1、长春市十一高中2021-2022学年高二上学期第一学程考试数学试题第卷（共 60分）一、选择题（本题共10小题，每小题5分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.）1直线的倾斜角是（ ）ABCD2与圆同圆心，且面积为面积的一半的圆的方程为（ ）A B CD3圆C：被直线截得的最短弦长为（ ）ABCD4若椭圆上一点A到焦点F1的距离为2，B为AF1的中点，O是坐标原点，则|OB|的值为（ ）A1B2C3D45已知为实数，直线与直线垂直，则（ ）A0或3B3C0D无解6过点引直线，使，两点到直线的距离相等，则这条直线的方程是（ ）ABC或D或7在三棱锥中，平面，分别是棱，的中点，
2、则直线与平面所成角的正弦值为（ ）ABCD8一座圆拱桥，当水面在如图所示位置时，拱顶离水面3米，水面宽12米，当水面下降1米后，水面宽度为（ ）A米B米C米D米9如图所示，椭圆的离心率，左焦点为F，A、B、C分别为左顶点、上顶点和下顶点，直线与交于点，则的值为（ ）ABCD10已知点是直线：()上的动点，过点作圆：的切线，为切点，若最小为时，圆：与圆外切，且与直线相切，则的值为（ ）A B C D二、选择题（本题共2小题，每小题5分，共10分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。）11如图，在正方体中，点E是线段上的动点，则下列判断正确的
3、是（）A当点E与点重合时，B当点E与线段的中点重合时，与异面C无论点E在线段的什么位置，都有D若异面直线与所成的角为，则的最大值为12已知椭圆的左右焦点分别为、，长轴长为4，点在椭圆内部，点在椭圆上，则以下说法正确的是（ ）A离心率的取值范围为 B当离心率为时，的最大值为C存在点使得 D的最小值为1第卷（共 90分）三、填空题：本题共4小题,每小题5分,共20分.13已知圆与圆外切，则_14已知直线与直线在轴上有相同的截距，且的斜率与的斜率互为倒数，则直线的方程为_15曲线与直线恰有个公共点，则的取值范围为_16已知椭圆 的左右焦点为、，点为椭圆上任意一点，过作的外角平分线的垂线，垂足为点，过
4、点作轴的垂线，垂足为，线段的中点为，则点的轨迹方程为_.四、解答题：本题共6小题,第17题10分，第18-22题每题12分，共70分.17在中，边上的高所在的直线的方程为，的平分线所在直线的方程为，若点的坐标为.（1）求点的坐标.（2）求直线的方程.18已知圆与轴相切，圆心点在直线上，且直线被圆所截得的线段长为.（1）求圆的方程；（2）若圆与轴正半轴相切，从点发出的光线经过直线反射，反射光线刚好通过圆的圆心，求反射光线所在直线的方程.19已知椭圆，离心率为，且点在椭圆上（1）求椭圆的方程；（2）若椭圆上的任意一点（除短轴的端点外）与短轴的两个端点，的连线分别与轴交于P , Q两点，求证为定值.
5、20如图，某海面上有O ,A ,B三个小岛（面积大小忽略不计），A岛在O岛的北偏东方向距O岛千米处，B岛在O岛的正东方向距O岛20千米处.以O为坐标原点，O的正东方向为轴的正方向，1千米为单位长度，建立平面直角坐标系.圆C经过O ,A ,B三点.（1）求圆C的方程；（2）若圆C区域内有未知暗礁，现有一船D在O岛的南偏西30方向距O岛40千米处，正沿着北偏东行驶，若不改变方向，试问该船有没有触礁的危险21如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，平面，（1）证明：平面；（2）若，PB与平面所成角的正弦值为，求二面角的余弦值22在平面直角坐标系中，过点且互相垂直的两条直线分别与圆交于点，与圆交于点（1）
6、若直线斜率为2，求弦长；（2）若的中点为E，求面积的取值范围第卷（共 60分）一、选择题（本题共10小题，每小题5分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.）1D【详解】由可得，所以直线的斜率为，设直线的倾斜角为，则，因为，所以，故选：D.2D【详解】由题得圆，所以圆的圆心为，半径为6.设所求的圆的半径为，所以.所以所求的圆的方程为.故选：D3B【详解】直线过定点，圆心，当直线与弦垂直时，弦长最短，所以最短弦长为，故选：B4B【详解】因为椭圆，所以，设椭圆的另一个焦点为，则，而是的中位线，所以故选：B5A【详解】若直线与直线垂直，则，即，解得或，故选：A.6D【详解】若过的直
