1、第八章立体几何第五节直线与平面垂直的判定及其性质A级基础过关|固根基|1.(2019届成都市二诊)已知a，b是两条异面直线，直线c与a，b都垂直，则下列说法正确的是()A若c平面，则aB若c平面，则a，bC存在平面，使得c，a，bD存在平面，使得c，a，b解析：选C对于A，直线a可以在平面内，也可以与平面相交；对于B，直线a可以在平面内，或者b在平面内；对于D，如果a，b，则有ab，与条件中两直线异面矛盾2(2019届武汉市调研测试)已知两个平面相互垂直，下列命题一个平面内已知直线必垂直于另一个平面内的任意一条直线；一个平面内已知直线必垂直于另一个平面内的无数条直线；一个平面内任意一条直线必垂
2、直于另一个平面；过一个平面内任意一点作交线的垂线，则此垂线必垂直于另一个平面其中正确命题个数是()A3B2C1D0解析：选C构造正方体ABCDA1B1C1D1，如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，平面ADD1A1平面ABCD，A1D平面ADD1A1，但A1D与平面ABCD不垂直，故错；在正方体ABCDA1B1C1D1中，平面ADD1A1平面ABCD，设l是平面ADD1A1内的任意一条直线，l与平面ABCD内同AB平行的所有直线垂直，故正确；在正方体ABCDA1B1C1D1中，平面ADD1A1平面ABCD，A1D平面ADD1A1，但A1D与平面ABCD不垂直，故错；在正方体ABCDA1B1
3、C1D1中，平面ADD1A1平面ABCD，且平面ADD1A1平面ABCDAD，过交线AD上的点作交线的垂线l，则l可能与另一平面垂直，也可能与另一平面不垂直，故错故选C3(2019届合肥市一检)平面外有两条直线a，b，它们在平面内的投影分别是直线m，n，则下列命题正确的是()A若ab，则mnB若mn，则abC若mn，则abD若m与n相交，则a与b相交或异面解析：选D对于选项A，当直线a，b相交，且所在平面与平面垂直时，直线m，n重合，故A不正确；对于选项B，不妨在正方体ABCDA1B1C1D1中考虑，取面对角线AB1，AD1，其所在直线分别记为a，b，其在平面ABCD上的投影分别为AB，AD，
4、记为m，n，此时mn，但a与b不垂直，故B不正确；对于选项C，不妨在正方体ABCDA1B1C1D1中考虑，取面对角线AB1，CD1，其所在直线分别记为a，b，其在平面ABCD上的投影分别为AB，CD，记为m，n，此时mn，但a与b不平行，故C不正确；对于选项D，若m与n相交，则a与b不可能平行，只能是相交或异面，故D正确4(2019届合肥市二检)如图，正方形网格纸中的实线图形是一个多面体的三视图，则该多面体各表面所在平面互相垂直的有()A2对B3对C4对D5对解析：选C由三视图知该几何体是一个四棱锥，它有一个侧面与底面垂直，且顶点在底面上的射影在底面的一条边的中点处，即如图所示的四棱锥SABC
5、D，平面SCD平面ABCD因为ADDC，BCDC，且平面SCD平面ABCDDC，所以AD平面SCD，BC平面SCD，所以平面SAD平面SCD，平面SBC平面SCD又由三视图知SCSD，同时由AD平面SCD，知ADSC，又SDADD，所以SC平面SAD，所以平面SBC平面SAD综上可知，该多面体各表面所在平面互相垂直的有4对，故选C5(2019届湖北七市高三联考)设直线m与平面相交但不垂直，则下列说法中正确的是()A在平面内有且只有一条直线与直线m垂直B过直线m有且只有一个平面与平面垂直C与直线m垂直的直线不可能与平面平行D与直线m平行的平面不可能与平面垂直解析：选B在平面内可能有无数条直线与直
