-5.当直线l的斜率存在时,设直线l的方程为y=k(x+2).由解得P.所以=.所以=-=-5,综上所述,是定值,且=-5.第8练圆锥曲线1. (-1,5)【解析】方程+=1表示双曲线的充要条件是(k+1)(k-5)0,所以-1kb0),因为e=,所以=,根据ABF2的周长为16得4a=16,因此a=4,b=2,所以椭圆方程为+=1.3. 【解析】 因为双曲线-=1(a0,b0)
8、的一条渐近线经过点(1,2),所以2=,所以e=.4. 【解析】由得又PF1垂直于x轴,所以a=c,即离心率为e=.5. -【解析】不妨取特殊点,A,B分别为椭圆长轴两端点时,易得答案.6. -【解析】=(+)(+)=|2+(+)+=|2-2=|2-2.当M为短轴端点时,最小,其最小值为-.7. y2=3x【解析】分别过A,B作AA,BB与准线垂直,垂足为A,B. 过F作FF与AA垂直.因为BB=BF,AF=AA,所以ACA=30,所以AF=,所以AF=,所以2p=3.则此抛物线的方程为y2=3x.8. 【解析】连接OQ,F1P,则由OF1=OF2,QF2=PQ,故OQF1P,OQ=F1P,从
9、而PF1=2b,且F1PF2=90.又PF2=2a-2b,从而(2c)2=(2b)2+(2a-2b)2,解得=,故e=.9. (1)如图,以O1O2所在的直线为x轴,以O1O2的中垂线所在的直线为y轴,建立平面直角坐标系xOy.设圆C的圆心为C(x,y),半径为r,由CO1-CO2=(r+3)-(r+1)=2,得-=2,(第9题)整理得2x-1=,两边平方,整理得x2-=1,又点(1,0)不合题意,且CO1-CO2=20,知x1.所以圆C的圆心的轨迹方程是x2-=1(x1).方法二:同上得CO1-CO2=2,知圆心C的轨迹是以O1(-2,0),O2(2,0)为焦点的双曲线右支,且除去右顶点.设
10、其方程为-=1(a0,b0),有c=2,a=1,则b2=c2-a2=3,即x2-=1(x1).(2)令C(x,y),由圆C的半径为1,且与圆O1、O2相切,有CO1=4,CO2=2,故解得C,所以圆C的方程为+=1.10. (1) 因为F1(-c,0),则xM=-c,yM=,所以kOM=-,由题意有kAB=-.又因为与是共线向量,所以-=-,所以b=c,所以e=.(2) 设F1Q=r1,F2Q=r2,F1QF2=,所以r1+r2=2a,F1F2=2c.cos =-1-1=0,当且仅当r1=r2时,cos =0,所以,即F1QF2的取值范围是.11. (1) 因为点A(1,1)是椭圆+=1(ab
11、0)上的一点,F1,F2是椭圆的两焦点,所以+=1,AF1+AF2=2a=4,所以a=2,b2=,所以c2=a2-b2=,所以e=,且椭圆的方程为+=1.(2) 设点C(xC,yC),D(xD,yD).因为直线AC,AD的倾斜角互补,则kAC+kAD=0.设直线AC的方程为y-1=k(x-1),则直线AD的方程为y-1=-k(x-1).由得(1+3k2)x2+3(2k-2k2)x+3(k2-2k)-1=0.因为A点的横坐标x=1是该方程的一根,所以xC=.同理,xD=,所以kCD=(为定值).故直线CD的斜率为定值.第9练基本初等函数1. (-2,8【解析】由解得故函数的定义域为(-2,8.2
12、. 2【解析】因为101,所以f(10)=lg 10=1,所以f(f(10)=f(1)=12+1=2. 3. 【解析】由x=log43可知4x=3,即2x=,2-x=,所以(2x-2-x)2=()2=.4. 0,2【解析】二次函数f(x)=ax2-2ax+c在区间0,1上单调递减,则a0,又f(x)=a(x-1)2-a+c,所以a0,即函数图象的开口向上,对称轴是直线x=1.所以f(0)=f(2),则当f(m)f(0)时,有0m2,即实数m的取值范围是0,2.5. 3【解析】函数y=()x-log2(x+2)在区间-1,1上是单调减函数,所以函数的最大值是f(-1)=3.6. (-3,1)【解
13、析】若a0,则f(a)1,()a-71,即()a8=()-3,所以-3a0.若a0,则由f(a)1得1,所以0a1.综上所述,实数a的取值范围是(-3,1).7. (-,loga3)【解析】因为0a1,所以要使f(x)0,即loga(a2x-2ax-2)1,即a2x-2ax-30,(ax+1)(ax-3)0,所以ax3,又0a3的解为x1,所以f(x)在R上是增函数,-f(x),故y=f(x)的值域是-1,0.9. (1) 因为f(x)是R上的奇函数,所以f(0)=0,即=0,解得b=1.从而有f(x)=.又由f(1)=-f(-1)知=-,解得a=2.(2) 方法一:由(1)知f(x)=-+,
