1、3.3.2函数的极值与导数教学目标：1.理解极大值、极小值的概念；2.能够运用判别极大值、极小值的方法来求函数的极值；3.掌握求可导函数的极值的步骤；教学重点：极大、极小值的概念和判别方法，以及求可导函数的极值的步骤.教学难点：对极大、极小值概念的理解及求可导函数的极值的步骤.教学过程：创设情景观察图3.3-8，我们发现，时，高台跳水运动员距水面高度最大那么，函数在此点的导数是多少呢？此点附近的图像有什么特点？相应地，导数的符号有什么变化规律？放大附近函数的图像，如图3.3-9可以看出；在，当时，函数单调递增，；当时，函数单调递减，；这就说明，在附近，函数值先增（，）后减（，）这样，当在的附近
2、从小到大经过时，先正后负，且连续变化，于是有3.3-93.3-8对于一般的函数，是否也有这样的性质呢？附：对极大、极小值概念的理解，可以结合图象进行说明.并且要说明函数的极值是就函数在某一点附近的小区间而言的. 从图象观察得出，判别极大、极小值的方法.判断极值点的关键是这点两侧的导数异号新课讲授一、 导入新课观察下图中P点附近图像从左到右的变化趋势、P点的函数值以及点P位置的特点oax1x2x34bxyP(x1,f(x1)y=f(x)Q(x2,f(x2)函数图像在P点附近从左侧到右侧由“上升”变为“下降”（函数由单调递增变为单调递减），在P点附近，P点的位置最高，函数值最大二、学生活动 学生感
3、性认识运动员的运动过程，体会函数极值的定义.三、数学建构x02y极值点的定义: 观察右图可以看出，函数在x=0的函数值比它附近所有各点的函数值都大，我们说f (0)是函数的一个极大值；函数在x=2的函数值比它附近所有各点的函数值都小，我们说f (2)是函数的一个极小值。一般地，设函数在及其附近有定义，如果的值比附近所有各点的函数值都大，我们说f ()是函数的一个极大值；如果的值比附近所有各点的函数值都小，我们说f ()是函数的一个极小值。极大值与极小值统称极值。取得极值的点称为极值点，极值点是自变量的值，极值指的是函数值。请注意以下几点：(让同学讨论)（）极值是一个局部概念。由定义可知极值只是
4、某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小。并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小。（）函数的极值不是唯一的。即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个。oax1x2x3x4bxy（）极大值与极小值之间无确定的大小关系。即一个函数的极大值未必大于极小值，如下图所示，是极大值点，是极小值点，而。（）函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点。而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点。极值点与导数的关系:复习可导函数在定义域上的单调性与导函数值的相互关系,引导学生寻找函数极值点与导数之间的关系. 由上图可以看出，在函数取得极值处，
5、如果曲线有切线的话，则切线是水平的，从而有。但反过来不一定。若寻找函数极值点,可否只由=0求得即可?探索:x=0是否是函数=x的极值点?（展示此函数的图形）在处，曲线的切线是水平的,即=0，但这点的函数值既不比它附近的点的函数值大，也不比它附近的点的函数值小,故不是极值点。如果使，那么在什么情况下是的极值点呢？观察下左图所示，若是的极大值点，则两侧附近点的函数值必须小于。因此，的左侧附近只能是增函数，即，的右侧附近只能是减函数，即，同理，如下右图所示，若是极小值点，则在的左侧附近只能是减函数，即，在的右侧附近只能是增函数，即， oax0bxyoa x0bxy从而我们得出结论(给出寻找和判断可导
6、函数的极值点的方法,同时巩固导数与函数单调性之间的关系）：若满足，且在的两侧的导数异号，则是的极值点，是极值，并且如果在两侧满足“左正右负”，则是的极大值点，是极大值；如果在两侧满足“左负右正”，则是的极小值点，是极小值。结论：左右侧导数异号 是函数f(x)的极值点 =0 反过来是否成立?各是什么条件?点是极值点的充分不必要条件是在这点两侧的导数异号；点是极值点的必要不充分条件是在这点的导数为0.学生活动 函数y=f(x)的导数y/与函数值和极值之间的关系为(D )A、导数y/由负变正,则函数y由减变为增,且有极大值B、导数y/由负变正,则函数y由增变为减,且有极大值C、导数y/由正变负,则函
7、数y由增变为减,且有极小值D、导数y/由正变负,则函数y由增变为减,且有极大值四、数学应用oxy 例1（课本例4）求的极值 解： 因为，所以。下面分两种情况讨论：（1）当0,即，或时；（2）当0,即时.当x变化时， ，的变化情况如下表：-2(-2,2)2+00+极大值极小值因此，当时，有极大值，并且极大值为；当时，有极小值，并且极小值为。函数的图像如图所示。课堂训练:求下列函数的极值 让学生讨论总结求可导函数的极值的基本步骤与方法：一般地，如果函数在某个区间有导数，可以用下面方法求它的极值： 确定函数的定义域； 求导数； 求方程=0的根，这些根也称为可能极值点； 检查在方程0的根的左右两侧的符
8、号，确定极值点。(最好通过列表法)强调:要想知道 x0是极大值点还是极小值点就必须判断 f(x0)=0左右侧导数的符号例题2（案例分析）函数 在 x=1 时有极值10，则a，b的值为（C ）A、 或 B、 或C、 D、 以上都不对 略解:由题设条件得： 解之得通过验证，都合要求，故应选择A上述解法错误，正确答案选C，注意代入检验 注意：f/(x0)=0是函数取得极值的必要不充分条件练习: 庖丁解牛篇(感受高考）1、（2006年天津卷）函数的定义域为开区间，导函数在内的图象如图所示，则函数在开区间内有极小值点（A ）A1个 B2个 C3个D 4个注意：数形结合以及原函数与导函数图像的区别2、已知函数在点处取得极大值，其导函数的图象经过点，如图所示.求：（）的值； （）的值.答案 （）=1; （）例3求y=(x21)3+1的极值解：y=6x(x21)2=6x(x+1)2(x1)2令y=0解得x1=1，x2=0，x3=1当x变化时，y，y的变化情况如下表-1(-1,0)0(0,1)100+0+无极值极小值0无极值当x=0时，y有极小值且y极小值=0五：回顾与小结：1、极值的判定方法； 2、极值的求法注意点：1、f /(x0)=0是函数取得极值的必要不充分条件2、数形结合以及函数与方程思想的应用3、要想知道 x0是极大值点还是极小值点就必须判断 f(x0)=0左右侧导数的符号.