6、线m垂直，这些直线是互相平行的，A错误；只要m，过直线m必有并且也只有一个平面与平面垂直，B正确；类似于A，在平面外可能有无数条直线垂直于直线m并且平行于平面，C错误；与直线m平行且与平面垂直的平面有无数个，D错误故选B6(2019届贵阳监测)如图，在三棱锥PABC中，不能证明APBC的条件是()AAPPB，APPCBAPPB，BCPBC平面BPC平面APC，BCPCDAP平面PBC解析：选B因为APPB，APPC，PBPCP，所以AP平面PBC又BC平面PBC，所以APBC，故A、D正确；因为平面BPC平面APC且平面BPC平面ACPPC，BCPC，所以BC平面APC又AP平面APC，所以A
7、PBC，故C正确；选项B中的条件不能判断出APBC，故选B7(2019届南昌市一模)如图，在四棱台ABCDA1B1C1D1中，底面ABCD是菱形，CC1底面ABCD，且BAD60，CDCC12C1D14，E是棱BB1的中点(1)求证：AA1BD；(2)求三棱锥B1A1C1E的体积解：(1)证明：因为CC1底面ABCD，所以CC1BD如图，连接AC，因为底面ABCD是菱形，所以BDAC由四棱台ABCDA1B1C1D1知，A1，A，C，C1四点共面又ACCC1C，所以BD平面ACC1A1.所以BDAA1.(2)连接BA1，BC1，CA1，CB1，由已知，得V三棱锥B1A1C1EV三棱锥EA1B1C
8、1V三棱锥BA1B1C1V三棱锥CA1B1C1，又V三棱锥CA1B1C1SA1B1C1CC122sin 1204，所以三棱锥B1A1C1E的体积V三棱锥B1A1C1E.8(2019届广州市调研测试)如图，四边形ABCD是平行四边形，平面AED平面ABCD，EFAB，AB2，BCEF1，AE，DE3，BAD60，G为BC的中点(1)求证：FG平面BED；(2)求证：BD平面AED证明：(1)如图，取BD的中点O，连接OE，OG，在BCD中，因为G是BC的中点，所以OGDC且OGDC1.因为EFAB，ABDC，EF1，所以EFOG且EFOG，所以四边形OGFE是平行四边形，所以FGOE.又FG平面
9、BED，OE平面BED，所以FG平面BED(2)在ABD中，AD1，AB2，BAD60，由余弦定理得BD.因为BD2AD2314AB2，所以BDAD因为平面AED平面ABCD，BD平面ABCD，平面AED平面ABCDAD，所以BD平面AED9(2019届贵阳市高三第一次适应性考试)如图，在四棱锥PABCD中，四边形ABCD为直角梯形，ADBC，ADC90，平面PAD平面ABCD，Q，M分别为AD，PC的中点，PAPD2，BCAD1，CD.(1)求证：平面PBC平面PQB；(2)求三棱锥PQMB的体积解：(1)证明：ADBC，Q为AD的中点，BCAD，BC QD，四边形BCDQ为平行四边形ADC
10、90，BCBQ.PAPD，Q为AD的中点，PQAD，又平面PAD平面ABCD，平面PAD平面ABCDAD，PQ平面ABCD，PQBC又PQBQQ，BC平面PQBBC平面PBC，平面PBC平面PQB(2)解法一：在RtPQB中，PQ，BQCD，SPQBPQQB.由(1)知BC平面PQB，连接QC，V三棱锥CPQBSPQBBC1.又M是线段PC的中点，V三棱锥PQMBV三棱锥MPQBV三棱锥CPQB，故三棱锥PQMB的体积为.解法二：如图，连接QC，记QC的中点为E，连接ME.在PQC中，M为PC的中点，E为QC的中点，ME为PQC的中位线，则MEPQ且PQME.由(1)可知PQ平面ABCD，ME
11、平面ABCD在PAD中，PAPDAD2，Q为AD的中点，PQ.BCAD1，ADBC，ADC90，四边形BCDQ为长方形又CD，QB，SBQCBCQB.V三棱锥PQMBV三棱锥PBQCV三棱锥MBQC(PQME)SBQCPQSBQC，故三棱锥PQMB的体积为.B级素养提升|练能力|10.如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，侧棱长为2，ACBC1，ACB90，D是A1B1的中点，F是BB1上的动点，AB1，DF交于点E.要使AB1平面C1DF，则线段B1F的长为()AB1CD2解析：选A设B1Fx，因为AB1平面C1DF，DF平面C1DF，所以AB1DF.由已知可得A1B1，设RtAA1B1斜边