14、由上式易知函数f(x)在R上为减函数,又因为f(x)是奇函数,从而不等式f(t2-2t)+f(2t2-k)0f(t2-2t)-2t2+k,即对一切tR有3t2-2t-k0,从而=4+12k0,解得k-.所以实数k的取值范围是.方法二:由(1)知f(x)=,又由题设条件得+0,即(+2)(-+1)+(+2)(-+1)1.因为底数21,故3t2-2t-k0,上式对一切tR均成立,从而判别式=4+12k0,解得k-,故实数k的取值范围是.10. (1) 由得-3x1,所以函数的定义域为x|-3x0,则01时,yloga4,值域为y|yloga4.当0a1时,yloga4,值域为y|yloga4.(2
15、) 由题意及(1)知:当0a1时函数有最小值,所以loga4=-2,解得a=.11. 函数f(x)的表达式可化为f(x)=4+(2-2a).(1) 当02,即0a4时,f(x)有最小值2-2a,依题意知2-2a=3,即a=-,这个值与0a4矛盾,所以舍去.(如图1)(第11题(1)(2)当0,即a2,即a4时,f(2)=16-8a+a2-2a+2是最小值,得a2-10a+15=0,解得a=5,易知a=5+为所求.(如图3)综上所述,a=1-和a=5+.(第11题(3)第10练函数的图象与性质1. 左下1【解析】函数y=lg可化为y=lg(x+3)-1.2. 1【解析】分别画出y=|x-1|和y
16、=的图象,由图象可知两者有唯一交点,所以方程有一个正根.(第2题)3. 直线x=-2直线x=24. 1-2,3【解析】在同一坐标系中画出曲线y=3-(注:该曲线是以点C(2,3)为圆心、2为半径的圆不在直线y=3上方的部分)与直线y=x的图象,平移该直线,结合图形分析可知,当直线沿y轴正方向平移到点(0,3)的过程中的任何位置相应的直线与曲线y=3-都有公共点;注意到与y=x平行且过点(0,3)的直线的方程是y=x+3;当直线y=x+b与以点C(2,3)为圆心、2为半径的圆相切时(圆不在直线y=3上方的部分),有=2,b=1-2.结合图形可知,b的取值范围是1-2,3.(第4题)5. -【解析
17、】取x=n,y=1,有f(n)=f(n+1)+f(n-1).同理,f(n+1)=f(n+2)+f(n),联立,得f(n+2)=-f(n-1),所以f(n+3)=-f(n),f(n+6)=-f(n+3)=f(n),所以函数的周期T=6,故f(2014)=f(4)=-f(1)=-.6. 0【解析】由题意f(7)=f(-1+8)=-f(1),所以f(1)+f(7)=0,又f(4)=f(0)=0,所以f(1)+f(4)+f(7)=0.7. -10【解析】因为f(x)是定义在R上且周期为2的函数,所以f=f,且f(-1)=f(1),故f=f,从而=-a+1,即3a+2b=-2.由f(-1)=f(1),得
18、-a+1=,故b=-2a.由得a=2,b=-4,从而a+3b=-10.8. 10【解析】(数形结合法)画出两个函数图象可看出交点有10个.(第8题)9. (1) 设P(x0,y0)是函数y=f(x)图象上任一点,则y0=f(x0),点P关于直线x=2的对称点为P(4-x0,y0).因为f(4-x0)=f2+(2-x0)=f2-(2-x0)=f(x0)=y0,所以P也在y=f(x)的图象上,所以函数y=f(x)的图象关于直线x=2对称.(2)f(x)=10. (1) 当a=1时,f(x)=x2-|x|+1=作图象如图所示.(第10题)(2) 当x1,2时,f(x)=ax2-x+2a-1.若a=0
19、,则f(x)=-x-1在区间1,2上是减函数,g(a)=f(2)=-3.若a0,则f(x)=a+2a-1,f(x)图象的对称轴是直线x=.当a0时,f(x)在区间1,2上是减函数,g(a)=f(2)=6a-3.当0时,f(x)在区间1,2上是增函数,g(a)=f(1)=3a-2.当12,即a时,g(a)=f=2a-1,当2,即0a时,f(x)在区间1,2上是减函数,g(a)=f(2)=6a-3.综上可得g(a)=(3) 当x1,2时,h(x)=ax+-1,在区间1,2上任取x1,x2,且x10.因为x2-x10,x1x20,所以ax1x2-(2a-1)0,即ax1x22a-1.当a=0时,上面
20、的不等式变为0-1,即a=0时结论成立.当a0时,x1x2,由1x1x24,得1,解得0a1.当a0时,x1x2,由1x1x24,得4,解得-a0.综上,实数a的取值范围为.11. (1) 设f(x)图象上任一点坐标为(x,y),因为点(x,y)关于点A(0,1)的对称点(-x,2-y)在h(x)的图象上,所以2-y=-x+2,所以y=x+,即f(x)=x+.(2) 由题意g(x)=x+,且g(x)=x+6,x(0,2.因为x(0,2,所以a+1x(6-x),即a-x2+6x-1.令q(x)=-x2+6x-1,x(0,2,则q(x)=-x2+6x-1=-(x-3)2+8,所以x(0,2时,q(x)max=q(2)=7,所以实数a的取值范围是a|a7.