7、线与平行，因为，故直线的方程为：即.若过的直线过的中点，因为的中点为，此时，故直线的方程为：即.故选：D.7B【详解】因为，所以，因为平面，平面，所以，以为空间直角坐标系的原点，以所在的直线为轴，建立如下图所示的空间直角坐标系，设平面的法向量为，所以有，设直线与平面所成角为，所以，故选：B8C【详解】如图建立平面直角坐标系，则圆心在y轴上，设圆的半径为r，则圆的方程为， 拱顶离水面3米，水面宽12米， 圆过点, ， 圆的方程为，当水面下降1米后，可设水面的端点坐标为，则， ， 当水面下降1米后，水面宽度为。故选：C.9A【详解】，由题图可知，故选：A10B【详解】圆的圆心为，半径为，当与垂直时
8、，的值最小，此时点到直线的距离为，由勾股定理得，又，解得，圆的圆心为，半径为，圆与圆外切，圆与直线相切，解得，故选:B二、选择题（本题共2小题，每小题5分，共10分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。）11ACD【详解】当点E与点重合时，A正确；当点E与线段的中点重合时，是的中点，与都在平面内，与相交，B错误.建立如图所示的直角坐标系，设正方体棱长为1，则，.设，则，C正确.，异面直线与，所成的角为，则.当时，有最大值，此时点是线段的中点，D正确.故选：ACD12BD【详解】由题意可得，所以，由点在椭圆内部可得：，可得，即 ，所以，对A
9、，所以，故A错误；对B，当时，,，故B正确；对C，由A知，当时，当在短轴端点时，最大，此时，此时，由，故可得在椭圆在最扁时的最大值都小于，所以不存在点使得，即C错误；对D，故D正确；故选：BD.第卷（共 90分）三、 填空题：本题共4小题,每小题5分,共20分.134【详解】因为，圆的半径为1，圆的半径为，所以，因为两圆外切所以，得故答案为：414【详解】由题意知，直线在轴上的截距为6，其斜率为，所以直线在轴上的截距为6，其斜率为，所以直线的方程为故答案为：15【详解】由，可得，即，所以，曲线表示圆的上半圆，作出曲线与直线如下图所示：当直线与圆相切于相切且切点在第二象限时，且有，解得，当直线过
10、点时，此时，直线与曲线有两个公共点；当直线过点时，.由上图可知，曲线与直线恰有个公共点时，的取值范围是.故答案为：.16【详解】如图，延长交的延长线于，连接.因为为的平分线且，故为等腰三角形且，所以.在中，因为，所以，故的轨迹方程为：.令，则，所以即，故答案为：四、解答题：本题共6小题,第17题10分，第18-22题每题12分，共70分.17（1）；（2）.【详解】（1）联立，解得，可得.（2）边上的高所在的直线的方程为，即，直线的方程为，整理得.18（1）圆或；（2）.【详解】（1）设圆，由题意得：，由得，则，代入得：；当时，圆；当时，圆；综上所述：圆或.（2）圆与轴正半轴相切，圆，设关于的
11、对称点，则，解得：，反射光线所在直线的斜率，反射光线所在直线方程为：，即.19（1）；（2）证明见解析【详解】（1）由题设，可得，故椭圆方程为.（2）由题意，若，设椭圆上任意一点，直线的方程为；直线的方程为，令，得，为定值，得证20（1）（2）该船有触礁的危险【详解】解：（1）如图所示，、，设过、三点的圆的方程为，得：，解得，故所以圆的方程为，圆心为，半径，（2）该船初始位置为点，则，且该船航线所在直线的斜率为1，故该船航行方向为直线：，由于圆心到直线的距离，故该船有触礁的危险.21（1）证明见解析；（2）.【详解】（1）证明：因为平面，平面，平面，所以，因为，平面，所以平面，因为平面，所以，
12、因为底面为平行四边形，所以，所以，因为，平面，所以平面； （2）解：由（1）可知，因为，所以，因为平面，所以DP为BP在平面上的射影，所以PB与平面所成角即为，因为PB与平面所成角的正弦值为，所以 以D为坐标原点，DA，DB，DP所在的直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，如图所示，则，所以，设平面的法向量为，则令，得面的法向量 同理可得平面的法向量 所以，因为二面角为锐二面角，所以二面角的余弦值为22（1）；（2）.【详解】（1）直线斜率为2，则直线方程为所以点到直线的距离， （2）当直线的斜率不存在时，的面积；当直线的斜率存在时，设为，则直线，当时，直线的方程为，经过圆心，此时不存在，舍去；当时，直线，由得，所以因为，所以因为E点到直线的距离即M点到直线的距离，所以的面积令，则，所以，因为，所以，所以，综上可得，面积的取值范围是.