12、AB1上的高为h，则DEh.又2h，所以h，DE.在RtDB1E中，B1E.在RtDB1F中，由面积相等得 x，解得x，即线段B1F的长为.11(2019届武汉调研)在矩形ABCD中，ABBC，现将ABD沿矩形的对角线BD所在的直线进行翻折，在翻折的过程中，给出下列结论：存在某个位置，使得直线AC与直线BD垂直；存在某个位置，使得直线AB与直线CD垂直；存在某个位置，使得直线AD与直线BC垂直其中正确结论的序号是_解析：假设AC与BD垂直，过点A作AEBD于E，连接CE，则BD平面AECBDCE，而在平面BCD中，CE与BD不垂直，故假设不成立，不正确；假设ABCD，ABAD，CDADD，AB
13、平面ACD，ABAC，由ABBC可知，存在这样的等腰直角三角形，使ABCD，故假设成立，正确；假设ADBC，CDBC，ADCDD，BC平面ACD，BCAC，即ABC为直角三角形，且AB为斜边，而ABBC，故矛盾，假设不成立，不正确综上，填.答案：12.如图所示，在四棱锥PABCD中，PA底面ABCD，且底面各边都相等，M是PC上的一动点，当点M满足_时，平面MBD平面PCD(只要填写一个你认为是正确的条件即可)解析：连接AC，BD，则ACBD，因为PA底面ABCD，所以PABD又PAACA，所以BD平面PAC，所以BDPC所以当DMPC(或BMPC)时，即有PC平面MBD又PC平面PCD，所以
14、平面MBD平面PCD答案：DMPC(或BMPC)(答案不唯一)13如图所示，在长方形ABCD中，AB2，BC1，E为CD的中点，F为线段EC上(端点除外)一动点现将AFD沿AF折起，使平面ABD平面ABCF.在平面ABD内过点D作DKAB，K为垂足设AKt，则t的取值范围是_解析：如图所示，过点K作KMAF于点M，连接DM，易得DMAF，与折前的图形对比，可知折前的图形中D，M，K三点共线且DKAF(如图所示)，于是DAKFDA，所以，即，所以t.又DF(1，2)，故t.答案：14.如图所示，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是DAB60且边长为a的菱形，侧面PAD为正三角形，其所在平面垂直于
15、底面ABCD，若G为AD的中点(1)求证：BG平面PAD；(2)求证：ADPB；(3)若E为BC边的中点，能否在棱PC上找到一点F，使平面DEF平面ABCD？并证明你的结论解：(1)证明：在菱形ABCD中，DAB60，G为AD的中点，所以BGAD又平面PAD平面ABCD，平面PAD平面ABCDAD，BG平面ABCD，所以BG平面PAD(2)证明：如图，连接PG，因为PAD为正三角形，G为AD的中点，所以PGAD由(1)知BGAD，又PGBGG，所以AD平面PGB因为PB平面PGB，所以ADPB(3)当F为PC的中点时，满足平面DEF平面ABCD证明：如图，取PC的中点F，连接DE，EF，DF.在PBC中，FEPB，又FE平面DEF，PB平面DEF，所以PB平面DEF.在菱形ABCD中，GBDE，又DE平面DEF，GB平面DEF，所以GB平面DEF.又PB平面PGB，GB平面PGB，PBGBB，所以平面DEF平面PGB因为BG平面PAD，PG平面PAD，所以BGPG.又因为PGAD，ADBGG，所以PG平面ABCD又PG平面PGB，所以平面PGB平面ABCD，所以平面DEF平面ABCD
